Descriviamo innanzitutto l’evoluzione dello stato del sistema, in cui il numero di serventi occupati evolve aumentando o diminuendo di una unità alla volta (come per i processi di nascita e morte), con l’ausilio della figura, dove il generico stato S_k rappresenta la circostanza che k serventi siano occupati, circostanza a cui compete una probabilità p_k = Pr(S_k).

Gli stati del grafo sono collegati da archi etichettati con la frequenza λ delle transizioni tra gli stati, ovvero dal ritmo con cui si passa da S_k a S_k + 1 a causa di una nuova richiesta, indipendente (per ipotesi) dal numero di serventi già occupati, e dal ritmo (k + 1) ⋅ μ con cui si torna da S_k + 1 ad S_k, a causa del termine del servizio espletato da uno tra i k + 1 serventi occupati, e proporzionale quindi a questo numero [1321]   [1321] Pensiamo ad un ufficio postale visto dall’esterno: la frequenza media λ con cui entrano nuove persone non dipende da quanti siano già all’interno, mentre invece la frequenza con la quale escono dipende sia dal tempo medio ¹⁄_μ di permanenza allo sportello, che dal numero di sportelli (serventi) M in funzione. La differenza con il caso che stiamo trattando deriva dal fatto che l’ufficio postale è un sistema a coda, e dato che la coda c’è praticamente sempre (ossia i serventi sono generalmente tutti occupati) possiamo dire che la frequenza media di uscita è proprio Mμ.. Se λ e μ non variano nel tempo, una volta esaurito un transitorio iniziale il sistema di servizio si troverà in condizioni stazionarie, permettendoci di scrivere le equazioni di equilibrio statistico che eguagliano la frequenza media con cui il sistema evolve dallo stato k verso k + 1, alla frequenza media con cui avviene la transizione inversa [1322]   [1322]  E’ un po come se il numero medio di nuove richieste per unità di tempo λ si distribuisse, in accordo alle probabilità p_k, tra tutti gli stati possibili del sistema: come dire che del totale di λ, una parte λp₀ trovano il sistema vuoto, una parte λp₁ con un solo occupante, eccetera. Per quanto riguarda le richieste servite per unità di tempo, la frequenza di uscita dal sistema è quella che si otterrebbe con un unico servente, moltiplicata per il numero di serventi occupati. Dato che questa ultima quantità è una grandezza probabilistica, la reale frequenza di uscita μ_r può essere valutata come valore atteso, ossia μ_r = ∑^M_k = 1μ ⋅ k ⋅ p_k . La (26.5) può essere riscritta come che applicata ricorsivamente, porta a scrivere Non resta ora che trovare il modo per dare un valore a p₀, e questo è oltremodo semplice, ricordando che deve risultare [1323]   [1323] Usiamo il pedice m anziché k per non creare confusione nella (26.8) 1 = ∑^M_m = 0 p_m = p₀ ∑^M_m = 0 A^m_om!, e quindi Nei due casi distinti in cui i serventi siano in numero finito (e pari ad M) od infinito (M = ∞) otteniamo rispettivamente il caso cercato, ed un caso limite. Se poniamo M = ∞, tenendo conto dell’espansione in serie ∑^∞_m = 0 A^m_om! = e^A₀, si ottiene che la (26.7) fornisce appunto p₀ = e^− A₀, e la (26.6) diviene p_k = e^− A₀ A^k_ok!, che come riconosciamo immediatamente è proprio la ddp di Poisson (26.2) con valore medio A₀ [1324]   [1324] Questo risultato è in perfetto accordo con le la (26.2), quando abbiamo sostituito alla ddp di Bernoulli quella di Poisson, mantenendo inalterato il numero medio di serventi occupati, che ora indichiamo con A_o, come definito al § 22.3.2.. Se invece poniamo M finito, la sommatoria che compare in (26.7) non corrisponde ad una serie nota, e dunque rimane come è, fornendo il risultato Notiamo ora che p_M è la probabilità che tutti i serventi siano occupati, pari dunque alla probabilità che una nuova richiesta di servizio sia rifiutata. Chiamiamo allora questo valore probabilità di Blocco, di Rifiuto o di Perdita, la cui espressione prende il nome di Formula B di Erlang, del primo tipo, di ordine M ed argomento A_o: L’andamento di P_B in funzione di M e di A_o è graficato in Fig. 22.8, e mostra come (ad esempio) per una intensità di traffico offerto pari a 40 Erlang, siano necessari più di 50 serventi per mantenere una P_B minore dell’1%, che salgono a più di 60 per una P_B = 10^− 3.

Come si può osservare, una volta fissato il grado di servizio, all’aumentare del numero di serventi il traffico smaltito cresce più in fretta di quanto non crescano i serventi [1325]   [1325] ovvero, all’aumentare del traffico offerto, M aumenta più lentamente di A_o. Ad esempio, dalla figura si può verificare che se per A_o = 10 occorrono circa 21 serventi, per una intensità doppia A_o = 20 il numero di serventi necessario a mantenere la stessa P_B risulta poco più di 32. , cosicché (a parità di P_p) l’efficienza aumenta con l’intensità di traffico offerto, e per questo i collegamenti (giunzioni) in grado di smaltire un numero più elevato di connessioni, garantiscono anche una maggiore economicità di esercizio.

Del tutto diversa può risultare l’analisi nel caso di una giunzione usata solo nel caso di trabocco del traffico da una giunzione piena. In questo caso λ non è più costante, anzi aumenta con l’aumentare delle connessioni già avvenute, tipico di traffico a valanga [1327]   [1327] Un esempio di tale tipo di traffico potrebbe essere... l’uscita da uno stadio (o da un cinema, una metropolitana,...) in cui il flusso di individui non è casuale, ma aumenta fino a saturare le vie di uscita..