Terminata la parte introduttiva, affrontiamo gli sviluppi analitici basati sulla possibilità di esprimere un segnale modulato x(t) nella forma in cui, se f₀ è scelta entro la banda occupata dal segnale, x_c(t) e x_s(t) sono segnali limitati in banda con banda contigua all’origine, e le alterazioni prodotte sul segnale modulato da parte del messaggio modulante m(t) possono essere descritte mediante operazioni condotte su x_c(t) ed x_s(t). Ciò significa che x(t) potrà essere sintetizzato, ed il messaggio recuperato, agendo su segnali con banda molto ridotta rispetto alla massima frequenza di x(t). Iniziamo a mostrare come x_c(t) ed x_s(t) siano in realtà la parte reale ed immaginaria di un terzo segnale di banda base, chiamato...

E’ definito come un segnale complesso legato a x_c(t) e x_s(t) dalla relazione ed è una estensione tempo-variante del concetto di fasore (vedi §  2.1.3), che a sua volta consente di rappresentare un segnale del tipo x(t) = a cos(ω₀t + φ) [575]   [575] Per brevità, qui e nel seguito adottiamo a volte la notazione 2πf₀ = ω₀. per mezzo del numero complesso x = a e ^jφ, mediante la relazione x(t) = ℜ{x e ^jω₀t}. In modo simile, l’inviluppo complesso x(t) può essere pensato come un fasore per il quale il modulo a e la fase φ sono funzioni del tempo, ovvero come rappresentato nella figura a fianco assieme ad una sua possibile traiettoria temporale. Ad x(t) possiamo quindi associare un segnale reale in cui il termine e ^jω₀t corrisponde ad imprimere ad x(t) una rotazione in senso antiorario a velocità angolare ω₀. D’altra parte, sviluppando la rappresentazione polare (14.3) come osserviamo che x_c(t) = ℜ{x(t)} = a(t)cosφ(t) e x_s(t) = ℑ{x(t)} = a(t)sinφ(t), permettendoci di dimostrare che la (14.4) è equivalente alla (14.1), in quanto [576]   [576] Si faccia uso della relazione cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ.

L’inviluppo complesso è un potente strumento che permette di descrivere il processo di modulazione in modo semplice ed omogeneo. Ad esempio, la moltiplicazione del segnale a(t) di banda base per un coseno a frequenza (portante) f₀ (vedi § 3.5.2) x(t) = a(t)cos(2πf₀t) corrisponde a scrivere l’eq. (14.3) come x(t) = a(t), ovvero corrisponde ad un inviluppo complesso x(t) = a(t) a fase nulla, e prende il nome di modulazione di ampiezza [577]   [577] Indicata anche come am (amplitude modulation). dato che è appunto l’ampiezza della portante a variare in accordo al segnale a(t). Se al contrario consideriamo un inviluppo complesso con modulo costante x(t) = ae ^jφ(t) l’andamento della fase φ(t) imprime alla portante un diverso tipo di modulazione, detta ora modulazione di fase [578]   [578] Indicata anche come pm (phase modulation). o angolare, in quanto il segnale modulante (φ(t) in questo caso) altera l’argomento del coseno, ottenendo dalla (14.4) il segnale modulato x(t) = acos(2πf₀t + φ(t)).

Sono anch’esse definite a partire da a(t) e φ(t) come e mentre l’eq. (14.2) le identifica con la parte reale ed immaginaria dell’inviluppo complesso x(t) = x_c(t) + jx_s(t), l’eq. (14.5) permette loro di descrivere completamente un segnale modulato nella forma x(t) = x_c(t) cos2πf₀t − x_s(t) sin2πf₀t: quest’ultima espressione motiva la scelta dei pedici _c ed _s, così come l’appellativo di componente in fase (per x_c(t)) ed in quadratura (per x_s(t)) del segnale modulato.

