Qualora un filtro presenti una risposta in frequenza H(f) di tipo passa banda come raffigurato a lato, la corrispondente risposta impulsiva h(t) può essere considerata descritta nei termini delle componenti in fase ed in quadratura riferite ad una frequenza f₀, ovvero nei termini del relativo inviluppo complesso h(t) = h_c(t) + jh_s(t) in modo del tutto simile (§ 11.2.1) a quanto avviene per il segnale modulato x(t) in ingresso.

Pertanto le componenti reale e immaginaria di y(t) possono essere ottenute mediante 4 filtri di banda base operanti su x_c(t) e x_s(t), dato che dalla (14.68) otteniamo a cui corrisponde lo schema simbolico mostrato sotto.

Le (14.69) mostrano come sia y_c(t) che y_s(t) dipendano in generale da entrambe le componenti x_c(t) e x_s(t), in un modo apparentemente ineliminabile. Infatti, le informazioni contenute in x_c(t) ed x_s(t) sono ora mescolate in modo da non poter essere recuperate mediante una operazione di equalizzazione (§§ 15.3 e 18.4) attuata separatamente su ciascuna delle c.a. di b.f. y_c(t) e y_s(t) . A meno che...

Consideriamo il caso in cui h(t) presenti una sola delle due c.a. di b.f. [672]   [672] Una considerazione del tutto simile può essere svolta qualora sia l’inviluppo complesso del segnale modulato x(t) ad essere solo reale od immaginario, ma viene rimandata al § 13.2., ovvero h(t) sia solo reale o solo immaginario: se ad esempio risulta h(t) = h_c(t), le (14.69) divengono e quindi y_c(t) e y_s(t) risultano affette unicamente da distorsione lineare (§ 8.2).

Qualora nella (14.69) siano presenti entrambe h_c(t) e h_s(t) ed entrambe x_c(t) e x_s(t) non è possibile equalizzare le c.a. di b.f. in modo indipendente, e apparentemente la distorsione lineare può essere rimossa solo operando sul segnale modulato, con tutte le difficoltà legate alle elevate frequenze in gioco. Se invece rimuoviamo il vincolo di operare mediante un filtro fisicamente realizzabile, ossia con risposta impulsiva g(t) reale, scopriamo che l’equalizzazione può ancora essere svolta in banda base ricorrendo ad una convoluzione complessa in cui g(t) è definita in modo che ovvero in modo da rendere perfetto l’inviluppo complesso della risposta impulsiva del canale, dato che combinando le (14.67), (14.71) e (14.72) si ottiene

Effettuare l’equalizzazione direttamente a radio frequenza porta ad un risultato lievemente diverso da quando la si realizzi con l’equivalente di banda base: infatti anche se in entrambi i casi il risultato è sempre quello di ottenere un canale equalizzato perfetto, nel primo caso tale proprietà compete al canale passa banda ovvero h^eq(t) = δ(t − τ), mentre nel secondo è l’equivalente passa basso ad essere perfetto, ovvero h^eq(t) = δ(t − τ). Prendiamo spunto da questa osservazione per analizzare i casi in cui non si verifica distorsione lineare per un segnale modulato.

Prendiamo in esame i requisiti affinché un canale non produca effetti di distorsione lineare su di un segnale modulato che lo attraversa, aggiungendo dettagli un po’ per volta, per arrivare ad un risultato più generale.

E’ descritto da una risposta in frequenza H(f) nulla ovunque, tranne che negli intervalli di frequenze f₀ − W ≤ |f| ≤ f₀ + W in cui ha valore unitario, ovvero da cui antitrasformando si ottiene facilmente Confrontando la (14.73) con la (14.65), riconosciamo che e dunque h(t) = h_c(t) + jh_s(t) è reale, ed H(f) = 2rect_2W(f). Un segnale modulato in transito non subisce nessuna intermodulazione, ne distorsione lineare, e neanche ritardo.

