Teorema di Wiener e densità di potenza di processo armonico, gaussiano, segnale dati

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7.2 Spettro di densità di potenza

Siamo finalmente in grado di caratterizzare questa densità spettrale sia per il caso dei processi che per gli altri tipi di segnale, di potenza, periodico, o di energia. Lo strumento che lo consente è il...

7.2.1 Teorema di Wiener

Si enuncia senza troppe complicazioni [363] [363] In realtà le attribuzioni di questo risultato sono molteplici, comprendendo anche Khinchin, Einstein e Kolmogorov - fonte https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Wiener-Khinchin:

Lo spettro di densità di potenza P_x(f) (o di energia E_x(f)) di un segnale x(t) certo o aleatorio è pari alla trasformata di Fourier della relativa funzione di autocorrelazione, ovvero P_x(f) = F {R_x(τ)}

La dimostrazione del teorema per segnali di energia è straordinariamente semplice:

R_x(τ) = ⌠⌡^∞_−∞ x^*(t)x(t + τ)dt = ⌠⌡^∞_−∞ X^*(f)X(f) e^j2πfτdf = = F ⁻¹{X^*(f)X(f)} = F ⁻¹{E_x(f)}

in cui abbiamo prima applicato il teorema di Parseval (pag. 1), poi la proprietà di traslazione nel tempo, e quindi (vedi § 3.2) riconosciuta X^*(f)X(f) come la densità di energia E_x(f).

Come anticipato, il teorema è valido anche per segnali di potenza, per i quali la funzione di autocorrelazione R_x(τ) da cui partire è quella espressa dalla (10.154) ( [364] [364] In tal caso una stima della densità di potenza può essere ottenuta mediante periodogramma (§ 7.3.1) calcolato su di un segmento di segnale x_T(t) di durata T estratto da x(t), e facendo tendere T → ∞, ovvero P_x(f) = lim_{T → ∞}1 T |X_T(f)|². Dato che |X_T(f)|² è proprio la densità di energia E_{x_T}(f) di x_T(t), per il teorema di Wiener la sua anti-trasformata corrisponde alla funzione di autocorrelazione R_{x_T}(τ) = F ⁻¹{E_{x_T}(f)} di x_T(t), come definita dalla (10.155). Operando il passaggio al limite, si ottiene che

F ⁻¹{P_x(f)} = F ⁻¹lim_{T → ∞}{1 T |X_T(f)|²} = F ⁻¹⎧⎨⎩lim_{T → ∞} 1 T E_{x_T}(f)⎫⎬⎭ = lim_{T → ∞} 1 T R_{x_T}(τ)

corrispondente alla autocorrelazione R_x(τ) dell’intero segnale, come espressa dalla (10.154).

). Nel caso di processi ergodici, ogni membro del processo possiede la stessa P_x(f), che dunque può essere calcolata a partire dalla R_x(τ) di uno qualunque di essi. Nel caso di processi stazionari almeno in senso lato, infine, l’autocorrelazione da cui partire [365] [365] La dimostrazione del caso dei processi viene svolta al § 7.7.3; la sua validità è vincolata a processi per i quali ∫|τ ⋅ m^(1, 1)_XX(τ)|dτ < ∞, ed è basata sulla considerazione che se la P^θ_x(f) di un particolare membro θ è valutabile come P^θ_x(f) = lim_{T → ∞}1 T |X^θ_T(f)|², allora la sua media di insieme può scriversi come P_x(f) = lim_{T → ∞} 1 T E_Θ{|X^θ_T(f)|²}. è il momento misto m^(1, 1)_XX(τ) = E{x(t)x(t + τ)} calcolato come media di insieme dalla (10.153), e rappresenta il modo più generale di procedere, come applicato al § 7.7.4 per il caso di un segnale dati.