Come il segnale modulato x(t) può essere sintetizzato a partire da x_c(t) e x_s(t), cosi le c.a. di b.f. possono essere recuperate da x(t) adottando lo schema simbolico in figura, in cui il segnale modulato è moltiplicato per due portanti (dette in fase ed in quadratura), di cui la prima con la medesima frequenza e fase di quella utilizzata dal modulatore [579]   [579] Le modalità di sincronizzazione della portante utilizzata al ricevitore rispetto a quella usata in trasmissione sono esposte al §  12.2.1., ovvero pari a cos(2πf₀t) e per questo detta coerente, sincrona od omodina, mentre la seconda (in quadratura) ha un anticipo di fase pari a ^π⁄₂, ovvero è pari a cos(2πf₀t + ^π⁄₂) = − sin(2πf₀t). Su entrambi i rami è quindi posto un filtro passa basso [580]   [580] Il simbolo rappresenta un filtro passa-basso, poiché viene cancellata l’ondina superiore. Nello stesso stile, possono essere indicati un passa-alto ed un passa-banda ..

Una volta che x_c(t) e x_s(t) sono note, queste permettono di risalire alla modulazione di ampiezza e di fase come in cui si adotta la funzione arctan2(x_s, x_c), che al contrario di arctanx_s x_c tiene conto del segno [583]   [583] Vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Arcotangente2. di x_c ed x_s, e restituisce un angolo compreso nell’intervallo ( − π, π) anziché ( − ^π⁄₂, ^π⁄₂).

Al contrario di Fourier e di Laplace, quella di Hilbert è una trasformata che restituisce nuovamente una funzione del tempo, indicata come ed equivalente al filtraggio di x(t) mediante un filtro di Hilbert (§ 11.4.1) la cui risposta in frequenza H_H(f) = − j ⋅ sgn(f) è graficata in figura, e che causa in X(f) una alterazione della fase pari a ∓ π 2 a seconda se f ≷ 0.

Affiancando alla (14.10) la relazione (14.1) si imposta il sistema di due equazioni nelle incognite x_c(t) e x_s(t) che rappresenta una rotazione in senso orario del piano dell’inviluppo complesso [584]   [584]  Mostriamo che una matrice di coefficienti della forma ⎛⎜⎝ cosφ  − sinφ     sinφ cosφ ⎞⎟⎠ individua una rotazione.

Esprimiamo infatti un numero complesso x = x_c + jx_s in forma polare x = ρe ^jα, sussistendo l’uguaglianza x_c = ρcosα e x_s = ρsinα; con riferimento alla figura, immaginiamo ora che x ruoti in senso antiorario di un angolo (positivo) φ, ottenendo il nuovo numero complesso y = xe ^jφ = ρe ^jα + φ = y_c + jy_s, in cui

⎧⎨⎩ y_c = ρcos(α + φ) = ρ(cosαcosφ − sinαsinφ) = x_ccosφ − x_ssinφ     y_s = ρsin(α + φ) = ρ(sinαcosφ + cosαsinφ) = x_csinφ + x_scosφ 

ovvero la matrice dei coefficienti corrisponde a quella preannunciata. Alternativamente, le nuove coordinate y_c , y_s corrispondono a quelle di un vettore fisso, ma riferito ad un sistema di assi ortogonali che ruotano in senso orario dello stesso angolo φ. e che può essere risolto [585]   [585] Verifichiamo che il prodotto tra le matrici dei coefficienti di (14.10) e (14.11) fornisca la matrice identità

⎛⎜⎝ cos −sin     sin cos ⎞⎟⎠⎛⎜⎝ cos sin      −sin cos ⎞⎟⎠  =  ⎛⎜⎝ cos² + sin² cos sin − cos sin     −cos sin + cos sin sin² + cos² ⎞⎟⎠  =  ⎛⎜⎝ 1 0     0 1 ⎞⎟⎠

