Andando con ordine, al § 15.3 abbiamo già osservato come l’equalizzazione può essere perseguita inserendo elementi filtranti sia presso il trasmettitore (H_T(f)) che al ricevitore (H_R(f)), realizzati in modo da ottenere annullando così l’effetto di H_c(f). Scegliendo di utilizzare uno solo dei due filtri si può delegare tutto il compito dell’equalizzazione a H_T(f), riservando ad H_R(f) il ruolo di filtrare il rumore esterno alla banda di segnale, come fatto ai cap. 14 e 19. Quando la H_c(f) del canale è nota a priori la sua inversione [1024]   [1024] Detta anche operazione di deconvoluzione, vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Deconvolution. può essere approssimata sintetizzando H_T(f) mediante un metodo di progetto filtri analogici (§ 5.1).

D’altra parte se l’equalizzazione è svolta solamente al lato ricevente si possono applicare tecniche volte a stimare la H_c(f) qualora non sia nota [1025]   [1025] Operazione necessaria se il canale cambia da un collegamento all’altro, come nel transito in una rete commutata, o nel caso di una comunicazione radiomobile., e quindi sintetizzare una realizzazione numerica di H_R(f) tale da invertire H_c(f). In tal caso si determina la colorazione del rumore in ingresso al ricevitore (vedi pag. 1), che viene esaltato anche di molto nelle bande per le quali |H_c(f)| è particolarmente piccolo, come ad es. per un canale con echi di ampiezza simile, vedi pag. 1.

Nel caso di una trasmissione numerica è già prevista la presenza di un filtro H_T(f) con la funzione di sagomatore di impulso (come componente del codificatore di linea, § 15.1.2), mentre la teoria del filtro adattato (§ 7.6) stabilisce che realizzando [1026]   [1026] Si veda l’eq. (10.172) a pag. 1, tralasciando il termine di fase lineare necessario a rendere h_R(t) causale. H_R(f) = H ^* _T(f) si ottiene il massimo SNR all’istante di decisione. Lo schema di elaborazione complessivo è dunque quello rappresentato in fig. 18.16, che adottiamo come riferimento, ed in cui H_R(f)H ^* _T(f) = G(f), in modo che assieme realizzino un filtro di Nyquist [1027]   [1027] Sia che si abbia H_R(f) = H_T(f) = √G(f) come per il caso del ricevitore ottimo (§ 15.5), sia nel caso in cui H_T(f) = G(f), e H_R(f) ha il solo scopo di filtrare il rumore. C’è poi l’aspetto trattato al § 15.5.1 relativo all’equalizzazione distribuita, che prevede di ripartire il compito in parti uguali tra i due lati, e che necessita di un canale di ritorno per comunicare al trasmettitore le stime operate a destinazione., e l’equalizzazione di H_c(f) sia demandata per intero al ricevitore, per mezzo di H_e(f). In ingresso ad H_e(f) si presenta dunque il segnale che dipende oltre che dai simboli a_m della sequenza informativa, anche dalla risposta impulsiva complessiva g̃(t) = h_T(t) * h_c(t) * h_R(t) [1028]   [1028] Che equivale all’impulso g̃(t) di eq. (21.1) a pag. 1, mentre ν(t) tiene conto dell’effetto di H_R(f) su n(t). Scegliamo di realizzare H_e(f) nella forma di un filtro fir (§ 5.2.1, vedi fig. 18.17) con 2N + 1 coefficienti c_n, in modo che alla sua uscita si trovi il segnale [1029]   [1029] La (21.135) rappresenta l’uscita di un filtro fir anti-causale, dato che z(t) dipende da valori futuri di ingresso, fino a y(t + Nτ), mentre l’espressione causale che rispecchia la notazione usata nella figura dovrebbe essere z(t) = ∑^N_{n = − N}c_ny(t − nτ − Nτ), che corrisponde ad un semplice ritardo dell’ingresso pari a Nτ, trascurato per semplicità di notazione nel seguito. Osserviamo ora che se H_e(f) riesce nel suo intento l’isi introdotta dal canale è completamente rimossa e campionando l’uscita dell’equalizzatore (21.135) in corrispondenza degli istanti di simbolo si ottiene un valore z(mT_s) che dipende da un solo a_m, oltre che dal rumore filtrato via H_R(f)H_e(f); pertanto i coefficienti c_n possono essere scelti direttamente con l’obbiettivo di annullare l’isi, anziché con quello di invertire H_c(f).

Illustriamo per prima una tecnica che non tiene in particolare conto la presenza del rumore, che viene invece considerato al § 18.4.2 e seguenti.

