18.5 Appendici
18.5.1 Potenza assorbita da un bipolo
La dimostrazione inizia definendo una potenza
istantanea assorbita dal bipolo come
w(t) = v(t)i(t) = v(t) ⋅ (v(t) * y(t)). La potenza
media (nel tempo) allora risulta
Wz = limΔt → ∞ 1Δt Δt ⁄ 2⌠⌡ − Δt ⁄ 2w(t)dt = = limΔt → ∞ 1Δt Δt ⁄ 2⌠⌡ − Δt ⁄ 2v(t) [∞⌠⌡ −∞v(t − τ)y(τ)dτ]dt = = ∞⌠⌡ −∞y(τ)⎡⎣ limΔt → ∞1Δt Δt ⁄ 2⌠⌡ − Δt ⁄ 2v(t)v(t − τ)dt⎤⎦dτ = ∞⌠⌡ −∞y(τ)Rv(−τ)dτ = ∞⌠⌡ −∞Y(f)Pv(f)df = = ∞⌠⌡ −∞[ℜ{Y(f)} + jℑ{Y(f)}]Pv(f)df = = ∞⌠⌡ −∞Pv(f)R(f)|Z(f)|2df
Nel terzultimo passaggio si è fatto uso del teorema di Parseval, e del fatto che
Rv(τ) è pari; nell’ultimo, si è tenuto conto che
Pv(f),
R(f) e
|Z(f)|2 = R2(f) + X2(f) sono funzioni pari di
f, mentre
X(f) è dispari: pertanto il termine
∞⌠⌡ −∞ℑ{Y(f)}Pv(f)df = ∞⌠⌡ −∞Pv(f)X(f)|Z(f)|2df
è nullo. Notiamo che quest’ultimo termine rappresenta la
potenza reattiva, che non è trasformata in altre forme di energia, e viene accumulata e restituita dalla componente reattiva del carico. Al contrario, il termine relativo a
ℜ{Y(f)} rappresenta la potenza assorbita dalla componente resistiva, nota come
potenza attiva, che viene completamente dissipata.
Avendo espresso la potenza assorbita Wz nella forma di un integrale in f, la funzione integranda è intuitivamente associabile allo spettro di densità di potenza: Wz(f) = Pv(f)R(f)|Z(f)|2. Lo stesso risultato può essere confermato svolgendo il seguente calcolo più diretto, pensando al bipolo come ad un filtro la cui grandezza di ingresso è v(t) e quella di uscita i(t).
La definizione di potenza media
Wz = limΔt → ∞1Δt ∫Δt ⁄ 2 − Δt ⁄ 2w(t)dt, in cui
w(t) = v(t)i(t), mostra come questa sia equivalente alla funzione di intercorrelazione tra
i e
v calcolata in
τ = 0:
Wz = Rvi(0). Allora, è ragionevole assumere che
Wz(f) = F {Rvi(τ)}. Indicando infatti con
⊗ l’integrale di intercorrelazione, e ricordando che gli operatori di convoluzione e correlazione godono della proprietà commutativa, possiamo scrivere
Rvi(τ) = v(t) ⊗ i(t) = v(t) ⊗ (v(t) * y(t)) = (v(t) ⊗ v(t)) * y(t) = Rv(τ) * y(t)
quindi, risulta che
Wz(f) = F {Rvi(τ)} = Pv(f)Y(f) = Pv(f) R(f) − jX(f)|Z(f)|2
In base alle stesse considerazioni già svolte, si verifica come il termine immaginario non contribuisce alla potenza media assorbita, e quindi può essere omesso dalla definizione di
potenza attiva Wz(f).
