Sebbene la doppia operazione di spreading/despreading non produca nessun vantaggio effettivo nei riguardi delle prestazioni ottenibili nel caso in cui la ricezione sia disturbata dalla sola presenza di rumore additivo gaussiano, si ottengono invece i seguenti altri benefici:

Sebbene l’effetto di espansione spettrale sia valido per x(t) qualsiasi, affrontiamo l’analisi con riferimento ad un segnale x(t) numerico binario nrz antipodale ossia polare [632]  [632] 

Il prodotto tra due segnali dati di tipo polare a frequenza f_b e f_p = Lf_b, è equivalente a creare il segnale dati partendo dall’or esclusivo ⊕ delle corrispondenti rappresentazioni binarie fatte da zeri ed uni, come mostrato dalle tabelle poste a lato.

a b	⊕
0  0	0
0  1	1
1  0	1
1  1	0

a    b	×
− 1  − 1	1
− 1    1	− 1
1  − 1	− 1
1    1	1

, il cui periodo di bit T_b≫T_p ne determina una densità di potenza P_x(f) del tipo di (16.52↑) ma con banda W_x≪W_p. La fig. 14.45↓ illustra la situazione, facendo notare anche come scegliendo T_b  = LT_p e moltiplicando i bit del messaggio per la sequenza di chip della pn si ottiene di fatto una sequenza di sequenze pn, ognuna con segno invertito o meno a seconda del valore dei singoli bit del messaggio, e con una banda che è quella di un segnale dati a frequenza f_p = W_p≫f_b. Osserviamo che il segnale allargato x̃(t) è così chiamato anche perché la potenza P_x̃ è la stessa [633]  [633] Considerando x(t) realizzazione di un processo ergodico indipendente da pn(t), la potenza di x̃(t) risulta (§ 6.6.1↑) x̃²  = E{x²(t)pn²(t)} = x²  =  P_x, dato che dalla (16.53↑) si ha E{pn²(t)} = 1. P_x di x(t), che ora risulta però spalmata sulla banda W_p di pn(t).

L’effetto di espansione spettrale può essere verificare anche in base all’osservazione che la densità di potenza P_x̃(f) è il risultato della convoluzione in frequenza [634]   [634] L’autocorrelazione del prodotto di processi indipendenti è pari al prodotto delle autocorrelazioni (§ 6.6.1↑), ed a questo si applica la proprietà di equivalenza tra prodotto nel tempo e convoluzione in frequenza, applicato alle trasformate delle autocorrelazioni, in base al teorema di Wiener (§ 6.2.1↑). in cui la definizione degli estremi di integrazione tiene conto del fatto che P_x(f) ≈ 0 per |f| > W_x. Considerando ora che W_p≫W_x, notiamo che per |λ| ≤ W_x si ha P_pn(f − λ)≃P_pn(f), e quindi

P_x̃(f) ≈ [^W_x⌠⌡_− WxP_x(λ)dλ]P_pn(f) = P_xP_pn(f)

Infine, x̃(t) è usato per modulare am-bld-ps una portante a frequenza f₀, producendo il segnale x_m(t) = x̃(t)cos2πf₀t.

Dopo demodulazione omodina si ottiene il nuovo segnale di banda base y(t)  = x̃(t)  + n_c(t) in cui n_c(t) è la componente in fase del disturbo. A questo punto avviene l’operazione di despreading che si avvale della possibilità per il ricevitore di generare la stessa sequenza pn usata in trasmissione, in forma temporalmente sincrona, in modo da poter scrivere in virtù dei valori ±1 assunti da pn(t). Pertanto, mentre il messaggio x(t) è tornato quello precedente all’allargamento, n(t) e/o il disturbo z(t) subiscono le spreading descritto al § 14.9.2↑. Un successivo filtraggio passa-basso con banda W_x pari a quella di segnale produce infine il risultato y_d(t) = x(t) + n_d(t), in cui il segnale utile ha potenza P_d  = P_x = 2  P_R, mentre per il termine di disturbo additivo n_d(t) è stata rimossa la potenza che cade al difuori della banda di segnale.

