Illustriamo un modo di realizzare il dispositivo che effettua la funzione di moltiplicazione tra un segnale modulante ed una portante. Sebbene esistano schemi circuitali capaci di realizzare esattamente il prodotto tra due segnali analogici [657]   [657] Vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_modulation e
https://en.wikipedia.org/wiki/Gilbert_cell, l’approccio che segue è molto semplice, e fa uso di un sommatore, un oscillatore, un dispositivo non lineare, ed un filtro passa-banda, come mostrato in figura.

Non è strettamente necessario disporre di un oscillatore sinusoidale per realizzare il prodotto di un segnale con una portante: è sufficiente un’onda quadra ed un filtro! Infatti, un qualunque segnale periodico di periodo T = k ⁄ f₀ (con k intero) possiede una densità di potenza [660]   [660] La (14.57) si ottiene applicando l’espressione per i coefficienti Y_n dello sviluppo in serie di y(t) in funzione dei campioni della trasformata di un suo periodo G(f)|_{f = ⁿ⁄T} data dalla (10.34) ovvero Y_n = 1T G⎛⎝nT⎞⎠, a quella P_y(f) = ∑^∞_{n = −∞}|Y_n|²δ(f − ⁿ⁄_T) fornita dalla (10.160) per la densità di potenza di un segnale periodico. Il prodotto di tale segnale per x(t) produce un segnale z(t) con densità di potenza [661]   [661] Infatti in base alla § 7.5.3 ad un prodotto tra processi statisticamente indipendenti corrisponde la convoluzione in frequenza delle relative densità spettrali, e la (14.58) è conseguenza della convoluzione con gli impulsi presenti nella (14.57). Pertanto, il desiderato spettro di potenza si ottiene inserendo dopo il moltiplicatore un filtro passa banda centrato su una delle armoniche a frequenza nk f₀ di y(t), ovvero su una delle repliche spettrali che compongono P_z(f). L’inviluppo mostrato in figura è relativo ad una scelta per g(t) del tipo g(t) = rect_τ(t) con τ sufficientemente minore di k ⁄ f₀ e scelto in modo opportuno [662]   [662] Dato che G(f) si annulla per f = ^m⁄_τ, se scegliessimo τ = ¹⁄_hf0 avremmo G(f) = 0 per f = mhf₀ impedendo il funzionamento del circuito per qualche armonica di f₀ ⁄ k. In particolare, scegliendo h = 1 lo schema sarebbe del tutto inutilizzabile!, in modo che se la banda di x(t) è sufficientemente ridotta rispetto a f₀ ⁄ k l’entità della distorsione lineare di ampiezza può essere considerata trascurabile. Lo stesso dispositivo può essere usato anche per i moltiplicatori di demodulazione: in tal caso, il filtro da usare sarà un passa basso.

Questa sottosezione illustra una tecnica per generare una portante di modulazione (oppure eterodina) che sia stabile in frequenza. Dato che tutti questi elementi sono ormai integrati in un unico chip, possiamo anche visitare quelli a catalogo di un produttore a caso [663]   [663] Vedi ad es. https://www.analog.com/en/product-category/fractional-n-pll.html! Essenzialmente il circuito pll illustrato al § 12.2.2.2 non è in grado di generare una portante di modulazione stabile a sufficienza, in quanto ottenuta a partire da oscillatori realizzati mediante circuiti di tipo analogico [664]   [664] Vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Oscillatore, la cui frequenza dipende anche dalla precisione dei valori dei componenti utilizzati e dalla temperatura di lavoro, oltre a presentare una variabilità che aumenta al crescere della frequenza di oscillazione. Al contrario, gli oscillatori basati su di un cristallo [665]   [665] Vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Oscillatore_al_cristallo sono molto più stabili e precisi, tipicamente dell’ordine di ±20 ppm [666]   [666] Abbreviazione di parti per milione: 10 ppm equivalgono a 10 cicli ogni 10⁶, ovvero un valore compreso tra 999.990 ed 1.000.010 per una frequenza nominale di 1 MHz., anche se il loro costo, disponibilità e fragilità peggiora all’aumentare della frequenza, arrivando in pratica a qualche decina di MHz.

Il medesimo schema può essere impiegato per produrre più segnali di clock tutti multipli di una comune velocità di partenza, ad esempio nell’ambito di reti logiche complesse, o all’interno di microprocessori.

Si tratta della possibilità di generare le portanti di modulazione e demodulazione per via completamente numerica, nella forma di una sequenza costituita da valori dei campioni della forma d’onda sinusoidale letti da una memoria che viene indirizzata da un contatore ciclico. L’argomento sarà approfondito in una prossima edizione.

Affrontiamo il problema di dimostrare che per un segnale am-blu a banda laterale superiore (§ 12.1.2) si ottiene come asserito all’eq. (14.45). A tale proposito osserviamo che la (14.20) stabilisce in cui P_x(f) = F {R_x(τ)}, e dato che nel nostro caso x(t) = m(t) + j^m(t) = 2m⁺(t) (vedi eq. (14.17)), otteniamo in cui si è fatto uso della notazione di prodotto scalare ⟨ . , . ⟩ per generalizzare il calcolo dell’autocorrelazione sia al caso di segnale di potenza, sia a quello di un processo. Eseguendo ora la trasformata di (14.60) otteniamo in cui H_fp(f) è definito al § 11.2.6, e pertanto P_x(f) esiste solamente sul semiasse delle frequenze positive. Dunque la (14.59) si riscrive considerando che per f > 0 si ha mentre per f < 0 risulta come mostrato in figura.

Come anticipato in fondo al § 12.1.2, mostriamo che se allora P_x = k²_a2 P_m. Possiamo innanzitutto scrivere che in quanto le componenti a frequenza positiva e negativa di x(t) sono ortogonali [669]   [669] Infatti risulta ∫^∞_−∞X⁺(f)X⁻(f)df = 0. dato che i due termini non si sovrappongono in frequenza., e lo spettro di densità di potenza è una funzione pari della frequenza: P_x(f) = P_x(−f). Inoltre, invertendo la relazione P_x(f) = 4 P_x⁺(f + f₀) valida per la densità di potenza dell’inviluppo complesso, otteniamo P_x⁺(f) = 14 P_x(f − f₀), e quindi che, sostituita nella (14.62), fornisce P_x = 2 P_x⁺ = 12 P_x.

La tabella al § 12.1.4 è calcolata adottando lo stesso procedimento sopra esposto al § 12.4.5, in cui ora

Riprendiamo qui il caso in cui β≪1 e di conseguenza Δα≪1, consentendo quindi di arrestare al 1° ordine lo sviluppo in serie di potenze (eq. (14.52)) di x(t). Se il segnale modulante è cosinusoidale, il segnale FM risulta Ricordando che cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ, x_FM(t) può essere riscritto come che, se β ≪ 1, diviene che confrontiamo con l’espressione che si otterrebbe per modulazione a portante intera, o ridotta, dello stesso m(t).