Capitolo 3: Trasformata di Fourier e convoluzione Su Capitolo 3: Trasformata di Fourier e convoluzione Sezione 3.2: Energia mutua, Parseval e densità di energia 

3.1 Dalla serie alla trasformata

A pag. 1↑ abbiamo osservato come lo sviluppo in serie di Fourier possa essere applicato ad un segnale limitato nel tempo, con il risultato che la formula di ricostruzione x(t) = ∑∞n = −∞Xn e j2πnFt in tal caso rende periodico il segnale originario. Se allo stesso tempo il periodo fittizio T su cui sono calcolati i coefficienti Xn = 1T ∫T⁄2 − T⁄2x(t) e −j2πnFtdt viene fatto tendere ad infinito [102]   [102] Occorre però rimuovere il termine 1⁄T dell’eq. (10.6↑), altrimenti i coefficienti andrebbero a zero, essendo il segnale a durata limitata.,
figure f3.1.png
le frequenze armoniche della serie di Fourier tendono ad avvicinarsi fino ad arrivare ad una distanza infinitesima; allo stesso tempo, il periodo del segnale antitrasformato tende anch’esso ad infinito, e dunque la ricostruzione nel tempo non è più periodica.
La trasformata di Fourier è adatta a rappresentare segnali privi di struttura periodica, e da un punto di vista formale può essere vista come un operatore funzionale che, applicato ad un segnale x(t) funzione del tempo, ne individua un secondo X(f) con valori complessi e funzione di variabile reale e continua, detta frequenza ed indicata con f; tale passaggio da tempo a frequenza viene rappresentato attraverso il formalismo X(f) = F {x(t)}, indicando il segnale trasformato con la stessa stessa lettera di quello di partenza, ma resa maiuscola. Dal punto di vista analitico la trasformata di Fourier è espressa come
(10.31) X(f) = ∞⌠⌡ −∞x(t)e −j2πftdt
e la sua esistenza è garantita per segnali x(t) impulsivi (pag. 1↑) ovvero tali che ∫∞−∞|x(t)|dt < ∞, e per i quali le condizioni di Dirichlet (§ 2.5.1↑) sono verificate nell’intervallo t ∈ ( −∞, ∞). Dato che un segnale impulsivo è anche di energia (vedi § 1.5↑), la (10.31↑) è valida anche per segnali di energia [103]   [103] Anche se un segnale di energia non è necessariamente impulsivo, ci viene in soccorso il https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Plancherel.. Vedremo al § 3.7↓ che, grazie ad operazioni di passaggio al limite, la trasformata di Fourier può essere definita anche per segnali periodici, e dunque di potenza.
Antitrasformata
Il passaggio inverso da f a t è detto antitrasformata di Fourier, viene indicato come x(t) = F− 1{X(f)}, e consente di ri-ottenere il segnale x(t) di cui la (10.31↑) ha calcolato la trasformata X(f). Da un punto di vista analitico l’antitrasformata di Fourier è definita in modo del tutto simile [104]   [104] Da un punto di vista mnemonico, cerchiamo di ricordare che l’esponenziale sotto il segno di integrale prende il segno meno nel passaggio t → f, ed il segno più passando da f a t. alla (10.31↑), ovvero
(10.32) x(t) = ∞⌠⌡ −∞X(f)e j2πftdf
valida ovunque x(t) sia continuo, mentre nelle discontinuità di prima specie fornisce il valore intermedio tra quelli limite destro e sinistro. Il risultato X(f) della trasformazione viene indicato anche come spettro di ampiezza complessa, e dato che X(f) assume valori complessi, può esprimersi in forma esponenziale (10.4↑) X(f) = M(f)e jφ(f) in cui M(f) ed φ(f) sono indicati come spettri di modulo e di fase del segnale x(t).
Spettro di ampiezza come densità
L’espressione dell’antitrasformata (10.32↑) può essere messa a confronto con quella della serie di Fourier x(t) = ∑∞n = −∞Xn e j2πnFt, evidenziando come la prima possa essere pensata somma integrale di infinite componenti X(f)df di ampiezza infinitesima, in cui X(f) si esprime come segnale⁄Hz, ovvero come una densità di ampiezza.
Spazio a dimensionalità infinita
Al § 3.8.5↓ si mostra come gli esponenziali complessi e j2πft corrispondano ad una base di rappresentazione ortonormale per uno spazio di Hilbert (§ 2.4.3↑) con un numero di dimensioni infinito non numerabile, e dunque X(f) costituisce la rappresentazione di x(t) su tale base.
Prima di procedere ad illustrare altre proprietà e caratteristiche della trasformata di Fourier, svolgiamo un semplice esercizio.
Trasformata di un rettangolo Disponendo del segnale g(t) = A rectτ(t), se ne calcoli lo spettro di ampiezza G(f). Si ottiene:
(10.33) G(f)  =  ∞⌠⌡ −∞A rectτ(t) e −j2πftdt = A τ2⌠⌡ −  τ2 e −j2πftdt = A e −j2πft − j2πf|| τ2 −  τ2 =   =  Aπf e j2πfτ2 − e −j2πfτ22j = A τ sin(πfτ)πfτ = A τ sinc(fτ)
Il risultato è riportato in fig 3.2↓, dove possiamo notare come aumentando la durata τ del rect il relativo spettro di ampiezza G(f) si addensa verso la regione delle frequenze più basse, dato che il suo primo passaggio per zero avviene a frequenza f = 1τ; al contrario, qualora il rect sia più breve, G(f) si allarga, estendendosi verso regioni di frequenza più elevata.
segnale rettangolare
sinc(f)
Figure 3.2 ℱ-trasformata di un rettangolo di base τ = 2 ed ampiezza A = 1
Notiamo quindi come il risultato assomigli a quello già incontrato al § 2.2.1.4↑ per la serie di Fourier di un segnale periodico ottenuto ripetendo con periodo T un impulso rettangolare di base τ, tranne che ora l’andamento di G(f) rappresenta una distribuzione in frequenza continua dello spettro di ampiezza.
La precedente osservazione può essere generalizzata come segue:
Relazione tra serie di Fourier e trasformata di un segnale a durata limitata
Consideriamo un segnale g(t) a durata limitata τ ≤ T, ed un segnale periodico x(t) = ∑∞k = −∞g(t − kT) derivato da esso. I coefficienti Xn della serie di Fourier (10.6↑) ottenibili per x(t) sono legati ai valori G(f)|f = n⁄T dello spettro di ampiezza (10.31↑) relativo a g(t) calcolato in corrispondenza alle frequenze f = nT dalla relazione [105]   [105] Indicando 1⁄T con F in modo da uniformare la notazione a quella del § 2.2↑ otteniamo infatti
G⎛⎝nT⎞⎠ = ∞⌠⌡ −∞g(t)e −j2πnFtdt = T⁄2⌠⌡ − T⁄2g(t)e −j2πnFtdt = T 1T T⁄2⌠⌡ − T⁄2x(t)e −j2πnFtdt = T ⋅ Xn
(10.34) Xn = 1T G(f)|f = nT
Tornando all’esercizio, troviamo infatti che valutando la (10.33↑) per f = nT e dividendo per T si ottengono i valori Xn = A τT sinc⎛⎝n τT⎞⎠ espressi dalla (10.11↑) relativa alla serie di Fourier di un’onda rettangolare ottenuta usando lo stesso rectτ dell’esercizio.
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