Discussione

Il teorema di Wiener è (nella sua semplicità) uno strumento molto potente che può costituire una strada alternativa per verificare ed estendere risultati noti. Ad esempio, la proprietà di massimo nell’origine per l’autocorrelazione R_x(0) = P_x può ora essere ricavata da quella del valore iniziale eq. (10.38):

R_x(0) = F ⁻¹{P_x(f)}|_τ = 0 = ^∞⌠⌡_−∞ P_x(f)e^j2πfτdf|_τ = 0 = ^∞⌠⌡_−∞ P_x(f)df = P_x

D’altra parte, la validità del teorema anche per segnali periodici e di energia consente di intraprendere per essi due percorsi alternativi per il calcolo delle corrispondenti P_x(f) e E_x(f), come illustrato nella figura a lato.

Dato che in virtù del teorema di Wiener è ora possibile definire una P_x(f) anche per processi e segnali di potenza, molto spesso nel testo ci si riferirà alle densità di potenza o di energia anziché alle trasformate dei segnali, in modo da applicare i risultati a tutti i casi possibili.

Applichiamo ora ad alcuni casi notevoli di segnale certo e processo aleatorio la relazione tra P_x(f) e R_x(τ) espressa dal teorema di Wiener.

7.2.2 Segnale periodico

In questo caso x(t) con periodo T può essere espresso mediante la relativa serie di Fourier (10.7) x(t) = ∑^∞_{n = −∞}X_n e^j2πnFt riferita alla frequenza fondamentale F = ¹⁄_T (o prima armonica), e sviluppando in tal senso [366] [366] Partendo dalla (10.158) R_x(τ) = 1T ∫^T ⁄ 2_{− T ⁄ 2}x^*(t)x(t + τ)dt possiamo scrivere

R_x(τ) = 1 T ^T ⁄ 2⌠⌡_{− T ⁄ 2}^∞⎲⎳_{n = −∞}X^*_n e^−j2πnFt^∞⎲⎳_{m = −∞}X_m e^{j2πmF(t + τ)}dt = = ^∞⎲⎳_{n = −∞}^∞⎲⎳_{m = −∞}X^*_nX_m1T e^j2πmFτ^T ⁄ 2⌠⌡_{− T ⁄ 2} e^{j2π(m − n)Ft}dt = ^∞⎲⎳_{n = −∞}|X_n|² e^j2πnFτ

in cui l’ultima uguaglianza è frutto della proprietà di ortogonalità degli esponenziali (2.3). la (10.158) si ottiene che l’autocorrelazione di x(t) ha espressione R_x(τ) = ∑^∞_{n = −∞}|X_n|² e^j2πnFτ, ovvero può essere espressa in serie di Fourier, e quindi è a sua volta periodica, come già osservato. La relativa densità di potenza P_x(f) risulta dunque pari a

(10.160) P_x(f) = F {R_x(τ)} =^∞⎲⎳_{n = −∞}|X_n|²δ(f − nF)

che costituisce una conferma del teorema di Parseval (10.13). A pag. 1 sono riportati alcuni esempi di autocorrelazione e densità di potenza per segnali periodici.

Componente continua

Come osservato a pag. 1, se il segnale può essere scritto come x(t) = x₀(t) + a in cui E{x₀(t)} = 0 ed a è una costante, si ottiene R_x(τ) = R_x₀(τ) + a² e dunque P_x(f) = F {R_x(τ)} = P_x₀(f) + a²δ(f), ossia la relativa densità spettrale presenta un impulso nell’origine di area a². Ovvero, dal punto di vista opposto, un impulso nell’origine di P_x(f) indica la presenza di una componente continua in x(t).

7.2.3 Processo armonico

Si tratta del segnale sinusoidale introdotto a pag. 1 e la cui fase iniziale è aleatoria, espresso come

(10.161) x(t, θ) = Acos(2πf₀t + θ)

in cui il parametro θ è una v.a. con d.d.p. uniforme tra − π e π, ovvero p_Θ(θ) = 12π rect_2π(θ). In tal caso x(t, θ) costituisce un processo ergodico (vedi § 6.3.7), la cui d.d.p.

p_X(x) = 1π√ A² − x²

è graficata a pagina 1.

