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22.2 Distribuzione di Poisson

Al crescere del numero N di utenti, l’utilizzo della distribuzione Binomiale può risultare disagevole, per via dei fattoriali, e si preferisce trattare il numero di conversazioni attive
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k come una variabile aleatoria di poisson, la cui densità di probabilità ha espressione
(26.2) pP(k) = e− α αkk!
ed è caratterizzata da valor medio e varianza mp = σ2P = α. La Poissoniana costituisce una buona approssimazione della ddp di Bernoulli, adottando per la prima lo stesso valor medio della seconda mP = mB, ossia α = Np, come mostrato in figura.
Più in generale, la densità (26.2) è impiegata per descrivere la probabilità che si verifichino un numero di eventi indipendenti e completamente casuali di cui è noto solo il numero medio α( [1308]   [1308] Usando il modello Poissoniano la probabilità che (ad esempio) si stiano svolgendo meno di 4 conversazioni contemporanee è pari pertanto a pP(0) + pP(1) + pP(2) + pP(3) = e − α⎛⎝1 + α + α22 + α36⎞⎠.). D’altra parte, al tendere di N ad ∞ il modello Bernoulliano adottato finora perde di validità: infatti nel caso di una popolazione infinita il numero di nuove chiamate non diminuisce all’aumentare del numero dei collegamenti in corso. In questo caso gli eventi corrispondenti all’inizio di una nuova chiamata sono invece considerati indipendenti e completamente casuali, e descritti unicamente in base ad una frequenza media di interarrivo λ che rappresenta la velocità (come richieste per unità
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tempi di interarrivo
di tempo) con cui si presentano le nuove chiamate [1309]   [1309] La trattazione può facilmente applicarsi a svariate circostanze: dalla frequenza con cui si presentano richieste di collegamento ad una rete di comunicazioni, alla frequenza con cui transitano automobili sotto un cavalcavia, alla frequenza con cui particelle subatomiche transitano in un determinato volume, alla frequenza con cui gli studenti si presentano a lezione.... L’inverso di λ rappresenta un tempo, ed esattamente τa = 1 ⁄ λ è il valor medio della variabile aleatoria τa costituita dall’intervallo di tempo tra l’arrivo di due chiamate.
Con queste definizioni è possibile riferire la v.a. di Poisson ad un intervallo temporale di osservazione T, durante il quale si presentano un numero medio α di chiamate [1310]   [1310] Esempio: se da un cavalcavia osserviamo (mediamente) λ = 3 auto/minuto, nell’arco di T = 2 minuti, transiteranno (in media) 3*2 = 6 autovetture. pari a α = λT. Pertanto, possiamo scrivere la d.d.p. della v.a. Poissoniana come
pP(k)|T = e − λT (λT)kk!
che indica la probabilità che in un tempo T si verifichino k eventi (indipendenti e completamente casuali) la cui frequenza media è λ( [1311]   [1311] Esempio: sapendo che l’autobus (completamente casuale!) che stiamo aspettando ha una frequenza di passaggio (media) di 8 minuti, calcolare: A) la probabilità di non vederne nessuno per 15 minuti e B) la probabilità che ne passino 2 in 10 minuti.
Soluzione: si ha λ = 1 ⁄ 8 passaggi/minuto e quindi: A) pP(0)|15 = e − 158 = 0.15 pari al 15%; B) pP(2)|10 = e − 108⎛⎝108⎞⎠22 = 0.224 pari al 22.4%
).

