Densità spettrale delle componenti analogiche di processi

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11.3 Densità spettrale delle c. analogiche di processi

Quello che ancora manca prima di passare al capitolo successivo è valutare P_{x_c}(f) e P_{x_s}(f) nei termini della densità di potenza del processo modulato P_x(f), estendendo inoltre la trattazione al caso dei processi ergodici. Occorre quindi procedere seguendo le indicazioni del teorema di Wiener, e trasformare le relative funzioni di autocorrelazione R_{x_c}(τ) e R_{x_s}(τ); una buona dose di calcoli in merito sono svolti al § 11.4.4, arrivando al risultato

(14.23)
R_{x_c}(τ) = R_{x_s}(τ) = R_x(τ) cosω₀τ + ^R_x(τ) sinω₀τ

Applicando ora alla (14.23) la formula di Eulero per seno e coseno si ottiene

R_{x_c}(τ) = R_{x_s}(τ) = R_x(τ) e^jω₀τ + e^−jω₀τ 2 + ^R_x(τ) e^jω₀τ − e^−jω₀τ 2j = = 1 2 [R_x(τ) − j^R_x(τ)] e^jω₀τ + 1 2 [R_x(τ) + j^R_x(τ)] e^−jω₀τ = R⁻_x(τ) e^jω₀τ + R⁺_x(τ) e^−jω₀τ =

in cui all’ultimo passaggio si è applicata anche a R_x(τ) la definizione di segnale analitico eq. (14.17) e (14.18). Non resta quindi che eseguire la trasformata di Fourier, per ottenere

(14.24)
P_{x_c}(f) = P_{x_s}(f) = P⁻_x(f − f₀) + P⁺_x(f + f₀)

da cui ricaviamo (vedi fig. 11.24) che lo spettro di potenza delle componenti analogiche di un processo si ottiene traslando nell’origine e sovrapponendo le componenti a frequenze positive e negative dello spettro di densità di potenza P_x(f) del segnale modulato.

Figure 11.24 Segnale modulato e densità di potenza delle componenti analogiche di b.f.

Come possiamo osservare P_{x_c}(f) e P_{x_s}(f) sono entrambe pari, in accordo al fatto che x_c(t) ed x_s(t) sono reali.

Rumore bianco passa banda

Il risultato mostrato merita un ultimo approfondimento per esaminare il caso in cui il processo x(t) sia di tipo gaussiano, a media nulla, bianco e limitato in banda, ovvero con densità di potenza

P_x(f) = N₀ 2 [rect_2W(f − f₀) + rect_2W(f + f₀)]

In tal caso (sempre al § 11.4.4) si trova [596] [596] In realtà si ottiene R_{x_cx_s}(τ) = 0 ogni volta che P_x(f) ha simmetria pari rispetto ad f₀. che R_{x_cx_s}(τ) = 0 e quindi x_c(t) ed x_s(t) sono incorrelate e, in quanto gaussiane, statisticamente indipendenti. L’applicazione della (14.24) porta dunque a

P_{x_c}(f) = P_{x_s}(f) = P⁺_x(f + f₀) + P⁻_x(f − f₀) = N₀ rect_2W(f)

e quindi la potenza (e varianza) di entrambe le c.a. di b.f. è pari a quella del segnale modulato, ovvero

P_{x_c} = ⌠⌡ P_{x_c}(f)df = P_{x_s} = 2N₀W = P_x

come rappresentato in fig. 11.25,

Figure 11.25 Densità di potenza dell’inviluppo complesso per un rumore passa-banda

mentre l’indipendenza statistica tra le c.a. di b.f. comporta che l’inviluppo complesso x(t) = x_c(t) + jx_s(t) ha potenza (e densità di potenza) doppie, ovvero

P_x(f) = 2N₀ rect_2W(f); P_x = 2 P_{x_c} = 2 P_{x_s} = 4 N₀W

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