L’inviluppo complesso in questo caso ha trasformata a cui è associata una h(t) = 4W sinc(2W(t − τ)). Ricordando (eq. (14.19)) che H⁺(f) = 12 H(f − f₀) e che H⁻(f) = 12 H^*( − f − f₀), per il canale passa banda si ottiene mostrata in figura 13.8-a), a cui corrisponde [674]   [674] Espandiamo la (14.74) come

H(f) =  rect_2W(f − f₀) e^−j2πfτe ^j2πf₀τ +  rect_2W(f + f₀) e^−j2πfτe^{−j2πf₀τ}

da cui antitrasformando si ottiene

h(t)  = 2W sinc(2W(t − τ))e ^{j2πf₀(t − τ)}e ^j2πf₀τ + 2W sinc(2W(t − τ))e^{−j2πf₀(t − τ)}e^{−j2πf₀τ} =       = 2W sinc(2W(t − τ))(e ^j2πf₀t + e^−j2πf₀t) = 4W sinc(2W(t − τ))cosω₀t

una risposta impulsiva e dunque anche in questo caso h(t) = h_c(t) = 4W sinc(2W(t − τ)) è solamente reale. Un segnale modulato x(t) che attraversi il canale produce in uscita [675]   [675]  La (14.76) si ottiene considerando W abbastanza elevato da poter assimilare 2W sinc(2Wt) → δ(t) ossia ad un impulso, in modo che la (14.67) produca y(t) = 12 x(t)*2δ(t − τ) = x_c(t − τ) + jx_s(t − τ). manifestando un ritardo τ a carico solamente delle c.a. di b.f., e non della portante. Indicando φ(f) = − 2πfτ come fase φ_pb(f) di H(f), il rapporto  − 12π ddf φ(f) = τ è stato indicato al § 8.2.2 come ritardo di gruppo τ_g(f), in questo caso costante in quanto H(f) ha fase lineare.

In questo caso la risposta in frequenza assume la forma (vedi fig. 13.8-b) a cui corrisponde [676]   [676] Il termine tra parentesi quadre in (14.77) ha anti-trasformata

F ⁻¹{ rect_2W(f − f₀) +  rect_2W(f + f₀)} = 2W sinc(2Wt)(e ^j2πf₀t + e^−j2πf₀t) = 2W sinc(2Wt)cosω₀t

ma il termine e^−j2πfτ presente in (14.77) produce un ritardo nell’antitrasformata, dunque il risultato (14.78)

una risposta impulsiva ed un segnale analitico H⁺(f) = rect_2W(f − f₀) e^−j2πfτ, e quindi un inviluppo complesso da cui, essendo si ha e pertanto Ponendo ora φ = ω₀τ e applicando le (14.69), in base all’osservazione alla nota 675 in uscita dal filtro troviamo componenti analogiche pari a Il risultato (14.79) mostra che, oltre al ritardo τ = τ_g già trovato per il caso al § 13.1.2.2, si osserva anche una rotazione del piano dell’inviluppo complesso, potendo esprimere le (14.79) come in cui la matrice dei coefficienti è costante, e corrisponde ad una rotazione antioraria [677]   [677] L’analisi che interpreta la trasformazione legata ad un sistema lineare con matrice dei coefficienti pari a cosφ  − sinφ     sinφ cosφ come una rotazione è stata svolta alla nota 584 di pag. 1. di y(t) rispetto a x(t), equivalente alla rotazione oraria degli assi mostrata in figura, di un angolo φ = ω₀τ = 2πf₀τ pari alla fase di H(f) calcolata per f = f₀ come mostrato in fig. 13.8-b). Indicando quest’ultima come φ(f), osserviamo che al § 8.2.2 abbiamo definito − φ2πf₀ = − φ(f₀)2πf₀ = τ come ritardo di fase τ_f(f) calcolato per f = f₀, ovvero τ rappresenta anche il ritardo della portante, cioè come previsto, vista l’ipotesi di partenza (14.77), nonché per il risultato che per un canale perfetto si ha τ_g = τ_f. L’effetto della rotazione φ può quindi essere annullato se la fase della portante di demodulazione produce una rotazione opposta, oppure digitalmente per eseguire la rotazione inversa descritta a pagina 1 operando sui campioni delle c.a di b.f..