Dato che a ciascuna realizzazione del processo armonico (ad esempio quella con θ = 0) corrisponde la medesima [367] [367] Infatti le diverse realizzazioni (10.161) al variare di θ differiscono solo per una traslazione temporale, a cui in frequenza corrisponde un termine di fase lineare, che non incide sulla P_x(f). densità di potenza [368] [368] Il risultato si ottiene applicando la (10.160) all’unica armonica presente, e considerando che la potenza totale P_x = A² 2 si distribuisce per metà a frequenza positiva e per metà negativa. P_x(f) = A² 4 [δ(f − f₀) + δ(f + f₀)], possiamo ottenere l’autocorrelazione R_x(t) (10.161) senza dover svolgere l’integrale (10.158), e neanche la media di insieme (10.153). Infatti, per il teorema di Wiener si ha

R_x(t) = F ⁻¹{ P_x(f)} = A² 4 [e^j2πf₀t + e^−j2πf₀t] = A²2 cos(2πf₀t)

Questo risultato conferma che l’autocorrelazione di un segnale periodico è periodica; riflettiamo dunque sulla circostanza che anche un seno, od un coseno con qualunque altra fase, avrebbe avuto la stessa R_x(t). Ciò è d’altra parte evidente, avendo tutti questi segnali uguale densità di potenza P_x(f).

7.2.4 Processo gaussiano bianco limitato in banda

Un processo n(t) è chiamato bianco quando la densità di potenza è costante in frequenza, ovvero quando si esprime come

P_n(f) = N₀ 2 rect_2W(f)

in cui W è l’occupazione di banda a frequenze positive. Per questo caso l’autocorrelazione vale

(10.162)
R_n(t) = F ⁻¹{ P_n(f)} = N₀W sinc(2Wt)

e possiamo pertanto constatare che si ottiene

R_n(0) = P_n = ⌠⌡^∞_−∞P_n(f)df = ⌠⌡^W_− WN₀ 2 df = N₀W = σ²_n

in cui l’ultima eguaglianza sussiste (vedi eq. (10.119) a pag. 1) in quanto l’assenza di impulsi nell’origine per P_n(f) corrisponde ad un n(t) a media nulla. Inoltre, dato che R_n(t) si azzera per t = ^k⁄_2W, osserviamo che campionando n(t) con periodo T_c = ¹⁄_2W si ottengono valori incorrelati, e se il processo è gaussiano, anche statisticamente indipendenti (vedi § 6.5.1). Questo risultato giustifica, almeno da un punto di vista teorico, una ipotesi che viene spesso fatta: quella di trovare, sovrapposti ai campioni di un segnale limitato in banda, dei campioni di rumore statisticamente indipendenti.

All’aumentare di W, R_n(t) tende a zero più rapidamente, cosicché il rumore si mantiene correlato per un tempo sempre minore, ovvero due campioni separati da uno stesso intervallo temporale t hanno una correlazione sempre minore. Un risultato simile vale anche più in generale, in quanto l’autocorrelazione R_x(t) di un qualsiasi processo a media nulla (tranne nel caso periodico, riconducibile ad una combinazione di processi armonici) tende a 0 con t → ∞, ovvero da un certo t in poi la correlazione è trascurabile.

Infine, se immaginiamo il rumore bianco limitato in banda come il risultato del transito di un processo gaussiano a banda infinita (quindi, con R_n(t) = δ(t)) attraverso un filtro passa basso ideale con H(f) = rect_2W(f) (vedi § 15.4.1), ci accorgiamo che la correlazione (10.162) tra campioni di rumore in uscita presi ad istanti diversi (t ≠ 0) è una diretta conseguenza della memoria introdotta dalla risposta impulsiva h(t) = 2W sinc(2Wt) sul segnale in transito, dato che l’operazione di convoluzione tra n(t) e h(t) rende i valori in uscita una combinazione lineare di quelli (passati) in ingresso (vedi § 3.4.3).