Per poter funzionare, si fa precedere il messaggio informativo dalla trasmissione di un impulso isolato di apprendimento, la cui forma d’onda g̃(t) ricevuta distorta presenta un picco a t = 0 ed isi su entrambi i lati (Fig. 18.19a). Tale impulso g̃(t) è posto in ingresso al filtro trasversale h_eq(t) con 2N + 1 coefficienti che ridisegnamo sotto con il ritardo τ tra gli ingressi pari a T, per un ritardo totale di attraversamento 2NT. In uscita da h_eq(t) si ottiene l’impulso che campionato agli istanti t_k = kT + NT fornisce avendo adottato l’abbreviazione g̃_k − n = g̃(kT − nT); il risultato prende quindi la forma di una convoluzione discreta. L’operazione di equalizzazione Zero Forcing consiste nel calcolare i coefficienti c_n in modo che g_eq(t) soddisfi le condizioni di Nyquist almeno sui 2N + 1 termini centrati sull’origine, ovvero assicurando così l’assenza di isi almeno nei confronti degli N simboli precedenti e successivi. Il valore dei coefficienti c_n in grado di soddisfare queste condizioni si ottengono risolvendo un sistema di 2N + 1 equazioni nelle 2N + 1 incognite c_n, impostate a partire dalle relazioni (21.137) e (21.138), e rappresentato in forma matriciale come in cui la matrice dei termini noti è costituita dai 4N + 1 campioni di g̃(t) prelevati agli istanti di simbolo  − 2N, …, 2N posti in modo simmetrico rispetto allo zero. Anche se il metodo non garantisce nulla per istanti esterni a ( − NT, NT), è ottimo nel senso che minimizza l’isi di picco, ed è semplice da realizzare. L’operazione di combinazione di più campioni ricevuti eseguita dal filtro di equalizzazione può avere l’effetto di aumentare la potenza di rumore, ma se questa non è eccessiva tale peggioramento è più che compensato dal miglioramento dell’isi.

nella quale riconosciamo che i valori attesi che vi compaiono corrispondono rispettivamente all’autocorrelazione (§ 7.1.4) tra coppie di campioni del segnale ricevuto distanti |n − k|τ, ed all’intercorrelazione tra i campioni di y(t) distanti |k|τ dal generico simbolo a_m ed il valore del simbolo stesso, dove il valore atteso è calcolato rispetto alla variabilità della sequenza a_m e del rumore. Dato che entrambi gli indici n e k variano tra  − N e N, le eq. (21.142) si riscrivono come note come equazioni di Wiener-Hopf, ovvero un sistema di 2N + 1 equazioni nelle altrettante incognite c_n, la cui matrice dei coefficienti e vettore dei termini noti sono costituiti rispettivamente dalle (21.143) e (21.144).

           R_Y(n) = σ²_aR_H(n) + R_ν(n)       e [1040]   [1040] Dalla (21.144) scriviamo R_YA(n) = E{y(mT_s − nτ)a_m} e quindi

R_YA(n) =  E{(∑_ka_kh((m − k)T_s − nτ) + ν(mT_s − nτ))a_m} =       =  ∑_kE{a_ka_m}h((m − k)T_s − nτ) + E{ν(mT_s − nτ)a_m}

e come prima troviamo E{ν(mT_s − nτ)a_m} = 0, mentre della sommatoria rimane il solo termine k = m.

     R_YA(n) = σ²_ah( − n) in cui R_H(n) è l’autocorrelazione dei campioni (con periodo τ) delle risposta impulsiva complessiva h(t) = h_T(t) * h_c(t) * h_R(t), R_ν(n) è la correlazione tra campioni di ν(t) a distanza nτ, e σ²_a = E{a²_k}, sottintendendo gli a_k a media nulla. La (21.148) si riscrive quindi come Possiamo osservare che qualora P_ν(f) = 0 si ottiene H_e(f) = 1H(f), che pertanto assolve in pieno il compito di equalizzazione, come avviene per l’approccio zero forcing (§ 18.4.1). D’altra parte, dividendo numeratore e denominatore di H_e(f) per σ²_a|H(f)|² si ottiene che evidenzia come l’effetto del rumore sia quello attenuare la risposta in frequenza H_e(f) nelle regioni in cui SNR(f) (non in dB) è più piccolo, ossia dove c’è meno segnale, e/o più rumore. Infine, nel caso di rumore elevato la (21.149) diviene H_e(f) = H^*(f) σ²_aP_ν(f) (o, in caso di rumore bianco, H_e(f) = H^*(f) σ²_aσ²_υ) come per un filtro adattato (§ 7.6); essendo il termine H^*(f) comunque presente, si può scegliere di realizzare H_R(f) (vedi fig. 18.16) con il solo scopo di limitare la potenza di rumore [1041]   [1041] In particolare, scegliendo H_R(f) = rect_2fs(f) si ottiene che i campioni di rumore presi con intervallo τ = ¹⁄_2Ts sono incorrelati e dunque statisticamente indipendenti perché gaussiani. Infatti P_ν(f) = N₀2 |H_R(f)|² e dunque R_ν(τ) = N₀2 2f_s sinc(2f_sτ), che quindi si azzera per τ = ¹⁄_2Ts, vedi § 7.2.4. In tal caso la (21.149) diviene H_e(f) = σ²_a H^*(f)σ²_a |H(f)|² + σ²_υ..