18.5.2 Condizioni per il massimo trasferimento di potenza
Svolgiamo per intero la dimostrazione delle
(21.124). Verifichiamo subito che, mantenendo
Zg(f) fisso e per qualunque valore di
Rc(f), la potenza ceduta ad un carico espressa dalla
(21.123):
Wzc(f) = Pvg(f) Rc(f)|Zc(f) + Zg(f)|2 risulta massima se il suo denominatore è il più piccolo possibile, e ciò si verifica quando
Xc(f) = − Xg(f), ed in tal caso risulta
Per individuare ora la condizione su
Rc(f) che rende minimo il denominatore (e dunque
Wzc(f) massima), eseguiamone la derivata rispetto ad
Rc (omettendo per brevità la dipendenza da
f) ed eguagliamola a zero:
che fornisce la condizione
Rc(f) = ±Rg(f) in cui il valore negativo viene scartato mentre quello positivo, assieme alla condizione
Xc(f) = − Xg(f) determina la condizione
Zc(f) = Z * g(f) espressa alla
(21.124). Volendo verificare che la
(21.161) individui effettivamente un minimo e non un massimo del denominatore di
(21.160), se ne può eseguire la derivata seconda, ottenendo
d2dR2c⎛⎝Rc + 2Rg + R2gRc⎞⎠ = ddRc ⎡⎣1 − ⎛⎝RgRc⎞⎠2⎤⎦ = 2 R2gR3c
che verifichiamo immediatamente essere sempre positiva.
18.5.3 Potenza ceduta ad un carico Zc(f) ≠ Z * g(f)
Avendo a disposizione un generatore di segnale di potenza disponibile
Wd(f) ed impedenza interna
Zg(f) assegnate, la tensione a vuoto ai suoi capi ha densità di potenza (di segnale) pari a
Pv(f) = Wd(f)4Rg(f). Collegando al generatore un carico generico
Zc(f), la potenza dissipata da quest’ultimo risulta pari a
Wzc(f) = Pv(f) Rc(f)|Zg(f) + Zc(f)|2
Il rapporto tra la densità di potenza effettivamente ceduta a
Zc(f), e quella che le sarebbe ceduta se
Zc(f) fosse adattato per il massimo trasferimento di potenza, fornisce la perdita di potenza subita:
Wzc(f)Wd(f) = Wd(f) 4Rg Rc(f)|Zg(f) + Zc(f)|2 ⋅ 1 Wd(f) = 4Rg(f)Rc(f)|Zg(f) + Zc(f)|2 = α(f)
Pertanto, se
Zc(f) ≠ Z * g(f), su
Zc(f) si dissipa una potenza pari a
Wzc(f) = α(f)Wd(f). Il medesimo risultato è valido anche per l’analisi dell’accoppiamento tra il generatore equivalente di uscita di una rete due porte ed un carico.
Esempio Consideriamo un generatore con
Zg(f) resistiva e pari a 50
Ω, e con densità di potenza disponibile (a frequenze positive)
W+d(f) = Wd4W rect2W(f − f0)
in cui
Wd = 1 Watt è la potenza disponibile totale, distribuita uniformemente in una banda
2W = 10 KHz centrata a frequenza
f0 = 1MHz. Il generatore è collegato ad un carico
Zc(f) = Rc(f) + jXc(f)
con
Rc(f) = 50
Ω ed
Xc(f) = 2πfL = 50
Ω per
f = f0 (da cui
L = 502π106 = 7.96 μH).
-
Essendo la banda di segnale 2W ≪ f0, approssimiamo la dipendenza da f di Xc(f) come una costante. In queste ipotesi la potenza effettivamente ceduta al carico risulta Wzc = αWd, con
α = 4RgRc|Zg + Zc|2 = 4 ⋅ 50 ⋅50|50 + 50 + j50|2 = 1000012500 = 0.8
e quindi Wzc = 0,8 Watt ovvero, in dBm: 10log100.8 = -0.97 dbW = 29.03 dBm.
Il valore αdB = 10log10α = 0,97 dB rappresenta il valore della perdita di potenza causata dal mancato verificarsi delle condizioni di massimo trasferimento di potenza, e può essere tenuto in conto come una attenuazione supplementare al collegamento, in fase di valutazione del link budget (vedi capitolo seguente).
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