Esercizio Sia dato un processo gaussiano ergodico a media nulla e con densità di potenza P_x(f) = P_x2β β² + 4(πf)² in cui β = 0.2 e P_x = 5.

Esprimere la relativa funzione di autocorrelazione R_x(τ);
esprimere la d.d.p. p_X(x) di una v.a. x estratta dal processo ad un istante casuale;
esprimere vettore medio m_x e matrice di covarianza Σ_x di una coppia di v.a. x₁ e x₂ estratte con un intervallo τ, ovvero x₁ = x(t) e x₂ = x(t + τ), per un valore di τ = 10.

Svolgimento In base alla tabella al § 3.8.8 risulta che F ⁻¹⎧⎩ 2β β² + 4(πf)² ⎫⎭ = e^− β|t|, dunque

R_x(τ) = F ⁻¹{P_x(f)} = P_x e^− β|τ| = 5 ⋅ e^{− 0.2|τ|}
abbiamo evidentemente a che fare con una v.a. gaussiana, dunque p_X(x) = 1√ 2π σ_x e^{− (x − m_x)² 2σ²_x} in cui σ²_x = P_x = 5 in quanto a media nulla, e pari al massimo di R_x(τ) per τ = 0;
la coppia x₁x₂ è un vettore aleatorio gaussiano bidimensionale, il cui valor medio è nullo in base alla stazionarietà ed all’essere il processo a media nulla, mentre Σ_x è una matrice 2 × 2 sulla cui diagonale compare R_x(0) = σ²_x mentre nelle altre due posizioni compare la covarianza
σ_x₁x₂ = m^(1, 1)_x₁x₂(τ = 10) = R_x(τ = 10) = 5 ⋅ e^{− 0.2 ⋅ 10} = 0.68
dunque m_x = ⎡⎢⎣ 0 0 ⎤⎥⎦ e Σ_x = ⎡⎢⎣ 5 0.68 0.68 5 ⎤⎥⎦.

7.2.5 Processo di segnale dati

Al § 15.1.2 descriveremo un generico segnale numerico come una somma di repliche di una funzione g(t), ognuna moltiplicata per un diverso valore a_n rappresentativo delle informazioni da trasmettere:

(10.163) x(t) = ^∞⎲⎳_{n = −∞}a_ng(t − nT + θ)

La presenza della variabile aleatoria θ a distribuzione uniforme tra ± T2 (per cui p_Θ(θ) = 1T rect_T(θ)), rende x(t) un processo ergodico (vedi pag. 1).

Si mostrerà in appendice (§ 7.7.4) che, nelle ipotesi in cui le ampiezze a_n siano determinazioni di variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite, a media nulla e varianza σ²_A( [369] [369] Media m_A e varianza σ²_A sono qui riferite ai valori multilivello a^k (con k = 1, 2, ⋯, L) che un generico simbolo a_n può assumere, pesati con le rispettive probabilità p_k, ossia

m_A = ∑^L_k = 1p_ka^k e σ²_A = ∑^L_k = 1p_k(a^k − m_A)²

), la densità spettrale di potenza del processo (10.163) risulta

(10.164) P_x(f) = σ²_A E_g(f) T

mentre nel caso in cui gli a_n siano statisticamente dipendenti, e/o a media non nulla, il risultato è più complesso (vedi eq. (10.192)). Limitandoci ad interpretare il risultato semplice espresso dalla (10.164), notiamo che E_g(f) è la densità di energia di una singola replica di g(t), la cui ripetizione, con periodo T, fornisce una densità di potenza media E_g(f)T. Se ogni replica di g(t) è moltiplicata per una v.a. indipendente a media nulla e varianza (potenza) σ²_A, la densità di potenza P_x(f) aumenta di egual misura (vedi § 7.5.3).

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