Come già osservato a pag.
1, la funzione modificata di Bessel può essere approssimata come
I0(ρA⁄σ2) ~ exp⎛⎝ρAσ2⎞⎠⁄√2πρAσ2 per
ρAσ2 ≫ 1, e quindi in tal caso la funzione
integranda che compare al secondo termine di (
14.107) diviene
in cui l’ultimo passaggio tiene conto che nelle ipotesi poste risulta anche
Aσ ≫ 1, permettendo di scrivere
ρ ≃ A + ε con
ε ≪ A, e dunque
√ρ2πσ2A ≃ √A + ε2πσ2A < √A2πσ2A = 1√2πσ.
Dato che la
(14.110) è a tutti gli effetti la d.d.p. di una gaussiana con media
A e varianza
σ2, l’integrale a secondo membro di
(14.107) risulta inferiore a
Considerando di nuovo il verificarsi di
A⁄σ≫1, anche per l’argomento dell’
erfc risulta
z = A⁄2√2σ ≫ 1, ed in tal caso vale l’approssimazione
erfc(z) ≃ 1z√π e − z2. Sostituendo questa in
(14.111) e quindi nella
(14.107), il secondo membro di
(14.107) si approssima come
12 ⋅ 12 ⋅ 1√π ⋅ √2σA⁄2 ⋅ exp⎛⎝− A24 ⋅ 2 ⋅σ2⎞⎠ = σ√2πA exp⎛⎝− A28σ2⎞⎠
che, essendo per ipotesi
Aσ ≫ 1, risulta trascurabile rispetto al primo termine
12 exp⎛⎝ − A28σ2⎞⎠ della
(14.107).
scegli