, istante per istante [586]   [586] Dato che i coefficienti cosω₀t, sinω₀t del sistema (14.11) sono funzione del tempo, le equazioni relative rappresentano una rotazione oraria di x(t) che “ruota” con velocità angolare ω₀, ossia con un angolo ω₀t che aumenta linearmente nel tempo. Pertanto le coppie di segnali (x_c(t), x_s(t)) e (x(t), ^x(t)) rappresentano entrambe l’evoluzione dell’inviluppo complesso x(t) = a(t)e ^jφ(t): mentre i segnali di banda base x_c(t) e x_s(t) sono ℜ e ℑ di x(t), i segnali in banda traslata x(t) e ^x(t) sono ℜ e ℑ di x(t)e ^jω₀t, ovvero di x(t) rotante, vedi le eq. (14.4) e (14.10). , permettendo in definitiva di esprimere le componenti analogiche di bassa frequenza in termini di x(t) e di ^x(t) come

Riprendendo l’analogia introdotta al § 11.2.1 tra inviluppo complesso x(t) = a(t)e ^jφ(t) e fasore x = ae ^jφ osserviamo che per entrambi si può risalire al segnale a cui si riferiscono (una portante, modulata o meno) oltre che mediante la relazione x(t) = ℜ{x(t)e ^jω₀t}, anche come in cui vi sono due fasori coniugati che ruotano l’uno in senso opposto all’altro (vedi eq. (10.5) a pag. 1), in modo che la loro somma vettoriale sia pari [587]   [587] Ricordiamo che la somma di due numeri complessi coniugati è pari al doppio della loro parte reale. a ℜ{x(t)e ^jω₀t}. Proseguendo con l’analogia, come la scomposizione di un coseno secondo la formula di Eulero [588]   [588] Poneniamo qui x = ae ^jφ dà luogo a due impulsi in frequenza ovvero

Similmente a x(t) e ^x(t), anche il segnale analitico x⁺(t) è di tipo passa banda (benché privo di componenti a frequenza negativa), e si può mostrare [591]   [591]  L’eguaglianza (14.17) si può dimostrare sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza. Partendo dalla prima delle (14.14) si ottiene infatti

x⁺(t)  =  12 x(t)e ^jω₀t = 12 (x_c(t) + jx_s(t))(cosω₀t + jsinω₀t) =         =  12 [(x_c(t)cosω₀t − x_s(t)sinω₀t)] +  j(x_c(t)sinω₀t + x_s(t)cosω₀t)]        =  12 (x(t) + j^x(t))

Nel dominio della frequenza si applica invece la definizione di filtro di Hilbert (in cui lo sfasamento di ± π 2 equivale al prodotto di X(f) per e^{±jπ 2} = ±j) alla trasformata di (14.17), ottenendo

X⁺(f) = 1 2(X(f) + j^X(f)) = ⎧⎨⎩ 1 2{X(f) + j[ − jX(f)]} = X(f) con f > 0     1 2{X(f) + j[jX(f)]} = 0 con f < 0

dato che a frequenze negative il prodotto j ⋅ j = − 1 costituisce uno sfasamento di π radianti per tutte le frequenze, provocando l’elisione tra X(f) e -X(f) per tutti i valori f < 0. che la sua espressione nei termini di x(t) e ^x(t) risulta pari a di cui alla nota [592]   [592] Infatti H_fp(f) può essere scritta come H_fp(f) = 1 2 + 12 sgn(f) = 12 (1 + j H_H(f)) (vedi eq. (14.25)) , e dunque H_fp(f) X(f) = 1 2 (X(f) + j X̂(f)), da cui la (14.17). si mostra l’equivalenza con (14.16). Infine, con simili passaggi, si ottiene anche

Siamo ora in grado di stabilire il legame tra lo spettro dell’inviluppo complesso e quello del segnale modulato. Dalle (14.14) e (14.15) ri-otteniamo la (14.13) ovvero la cui trasformata di Fourier, tenendo conto della proprietà di traslazione in frequenza, e che F {x^*(t)} = X^*(−f) (pag. 1), fornisce a cui corrisponde una densità di energia [593]   [593] Scriviamo infatti E_x(f) = |X(f)|² = X(f)X^*(f) da cui otteniamo