Qualora i simboli informativi a_m siano tra loro correlati la (21.149) diviene [1042]   [1042] Per quanto il risultato sembri banale, la dimostrazione non è troppo diretta, e si basa sullo scomporre il termine

E{∑_k∑_ia_ka_ih((m − k)T_s)h((m − i)T_s + nτ)} = ∑_k∑_iR_A(i − k)h((m − k)T_s)h((m − i)T_s + nτ)

tenendo conto della stazionarietà di a_m e dunque della simmetria di R_A(n), in una somma di termini

              ∑_pR_A(p)∑_ih((m − i)T_s)h((m − i − p)T_s + nτ) = ∑_pR_A(p)R_H(n + 2p)

in cui si tiene conto che T_s = 2τ, mentre gli a_m sono prodotti uno per simbolo; introducendo R’_A(n) = ⎧⎨⎩ R_A⎛⎝n2⎞⎠  n pari  0  altrimenti  e con qualche cambio di variabile si ottiene infine ∑_qR’_A(q)R_H(n − q) che ha l’aspetto rassicurante della convoluzione, da cui scaturisce il risultato.

in cui P_A(f) è la dtft della correlazione dei simboli R_A(n) = E{a_ma_m + n} o spettro del codice (pag. 1). La stessa espressione è valida per un filtro di Wiener di tipo più generale, che esegue ad esempio la deriverberazione di un segnale audio con densità di potenza P_A(f).

A questo scopo ci si basa sulla conoscenza del gradiente di σ²_e(c) che indichiamo come g(c), cioè (pag. 9.6.1) del vettore le cui componenti g_n sono le derivate parziali di σ²_e rispetto ai coefficienti che compongono c, ovvero g_n = ∂σ²_e(c)∂c_n: esse sono tanto maggiori quanto più è ripida la pendenza di σ²_e nella direzione di c_n, e si azzerano tutte nel punto di minimo c̃. Pertanto l’orientamento del vettore g(c̊) per ogni vettore c̊ ≠ c̃ indica la direzione verso la quale σ²_e(c̊) cresce di più.

Essendo anche il gradiente una funzione di c il suo valore può essere calcolato a partire dalla (21.151) ottenendo g(c) = 2 Bc − 2 d, che infatti si azzera per c̃ = B^− 1 d. Scegliendo casualmente un vettore iniziale di coefficienti c⁰, ad ogni iterazione i nuovi valori sono calcolati come ovvero spostando ogni coefficiente c_n in direzione opposta alla relativa componente del gradiente gⁱ = g(cⁱ) calcolato in quel punto, di una quantità ad esso proporzionata dal parametro Δ, quest’ultimo pari ad piccolo numero positivo che determina la velocità di convergenza dell’algoritmo [1050]   [1050] Una regola pratica suggerisce di porre Δ = 15(2N + 1) P_Y in cui P_Y è la potenza ricevuta di segnale più rumore. Valori maggiori possono accelerare la convergenza, ma dare anche luogo ad instabilità della soluzione, mentre valori più piccoli rallentano la convergenza, ma possono produrre errori finali minori.. Viene quindi calcolato un nuovo valore g^i + 1 =  g(c^i + 1), ed il procedimento iterato fino a quando non si verifica che |gⁱ| < ε, nel qual caso si ritiene raggiunto l’ottimo c̃. La figura precedente rappresenta un esempio unidimensionale di applicazione del metodo, in cui il gradiente è pari alla derivata ^dy⁄_dx, ovvero alla tangente dell’angolo α tra la funzione e l’asse orizzontale, e mostra i diversi valori cⁱ ottenuti nelle iterazioni.

