Concludiamo questo capitolo con un argomento diverso dai precedenti: anziché calcolare l’SNR dopo democulazione, affrontiamo il problema di decidere se nelle vicinanze di una determinata frequenza f₀ sia presente o meno un segnale a banda stretta, ad esempio per effettuare una operazione di sintonizzazione automatica. A questo scopo torniamo ad occuparci della demodulazione incoerente in fase e quadratura introdotta al § 12.2.4, ora applicata al problema di rilevare la presenza (o meno) di una sinusoide s(t) immersa nel rumore entro una banda B_N, affrontato mediante il formalismo della verifica di ipotesi (§ 6.6.1) basata sul confronto tra il valore di una variabile di osservazione ρ, che rappresenta il modulo dell’inviluppo complesso ricevuto, ed una soglia di decisione λ, da posizionare a seconda del criterio adottato. Lo scopo è quello di arrivare ad una espressione per la d.d.p. di ρ a partire dalle uscite del demodulatore in fase e quadratura, secondo lo schema di fig. 14.14. Al § 16.6 verrà adottato uno schema simile, applicato al caso della trasmissione numerica.

Negli sviluppi che seguono scegliamo di indicare le uscite in fase e quadratura del demodulatore iq rispettivamente come x(t) e y(t). Se in ingresso è presente il solo rumore n(t), x(t) e y(t) corrispondono alle c.a. di b.f. ν_c(t) e ν_s(t) della sua versione filtrata [696]   [696] Ovvero (§ 14.1.3) x(t) e y(t) sono processi congiuntamente gaussiani ed incorrelati con media nulla e varianza σ² = N₀B_N.; se invece in ingresso è presente anche s(t) = Acosω₀t, nell’uscita x(t) del ramo in fase troviamo anche la componente in fase di s(t), pari ad A, che diventa dunque il valor medio della v.a. estratta da x(t). La fig. 14.15-a) rappresenta la d.d.p. delle v.a. x ed y estratte dai processi x(t) e y(t), mostrando anche le curve di livello (vedi § 6.5) della gaussiana bidimensionale risultante.

L’espressione di p_P(ρ) in (14.100) prende nome di d.d.p. di Rayleigh, graficata in fig. 14.16, mentre il valor medio e la varianza della v.a. ρ valgono rispettivamente E’ inoltre possibile mostrare [700]   [700] Dato che ddρexp⎛⎝ − ρ²2σ²⎞⎠ = − ρσ²exp⎛⎝ − ρ²2σ²⎞⎠, si ottiene

^∞⌠⌡_λρσ²e^{− ρ22σ2}dρ = − ^∞⌠⌡_λ − ρσ²e^{− ρ22σ2}dρ =    −  ⎡⎢⎣ e^{− ρ22σ2} ⎤⎥⎦ ^∞_λ = e^{− λ22σ2}

che per la v.a. di Rayleigh vale la proprietà Il valore (14.102) può rappresentare la probabilità di mancare un bersaglio per una distanza superiore a λ, considerando gli errori di puntamento orizzontale e verticale entrambi gaussiani, indipendenti, a media nulla ed uguale varianza.

Consideriamo ora il caso in cui il tono s(t) sia presente, e senza perdita di generalità assumiamo che abbia fase φ = 0 in modo che la trasformazione (14.98) possa ancora essere applicata considerando, al posto di x, una v.a. x’, sempre gaussiana con varianza σ², ma ora con media pari ad A, ovvero la componente in fase di s(t). In questo caso il prodotto tra le d.d.p. marginali si scrive come [701]   [701] Infatti in questo caso risulta

p_X’(x)p_Y(y) = 1√2πσexp⎛⎝ − (x’ − A)²2σ²⎞⎠ ⋅ 1√2πσexp⎛⎝ − y²2σ²⎞⎠

e l’operazione di cambio di variabile porta [702]   [702] Sostituendo nell’esponente della (14.103) x’ = ρcosφ e y = ρsinφ, si ottiene

(x’ − A)² + y² = ρ²cos²φ + A² − 2ρAcosφ + ρ²sin²φ = ρ² + A² − 2ρAcosφ

Osservando ora che il giacobiano della trasformazione ha un valore pari a ρ anche in questo caso, otteniamo

p_P, Φ(ρ, φ)  =  p_X’, Y(x’(ρ, φ), y = y(ρ, φ))|J(x’, y ⁄ ρ, φ)|        =  ρ2πσ² exp ⎛⎜⎝− ρ² + A²2σ²⎞⎟⎠exp⎛⎝ρAcosφσ²⎞⎠

A questo punto la saturazione della d.d.p. congiunta, operata eseguendo p_P(ρ) = ∫^π_− πp_P, Φ(ρ, φ)dφ, determina il risultato (14.104). alla d.d.p. p_P(ρ) detta di Rice, che ha espressione dove I₀(z) = 12π ∫^2π₀ e^zcosφdφ è la funzione modificata di Bessel del primo tipo ed ordine zero [703]   [703] Anche nella figura a pag. 1 si parla di funzioni di Bessel J_n(x), ma queste modificate sono in relazione a quelle, come I_n(x) = j^− nJ_n(jx) - vedi
https://it.wikipedia.org/wiki/Armoniche_cilindriche., la cui espressione non ne permette il calcolo in forma chiusa, ma che può essere approssimata come I₀(z) ~  e^z24  per z≪1, e come I₀(z) ~ e^z√2πz per z≫1.