E_x(f)  = ¹⁄₄(X(f − f₀) + X^*( − f − f₀))(X^*(f − f₀) + X( − f − f₀)) =       = ¹⁄₄(X(f − f₀)X^*(f − f₀) + X^*( − f − f₀)X( − f − f₀)) = ¹⁄₄(E_x(f − f₀) + E_x( − f − f₀))

in quanto i prodotti X(f − f₀) ⋅ X( − f − f₀) e X^*( − f − f₀) ⋅ X^*(f − f₀) sono nulli, dato che in entrambi i casi i fattori risiedono in regioni di frequenza disgiunte, ovvero una densità di potenza [594]   [594] La (14.20) può essere motivata seguendo le stesse linee guida indicate alla nota 364 a pag. 1. il cui significato è esemplificato alla figura precedente, che raffigura la P_x(f) traslare di ± f₀, con una copia ruotata per le frequenze negative.

La figura 11.22 riassume le relazioni esistenti tra le grandezze x(t), x̂(t), e x⁺(t), di tipo passa banda, ed x(t), x_c(t) e x_s(t), di banda base.

• Sia dato il segnale x(t) la cui trasformata X(f) è riportata nella parte superiore di fig. 11.23-a). Derivare l’espressione delle sue componenti analogiche di bassa frequenza, espresse nel dominio della frequenza e del tempo.
  Notiamo che |X⁺(f)| = k2 rect_2B(f − f₀), e dunque

  |X(f)| = 2|X⁺(f + f₀)| = krect_2B(f)

  Per la fase si opera una traslazione analoga, ma senza moltiplicare per il fattore 2 che, in quanto fattore, incide solo sul modulo.
  Osserviamo ora che X(f) ha modulo pari e fase dispari, e dunque la sua antitrasformata è un segnale reale: x(t) = x_c(t) + jx_s(t) = x_c(t), ovvero la componente in quadratura x_s(t) è nulla. Pertanto, risulta [595]   [595] Approfittiamo dell’occasione per notare che, pur potendo scrivere X(f) = X_c(f) + jX_s(f), non è assolutamente lecito dire che ℜ{X(f)} = X_c(f) e ℑ{X(f)} = X_s(f); infatti sia X_c(f) che X_s(f) possono a loro volta essere complessi (mentre x_c(t) e x_s(t) sono necessariamente reali). ⎧⎨⎩ X_c(f) = krect_2B(f)e^{−j2πA 2πBf}   X_s(f) = 0 , ed effettuando l’antitrasformata di X_c(f) si ottiene

  x_c(t) = 2 kB sinc⎡⎣2B⎛⎝t − A 2πB⎞⎠⎤⎦

  in cui la traslazione nel tempo è dovuta alla fase lineare presente in X(f).
a)
b)
Figure 11.23 Densità spettrali utilizzate negli esempi
• Lo stesso problema precedente, ma applicato al segnale b), la cui trasformata X(f) è mostrata nella parte superiore di Fig. 11.23-b).
  Eseguendo di nuovo le operazioni di traslazione si ottiene l’inviluppo complesso riportato in basso. Questa volta la fase di X(f) non è dispari, e dunque non si verificano le condizioni di simmetria coniugata, quindi x(t) è complesso. Si ha: x(t) = kB⎛⎝sinπBt πBt⎞⎠²e ^jφ e dunque

  ⎧⎨⎩ x_c(t) = kB⎛⎝sinπBt πBt⎞⎠²cosφ   x_s(t) = kB⎛⎝sinπBt πBt⎞⎠²sinφ   ⇒  ⎧⎨⎩ X_c(f) = k⎛⎝1 − |f| B⎞⎠cosφ   X_s(f) = k⎛⎝1 − |f| B⎞⎠sinφ

  con |f| < B.

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