Tutto inizia considerando che in base alla (21.142) il gradiente può essere valutato (a meno di un fattore due) per i valori c_m utilizzati all’istante t = mT_s anche come [1052]   [1052] Un interessante modo di interpretare la (21.155) si basa sull’osservare che la minimizzazione di (21.141) ovvero l’azzeramento del gradiente (21.142) g_m = 0 comporta che ciascun valore di errore e_m deve essere ortogonale (in senso statistico, vedi § 7.7.2) a tutte le osservazioni y_m − N,⋯, y_m + N da cui dipende la stima z(mT), ossia le 2N + 1 coppie di sequenze devono essere incorrelate, e quindi prive di legami di tipo lineare. in cui e_m = z(mT_s) − a_m è l’errore commesso dall’equalizzatore rispetto al simbolo trasmesso (e, nella fase di apprendimento, noto in ricezione [1053]   [1053] La sequenza dei simboli trasmessi è nota all’inizio della trasmissione, e spesso generata nella forma di una sequenza pseudo-noise. Durante la fase di apprendimento l’algoritmo viene lasciato iterare arrivando alla stima dei coefficienti c; terminata questa fase ha inizio la trasmissione vera e propria, e l’equalizzatore commuta su di una modalità dipendente dalle decisioni, in cui l’errore e_m è valutato rispetto ai valori ~a_m emessi dal decisore: se la probabilità di errore per simbolo non è troppo elevata, la maggior parte delle volte la decisione è esatta, ed il metodo continua a funzionare correttamente.) ed y_m è il vettore dei 2N + 1 campioni y_m(n) memorizzati nello stato del filtro h_e(t) al momento di produrre l’uscita z(mT_s). La (21.155) viene poi approssimata tralasciando di effettuare la media di insieme, ossia valutando la stima del gradiente come [1054]   [1054] Poniamo di eseguire l’aggiornamento (21.156) dei coefficienti c ogni K periodi di simbolo: otterremmo c_m + K = c_m − Δ∑^K− 1_k = 0e_m + ky_m + k, in cui il termine sommatoria risulta in effetti proporzionale alla stima di E{e_my_m}, almeno più di quanto non appaia il termine e_my_m che compare isolato nella (21.156). ĝ_m = e_my_m, da usare poi nella formula di aggiornamento dei coefficienti c_n derivata dalla (21.154): La (21.156) è improntata ad un principio di correzione dai propri errori, ovvero i coefficienti ricevono un colpetto in su o in giù, in modo da ridurre l’errore commesso [1055]   [1055] Possiamo infatti notare che alla m − esima iterazione della (21.156) il coefficiente c_n viene aumentato se e_m e y_n sono di segno opposto, e diminuito se concorde. Ovvero: se l’uscita è piccola allora e_m = z(mT_s) − a_m < 0, e il contributo c_n dell’n-esima memoria viene aumentato se y_m(n) è positivo, o diminuito se y_m(n) è negativo; viceversa, se e_m = z(mT_s) − a_m > 0 (uscita troppo grande) il valore di c_n viene aumentato se y_m(n) è negativo, e diminuito nel caso opposto. Inoltre, se c_n e y_m(n) hanno lo stesso segno contribuiscono a z_m come un termine positivo, oppure come un termine negativo se di segno diverso. Infine, la colonna δ esprime la variazione del contributo di c_ny_m(n) a z_m, frutto della variazione di c_n e dei segni di c_n e di y_m(n). Come si può verificare, δ è sempre tale da contribuire alla riduzione di e_m.   

em	ym(n)	cn	cn	cnym(n)	δ
+	+		+	+
+	+		−	−
+	−		+	−
+	−		−	+
−	+		+	+
−	+		−	−
−	−		+	−
−	−		−	+

. Il metodo del gradiente stocastico trova applicazione in molteplici ambiti, ivi comprese le reti neurali.

La figura a lato mostra uno schema di architettura per il filtro adattivo, che opera come equalizzatore con periodo di campionamento τ = ^T_s⁄₂, e ad ogni periodo di simbolo esegue l’aggiornamento dei propri coefficienti, in accordo alla (21.156), mediante l’operatore di accumulo simbolizzato dalla ∑ cerchiata.

Lo schema di equalizzazione diviene quindi quello di fig. 18.23-b), in cui il filtro all’indietro o di controreazione è indicato come di feedback, opera alla frequenza di simbolo f_s, e la sua uscita ê_m dipende solamente dalle decisioni precedenti â_m [1057]   [1057] Anche qui, nella fase di apprendimento sono usati i valori a_m noti a priori, mentre in quella successiva si usano quelli ã_m emessi dal decisore, supposti per la maggior parte esatti., una cui combinazione lineare è usata per correggere i valori emessi dal primo filtro: la grandezza in ingresso al decisore può quindi essere ora espressa come I coefficienti d_n del filtro di feedback possono essere anch’essi stimati in maniera adattiva mediante il metodo del gradiente stocastico, dando così luogo alla architettura computazionale di figura 18.24, in cui la grandezza che guida l’aggiornamento dei d_n è la stessa misura dell’errore e_m usata per l’aggiornamento dei c_n del filtro in avanti, portando ad adattare la (21.156) come d_m + 1 =  d_m − Δe_ma_m, in cui a_m è il vettore dei simboli precedentemente decisi a_m − 1, a_m − 2, ⋯, a_m − N2 e presenti nella memoria del filtro di feedback.