22.2.1 Variabile aleatoria esponenziale negativa

La descrizione statistica che la ddp di Poisson fornisce per il numero di eventi che si verificano in un (generico) tempo t è strettamente legata al considerare gli eventi come indipendenti, identicamente distribuiti, e per i quali l’intervallo di tempo tra l’occorrenza degli stessi è una determinazione di variabile aleatoria completamente casuale [1312]   [1312] Da un punto di vista formale per eventi completamente casuali si intende che gli eventi stessi non hanno memoria di quando siano accaduti l’ultima volta, permettendo di scrivere
Pr(t > t0 + θ ⁄ t > t0) = Pr(t > θ)
ossia la probabilità di attendere altri θ istanti, avendone già attesi t0, non dipende da t0. Per verificare che la ddp esponenziale consente di soddisfare questa condizione svolgiamo i passaggi, applicando al terzultimo la (26.3):
Pr(t > t0 + θ ⁄ t > t0)  =  Pr(t > t0 + θ;t > t0)Pr(t > t0) = Pr(t > t0 + θ)Pr(t > t0) =         =  e − λ(t0 + θ)e − λt0 = e − λθ = Pr(t > θ)
, descritta da una densità di probabilità esponenziale negativa [1313]   [1313] La ddp esponenziale è spesso adottata come un modello approssimato ma di facile applicazione per rappresentare un tempo di attesa, ed applicato ad esempio alla durata di una conversazione telefonica, oppure all’intervallo tra due malfunzionamenti di un apparato.,
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Densità di probabilità esponenziale
espressa analiticamente come
pE(t) = λe − λt
valida per t ≥ 0, e mostrata in figura; tale v.a. è caratterizzata dai momenti [1314]   [1314] Per quanto riguarda il valor medio mE = ∫∞0tλe − λtdt possiamo procedere per parti, ossia applicando la regola ∫baf’(t)g(t)dt =  f(t)g(t)|ba − ∫baf(t)g’(t)dt, avendo posto f’(t) = e − λt e g(t) = λt: si ottiene allora
mE =   − 1λe − λt ⋅ λt ||∞0 − ∞⌠⌡0 − 1λe − λt ⋅ λdt = − 0 + 0 −  1λe − λt ||∞0 = 1λ
essendo  limt → ∞e − λt ⋅ λt = 0. Per σ2E = ∫∞0t2λe − λtdt − (mE)2, il primo integrale (sempre procedendo per parti) fornisce ∫∞0t2λe − λtdt = 2λ2, e dunque σ2E = 2λ2 − 1λ2 = 1λ2. mE = 1λ e σ2E = 1λ2. La probabilità che il tempo di attesa di una v.a. esponenziale superi un determinato valore t0, è allora calcolabile come
(26.3) Pr(t > t0) = ∞⌠⌡t0λe − λtdt = −  e − λt|∞t0 = e − λt0
e questo risultato ci permette di verificare il legame con la Poissoniana [1315]   [1315] Consideriamo un ospedale in cui nascono in media 6 bimbetti al giorno (o 0.25 nascite l’ora), e consideriamo l’intervallo tra questi eventi come una v.a. completamente casuale. Se assumiamo che la probabilità di k nascite in un tempo T sia descritta da una v.a. di Poisson, ossia a cui compete una probabilità pP(k) = e − λT(λT)kk!, allora la probabilità che durante un tempo T non avvenga nessuna nascita, dovrebbe corrispondere a calcolare pP(0), ovvero e − λT(λT)00! = e − λT, che è esattamente il risultato che fornisce la v.a. esponenziale per la probabilità Pr(t > T) che non vi siano nascite per un tempo T..
Esempio Se la durata media di una telefonata è di 5 minuti, e la durata complessiva è completamente casuale, quale è la probabilità che la stessa duri più di 20 minuti?
Un corollario [1316]   [1316] La dimostrazione della (26.4) si basa sulla considerazione che Pr(t ≤ t0) = 1 − Pr(t > t0), e sulla espansione in serie di potenze ex = 1 + x + x2⁄2 + x3⁄3! + ⋯ che si riduce a ex = 1 + x + o(t0) se x → 0. Pertanto la (26.3) diviene Pr(t > t0)|t0 → 0 = 1 − λt0 + o(t0), e quindi Pr(t ≤ t0) = 1 − 1 + λt0 + o(t0) = λt0 + o(t0). della (26.3) è che, se t0 → 0, allora la probabilità che si verifichi un evento entro un tempo t0, è direttamente proporzionale (a meno di un infinitesimo di ordine superiore di t0) al valore di t0, ossia
(26.4) Pr(t ≤ t0)|t0 → 0 = λt0 + o(t0)
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