Dopo la demodulazione, il termine interferente z(t) causato da N diversi utenti, ognuno con un diverso codice pn_i(t) e segnale dati x_i(t), può essere scritto come in cui A_i, τ_i e cosθ_i sono rispettivamente ampiezza, ritardo di simbolo e fase della portante relativi all’i-esimo utente. Assumendo ora eguali tra loro le ampiezze del segnale utile x(t) e degli interferenti, dopo il despreading otteniamo Se realizziamo ora il filtro passa basso di fig. 14.46↑ come un integratore esteso ad un periodo di bit, ovvero un filtro adattato al segnale nrz [638]  [638] Eventualmente realizzato come descritto a pag. 1↑, supponendo inoltre che sia verificata la condizione di sincronizzazione temporale., il valore della sua uscita campionata al termine della durata del k-esimo periodo di bit risulta in cui z_d(kT_b) rappresenta il termine di interferenza complessiva da parte di tutti gli altri N utenti, indicata come interferenza multiutente↓ o mui (multi-user interference). Dato che i valori di x_i possono essere ±1, l’integrale calcola in effetti l’intercorrelazione ℛ_p0pi(τ_i) (§ 6.1.4↑) tra la sequenza pn usata per la propria trasmissione, e le sequenze pn usate dagli altri, calcolata per un ritardo τ_i. Pertanto, scegliendo la famiglia di sequenze pseudo-noise in modo che esibiscano una intercorrelazione molto ridotta (in teoria nulla, se le pn fossero esattamente ortogonali), l’effetto degli interferenti si riduce in egual misura.

Tra le proprietà positive annotiamo la quasi equiprobabilità dei bit uno e zero, la equa distribuzione delle sequenze di bit uguali [644]  [644] Indicando con run una sequenza di bit uguali, su 2^m  − 1 bit si trova un run di uni lungo m, un run di zeri lungo m − 1, e quindi 2^{m − i − 2} run sia di zeri che di uni di lunghezza i, per 1 < i ≤ m − 2., ed una autocorrelazione ciclica ℛ_a(n) = (1)/(L)∑^L − 1_{k =  0}a_ka_{(k  + n) mod L} che vale 1 per n = 0 ed   − ¹⁄_L altrimenti (vedi figura) [645]  [645] L’autocorrelazione si intende calcolata a partire da valori bipolari, ossia ottenuti a partire dalla sequenza binaria facendo corrispondere ±1 ai valori 0, 1, vedi nota 14.9.2↑.. D’altra parte, l’intercorrelazione ciclica tra due diverse sequenze-m (di uguale lunghezza L) presenta valori massimi che sono una percentuale apprezzabile di ℛ_a(0), rendendo necessario individuare altre soluzioni per i casi di accesso multiplo.

Possono dunque essere usate nel contesto di un sistema di accesso multiplo, qualora gli apparati possano essere sincronizzati tra loro come per il collegamento in discesa tra una stazione radio base, ed i terminali radiomobili associati ad essa [648]   [648] Ma in tal caso, anziché accesso multiplo, potremmo definire la modalità di trasmissone come un broadcast ortogonale.. Il lato meno positivo di queste sequenze è una autocorrelazione che presenta diversi picchi secondari, e dunque non sono idonee ad assolvere la funzione di sincronizzazione (§ 14.11.1↓). D’altra parte, la proprietà di ortogonalità può altresì essere sfruttata per realizzare una segnalazione ortogonale (§ 6.5.2↑) nel contesto di una comunicazione punto-punto.

Si tratta di una diversa tecnica spread spectrum, in cui la sequenza pn è di tipo multilivello, ed è utilizzata in uno schema l-fsk incoerente (§ 14.5↑) per cambiare in continuazione la frequenza portante a cui avviene la trasmissione, tipicamente fsk anch’essa (vedi figura 14.53↓), da cui il nome di saltando di frequenza (traduzione letterale di Frequency Hopping). Per una corretta ricezione, è necessaria una accurata sincronizzazione temporale tra la pn usata in trasmissione e quella in ricezione. Anche in questo caso si verifica un fenomeno di espansione spettrale, ma stavolta non tutta la banda è occupata in modo permanente come nel dsss, ma anzi durante ogni salto si occupa solo la banda necessaria alla modulazione non allargata. In questo caso un disturbo a banda stretta provoca interferenza solo durante il salto che occupa la sua stessa frequenza, e dunque può essere facilmente contrastata adottando una codifica di canale (§ 11.3↑). Inoltre, la tecnica fhss è proficuamente impiegata in sistemi di accesso multiplo cdma, dato che possono avvenire contemporaneamente più trasmissioni fhss utilizzando per esse differenti sequenze pn a bassa intercorrelazione.

Se il periodo di chip (ovvero il tempo per cui il vco permane sulla stessa frequenza) è più breve del periodo di simbolo, il sistema è detto fast frequency hopping o ffhss, mentre se è maggiore è detto slow fh o sfhss.