Dato che il filtro di feedback opera sui simboli già decisi e per questo privi di rumore, non introduce nuovo rumore, che anzi è in generale ridotto grazie alla minore lunghezza del filtro in avanti. D’altra parte la presenza del decisore nell’anello di reazione rende il metodo non lineare, e per questo l’effetto moltiplicativo di eventuali errori di decisione non può essere analizzato dal punto di vista teorico, ma solo essere studiato mediante simulazione.

Per illustrare il funzionamento di mlsd iniziamo con il riconsiderare i campioni y_m = y(mT_s) del segnale ricevuto (21.134) come in cui h(t) = h_T(t) * h_c(t) * h_R(t), evidenziando così le componenti di errore dovuto all’isi (la ∑_n ≠ m) ed al rumore ν_m. Il problema viene quindi impostato come quello della stima della sequenza a = {a_m} a partire dalla conoscenza della sola sequenza di osservazione y = {y_m}, e per il quale la soluzione di massima verosimiglianza individua â in modo tale che p(y ⁄ a)|_a = â è massima.

La (21.158) evidenzia inoltre come la componente aleatoria di y sia tutta riconducibile a quella della sequenza di rumore ν, dato che l’effetto del canale si riduce ad una convoluzione discreta e dunque è deterministico; pertanto y_m è una v.a. con media y_m(a) = ∑^N_n = 0a_nh_m − n e d.d.p. gaussiana p_ν(y_m ⁄ a) condizionata ad a, che ne determina la sequenza dei valori medi. Se le realizzazioni ν_m sono staticamente indipendenti [1058]   [1058] A questo proposito, è opportuno che H_R(f) sia realizzato come un passa basso e non come un filtro adattato, o nel caso di rumore colorato in ingresso, che si effettui una operazione di sbiancamento. la p(y ⁄ a) è il prodotto dei singoli contributi p_ν(y_m ⁄ a), da valutare per tutti gli _m e per tutti i modi di scegliere a, e quindi trovare â = argmax ∏^M_m = 0 p_ν(y_m ⁄ a) o, equivalentemente Quest’ultimo passaggio trova motivazione nella espressione della d.d.p. gaussiana p_ν(y) = 1√2πσ_ν exp{− (y − y)²2σ²_ν} per cui ln (p_ν(y)) = − ln (√2πσ_ν) − (y − y)²2σ²_ν, e dato che σ_ν è la stessa per tutti gli istanti m, il suo valore non contribuisce alla minimizzazione (21.159), che diviene pertanto La sequenza ottima â è quindi quella che minimizza la somma degli scarti quadratici tra le osservazioni y_m ed il corrispondente valore atteso, e viene trovata utilizzando l’algoritmo di Viterbi (pag. 1) riconducendo il problema a quello di individuare un percorso di minimo costo nell’ambito del traliccio che rappresenta tutte le possibili sequenze a.

.                             y_m = a_mh₀ + a_m − 1h₁ + ν_m

Il metodo con cui l’algoritmo di Viterbi esplora il traliccio per individuare il percorso di minimo costo, e l’associata sequenza â, è illustrato al § 17.4.2.1 e non viene qui ripetuto.

Come si vede il mlsd si comporta meglio di tutti, e determina il valore delle prestazioni ottime. Al contrario, le prestazioni di mmse appaiono come le peggiori, essenzialmente a causa della amplificazione del rumore nelle bande in cui il canale ha guadagno nullo [1060]   [1060] Nonostante mmse tenti di minimizzare σ²_e tenendo conto sia dell’isi che del rumore, le sue prestazioni degradano in presenza di canali che manifestano profonde attenuazioni per alcune frequenze. D’altra parte per canali meno problematici, le sue prestazioni possono avvicinarsi a quelle dell’mlsd.; d’altro canto, il dfe ne migliora sensibilmente le prestazioni, pur non raggiungendo quelle di mlsd. Ciò che rende poco diffuso l’mlsd però è l’elevata complessità computazionale, oltre al ritardo da attendere per una decisione su intere sequenze, nonché le difficoltà a rendere adattativo l’algoritmo nel caso di condizioni non stazionarie.