L’ultimo caso in cui non si determina distorsione lineare sul segnale modulato x(t) si verifica quando il segnale occupa una banda B molto piccola [678]   [678] Condizione indicata anche come piccola banda frazionale, definita come ^B⁄_f0≪1. rispetto alla frequenza portante f₀, in modo che la risposta in frequenza del canale H(f) possa ritenersi approssimativamente costante [679]   [679] Detta anche condizione per un fading piatto nel caso di un collegamento radio, vedi pag. 1, mentre dal punto di vista circuitale ciò corrisponde a realizzare le condizioni di adattamento di impedenza (vedi § 18.1.1.4) in forma approssimata, ponendo Z_g(f) = Z_i(f₀) e Z_c(f) = Z_u(f₀), dato che per frequenze |f − f₀| < B2 con B ≪ f₀, le impedenze Z_i(f) e Z_u(f) non variano di molto. nella banda del segnale ovvero per f ≃ f₀, cioè e dunque H(f) = 2H⁺(f + f₀) = 2G e^jφ, a cui corrisponde un inviluppo complesso In uscita da H(f) si osserva pertanto (eq. 14.67) che può essere scritta in forma matriciale come in cui compare la stessa matrice dei coefficienti del caso precedente, che di nuovo rappresenta la rotazione oraria del piano dell’inviluppo complesso di un angolo pari alla fase φ(f) di H(f) valutata per f = f₀, a cui corrisponde il segnale ricevuto

Esprimendo la risposta in frequenza del canale nella forma H(f) = |H(f)|e ^jφ(f) e la trasformata del corrispondente inviluppo complesso come H(f) = |H(f)|e ^jφ_pb(f) in cui φ_pb(f) = φ(f + f₀), abbiamo mostrato che

L’approccio unitario agli ultimi tre aspetti delineati è fornito al § seguente, che illustra il caso particolare di distorsione lineare dovuta alla sola risposta di fase.

Al § 8.2.2 si è affermato che l’attraversamento da parte di un segnale modulato in ampiezza x(t) = a(t) cos(2πf₀t) a banda stretta di un canale che (nella banda di segnale) presenta una risposta in frequenza H(f) = e ^jφ(f) (ovvero modulo costante e fase generica) produce in uscita in cui sono rispettivamente indicati come ritardo di fase della portante τ_f(f) (eq. 10.206) e ritardo di gruppo τ_g(f) (eq. 10.207) del segnale modulato, ovvero il ritardo con cui il gruppo di frequenze presenti in a(t) si presenta in uscita. Tale risultato viene dimostrato in appendice 13.4.1 come l’esito di una approssimazione al primo ordine dello sviluppo in serie di potenze di φ(f).

Come ultimo aspetto delle possibili tipologie di canale che possono tornare utili, ripartiamo dal sistema (14.69) e dall’osservazione che qualora l’inviluppo complesso h(t) associato alla risposta impulsiva h(t) del canale passa banda H(f) (considerato per |f − f₀| ≤ W ovvero entro la banda di segnale) sia completamente reale, ovvero le (14.69) si riducono alle (14.70) e si può procedere ad una equalizzazione in fase e quadratura, ovvero attuata con filtri fisicamente realizzabili. In realtà la (14.82) è una condizione solamente sufficiente ad ottenere assenza di intermodulazione, dato che in presenza di un ritardo τ sulla portante (come mostrato al § 13.1.2.3) h(t) diviene in cui φ = ω₀τ. Mostriamo come la (14.83) si riflette su H(f) = |H(f)|e ^jφ_pb(f).

Essendo φ = ω₀τ, ciò corrisponde a scomporre H⁺(f) nella cascata di 2H₀(f − f₀) e di un canale perfetto con h(t) = δ(t − τ) in cui τ =  − φω₀ =  − φ(f)2πf₀ = τ_f(f₀) è il ritardo di fase della portante, come mostrato in fig. 13.12.

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