Per quanto riguarda l’ingresso, ad esso corrisponde mentre per quanto riguarda il canale risulta dove il pedice _pb simboleggia che ci riferiamo alla fase dell’equivalente passa-basso del canale, ovvero che φ_pb(f) = φ(f + f₀) è la fase di H(f), e non di H(f). Sviluppando ora φ_pb(f) in serie di Maclaurin, e troncando la stessa al primo termine, per f prossimo a zero si ottiene [682]   [682]  Infatti, ricordando le definizioni (§ 8.2.2) t_p(f) = − φ(f)2πf per il ritardo della portante e t_g(f) = − 12π ddf φ(f) per il ritardo di gruppo, sussistono i passaggi

φ_pb(f) ≃ φ_pb(0) + f ⋅ dφ_pb(f)df||_f = 0 = φ(f₀) + f ⋅ dφ(f)df|| _f = f0        =  2π⎛⎝f₀φ(f₀)2πf₀ + f12π dφ(f)df||_f = f0⎞ ⎠ = − 2π(f₀t_p(f₀) + ft_g(f₀))

e quindi sostituendo (14.86) e (14.87) in (14.85), ed utilizzando (14.88) otteniamo da cui, ricordando la proprietà di traslazione temporale, otteniamo l’antitrasformata a cui corrisponde [683]   [683] E’ sufficiente applicare le definizione

y(t)  = ℜ{y(t)e ^jω₀t} = ℜ{e^{−j2πf₀τ_f(f₀)} ⋅ a(t − τ_g(f₀)) ⋅ e ^jω₀t} =       = ℜ{a(t − τ_g(f₀)) ⋅ e ^{j(2πf₀t − 2πf₀τ_f(f₀))}} = a(t − τ_g(f₀))cos(2πf₀(t − τ_f(f₀)))

il segnale modulato y(t) ≃ a(t − τ_g(f₀)) cos(2πf₀(t − τ_f(f₀))).

Teniamo ora a precisare che il risultato mostrato perde validità sia qualora la risposta in frequenza non abbia modulo costante, sia nel caso in cui la derivata della fase dφ(f)df non possa essere considerata sufficientemente costante nell’intervallo di frequenze occupato da A(f): nel secondo caso infatti nello sviluppo di Maclaurin di cui alla nota 682 occorre tener conto anche dei termini legati alle derivate successive, la cui importanza relativa aumenta con le potenze di f, ovvero tanto più ci si discosta dalla frequenza centrale f₀ del gruppo (di frequenze).