Come fatto osservare nella discussione di fig. 14.15, se il segnale s(t) si presenta con una fase φ ≠ 0 ovvero s(t) = Acos(ω₀t + φ), il piano dell’inviluppo complesso ruota dello stesso angolo, ed è per questo motivo che abbiamo scelto il modulo ρ dell’inviluppo complesso come grandezza su cui operare la decisione, di cui abbiamo trovato la d.d.p. per i casi di segnale assente e presente.

Prima di procedere osserviamo che qualora la frequenza di s(t) fosse pari a f = f₀ + Δf, l’inviluppo complesso z = x + jy ruoterebbe con velocità angolare 2πΔf, ma il suo modulo ρ resterebbe costante e pari ad A, dando luogo anche in questo caso alla d.d.p. di Rice. Ciò consente l’adozione dello schema di fig. 14.14 per la ricerca di una sinusoide che cade entro tutta la B_N del filtro di ingresso; d’altra parte, all’aumentare di B_N aumenta anche la potenza σ² del rumore, causando come vedremo tra breve un peggioramento delle prestazioni del decisore.

Analizziamo i risultati fin qui ottenuti nell’ottica della decisione di ipotesi statistica (§ 6.6.1), allo scopo di definire il criterio con cui scegliere la soglia di decisione λ da utilizzare nello schema di fig. 14.14.

In figura 14.18 oltre alle d.d.p. condizionate alle ipotesi p(ρ ⁄ H₀) e p(ρ ⁄ H₁) e calcolate per σ = 1 ed A = 4, viene mostrato anche il valore λ_ML [704]   [704] Il valore di λ_ML va calcolato per via numerica una volta noti σ ed A. per cui esse si intersecano ovvero p(ρ ⁄ H₀)|_{ρ = λML} = p(ρ ⁄ H₁)|_{ρ = λML}, e la regola di decisione p(ρ ⁄ H₁)p(ρ ⁄ H₀) H₁ ≷ H₀ 1 che ne consegue corrisponde al criterio di massima verosimiglianza (§ 6.6.2.1), attuato nella forma ρλ_ML H₁ ≷ H₀ 1 ovvero ρ H₁ ≷ H₀ λ_ML.

A seguito della decisione si possono verificare i due tipi di evento di errore

rispettivamente pari alle aree colorate in celeste e giallo di fig. 14.18. Osserviamo quindi che la scelta λ = λ_ML risulta ottima qualora non sussistano costi per i due tipi errori P_fa e P_p (vedi sotto), e le probabilità a priori di H₀ ed H₁ siano uguali. Infatti in tal caso la probabilità di errore complessiva risulta minima, dato che spostando λ a destra o sinistra rispetto a λ_ML, una delle due aree aumenta più di quanto non diminuisca l’altra.

Qualora si conoscano i valori di Pr(H₀) e Pr(H₁) e questi siano diversi da ¹⁄₂, ponendo λ = λ_ML la (14.105) non è più minimizzata. In tal caso la soglia ottima viene invece stabilita secondo il criterio di massima probabilità a posteriori o map, vedi § 17.1.2, ovvero scegliendo l’ipotesi H_i la cui probabilità a posteriori p(H_i ⁄ ρ) è massima. Applicando il teorema di Bayes (§ 6.1.4) si ottiene p(H_i ⁄ ρ) = p(ρ ⁄ H_i)Pr(H_i)p(ρ) e dunque la regola di decisione diviene che nel caso di ipotesi equiprobabili Pr(H₀) = Pr(H₁) degenera nel criterio di ml.

Allarghiamo ora il campo di applicazione della decisione statistica a situazioni in cui può essere associato un differente costo ai due tipi di errore, così come si può associare un guadagno all’evento di decisione corretta (o detezione) la cui probabilità P_d = ∫^∞_λp(ρ ⁄ H₁)dρ è misurata dall’area verde in fig. 14.18. Ad esempio, nell’ambito del telerilevamento si tenta di massimizzare la probabilità di detezione a spese di quella di falso allarme [705]   [705] A meno che decidere per H₁ non possa provocare danni collaterali documentabili dai media., mentre in campo medico si tende a preferire un falso allarme, piuttosto che trascurare l’importanza di un sintomo o referto. In questi casi nella 14.106 compare un altro termine [706]   [706] Vedi ad es. http://webuser.unicas.it/tortorella/TTII/PDF2003/decisione_bayes.pdf che tiene conto dei costi associati alla decisione, in modo da preferire uno dei due tipi di errore rispetto all’altro.

In alcuni casi la probabilità a priori Pr(H₁) che il segnale sia presente non è nota in quanto l’evento è di natura sporadica, e noi lì, in attesa che si verifichi. Un possibile approccio è allora quello di fissare la P_fa massima tollerata, e quindi tentare di massimizzare la prob. di detezione P_d, come avviene adottando il criterio di Neyman-Pearson [707]   [707] Vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Neyman-Pearson_lemma, sulla cui descrizione non ci addentriamo.

Torniamo ad investigare sulla applicazione del criterio di massima verosimiglianza, la cui soglia di decisione λ_ML può essere fissata una volta nota l’ampiezza A della sinusoide e la deviazione standard σ del rumore; a volte però tali grandezze non sono note, se non a grandi linee!