Notiamo subito che a differenza della modulazione di ampiezza, il modulo di x(t) è rigorosamente costante, e la sua fase α(t) può evolvere nel tempo unicamente su di una circonferenza di raggio a. Si è già mostrato al § 11.2.2 come il legame tra messaggio m(t) e fase dell’inviluppo complesso α(t) possa essere descritto come modulazione di fase (o pm, phase modulation) qualora risulti α(t) = k_φm(t), oppure nei termini di una modulazione di frequenza (o fm) qualora si scelga α(t) = 2πk_f ∫^t_−∞m(τ)dτ, dove k_φ e k_f sono coefficienti di proporzionalità che dosano l’intensità della modulazione introdotta.

La relazione che lega la frequenza istantanea f_i(t) ad m(t) dipende dal legame tra α(t) ed m(t); ricordando la definizione (eq. (14.6)) di f_i(t) come la derivata della fase istantanea ψ(t) = 2πf₀t + α(t), ovvero si ottiene la tabella a lato che riassume la dipendenza della fase α(t) e della frequenza istantanea f_i(t) da m(t) per entrambi i tipi di modulazione angolare. Le due alternative pm e fm sono quindi esaminate assieme, in quanto intercambiabili qualora si effettui

Entrambi i segnali fm e pm possono infine essere ottenuti mediante il modulatore in fase e quadratura (pag. 1) alimentato dalle c.a. di b.f. x_c(t) = cos α(t) e x_s(t) = sin α(t), come effettivamente accade in diversi casi di modulazione numerica, vedi il cap. 16.

La figura a lato riporta lo schema generale di un pll, in cui il vco genera un segnale pari a sin(ω₀t + θ_o(t)), con θ_o(t) = k_v ∫^t_−∞v_o(τ)dτ, mentre il segnale ricevuto ha la forma x(t) = cos(ω₀t + θ_i(t)). Lo schema può essere analizzato con i metodi dei controlli automatici, in quanto rappresenta un sistema che tenta di mantenere nullo l’errore sinΔθ, con Δθ(t) = θ_i(t) − θ_o(t) (vedi § 12.2.2.2); tale analisi si basa sulla linearizzazione sinΔθ ≃ Δθ, valida per Δθ piccolo. In tal caso l’analisi di Laplace [642]   [642] La (14.51) dà luogo ad una funzione di trasferimento ad anello chiuso il cui ordine dipende da come è realizzato il filtro passa basso. Per approfondimenti, vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Phase-locked_loop. permette (vedi fig. sotto) di scrivere la relazione

Un circuito risonante accordato ad un frequenza maggiore di f₀ realizza una risposta in frequenza H(f) il cui modulo aumenta in maniera pressoché lineare nella banda di segnale, simulando così l’effetto di una derivata (vedi § 3.6). La figura mostra come, al variare della frequenza istantanea f_i(t) = f_o + k_fm(t), l’ampiezza del segnale (passabanda) y(t) uscente dal derivatore vari in misura del valore (tempo variante) di |H(f)|_{f = fi(t)}, ottenendo così un segnale modulato in ampiezza dalle stesse variazioni di f_i(t), ovvero di m(t). La figura 12.27-b) mostra quindi uno schema che utilizza il fenomeno descritto per ricostruire il segnale modulante m(t) a partire da y(t) mediante un semplice demodulatore di inviluppo (§ 12.2.5). Svolgendo infatti i passaggi, il segnale uscente dal derivatore risulta pari a [643]   [643] La derivata di cos[α(t)] è pari a  − sin[α(t)] ⋅ α’(t), ma il segno  −  è ininfluente ai fini dell’elaborazione successiva. che corrisponde ad un segnale modulato sia angolarmente che in ampiezza, ed in particolare la cui ampiezza risulta a(t) = a (^f₀⁄_kf + m(t)). Pertanto con una scelta opportuna [644]   [644] L’utilizzo del demodulatore inviluppo è possibile solo nel caso di una modulazione a portante intera, ovvero per cui f₀k_f + m(t) > 0 per ∀t, e dunque è necessario che risulti k_f < f₀max_t{|m(t)|}. di ^f₀⁄_kf la modulazione di ampiezza è riconducibile al caso bld-pi (§ 12.1.1.2), e quindi il messaggio m(t) può essere recuperato mediante un demodulatore d’inviluppo (§ 12.2.5).

Il risultato ottenuto è valido purché il segnale modulato x(t) sia esso stesso privo di variazioni di ampiezza: per questo motivo il derivatore è spesso preceduto da un blocco squadratore, che produce una versione, appunto, "squadrata" del segnale ricevuto e quindi priva di modulazione di ampiezza. Essendo lo squadratore fortemente non lineare, in uscita saranno presenti, oltre al segnale originario, anche componenti centrate a frequenze multiple di quella della portante, che vengono rimosse mediante un filtro passa basso posto a valle dello squadratore.

Osserviamo innanzitutto che, essendo |x(t)| = a, la sua potenza totale ha sempre valore P_x = a², indipendentemente da α(t), e dunque [645]   [645] Da un lato, a²2 è banalmente la potenza della portante di ampiezza a. Da una altro punto vista, lo stesso risultato si ottiene a partire dalla P_x(f) = 14( P_x(f − f₀) +  P_x( − f − f₀)) (eq. 14.20), da cui mediante integrazione in frequenza otteniamo P_x = 142 P_x = a²2. P_x = a²2. Inoltre, la presenza nella (14.52) di potenze di α(t) di qualunque ordine sembrerebbe indicare che P_x(f) abbia una banda infinita: in realtà la presenza dei fattoriali a denominatore fa sì che la serie possa essere troncata ad un certo ordine N < ∞, e dunque x(t) sia da considerare limitato in banda.

Per speculare sull’influenza di α(t) sul segnale modulato, notiamo che quanto più |α(t)| è piccolo, tanto prima la (14.52) può essere troncata con errori trascurabili; se poi α(t) si mantiene sempre molto piccolo, ci si può limitare al solo primo termine (n = 1), dando così luogo ad un comportamento lineare, dato che in tal caso si ottiene x(t) = a(1 + jα(t)). Se viceversa α(t) assume valori molto elevati, e quindi (14.52) comprende parecchi termini, subentra un secondo aspetto peculiare dell’fm, indicato come conversione ampiezza  →  frequenza, che può essere descritto tenendo conto che in base alla relazione f_i(t) = f₀ + k_fm(t), la frequenza istantanea presenta scostamenti rispetto ad f₀ direttamente proporzionali alle ampiezze di m(t), e quindi l’andamento della densità di potenza P_x(f) in funzione di f riflette quello (funzione di m) della densità di probabilità di p_M(m) che descrive le ampiezze di m(t), come torneremo ad approfondire al § 12.3.3.3. Infine, a valori intermedi della dinamica di α(t) corrisponde una P_x(f) che sarà una via di mezzo tra i due casi estremi discussi, e che pertanto possono essere pensati come casi limite tra cui porre la densità di potenza effettiva.

Dato che la natura non lineare della modulazione angolare rende necessario studiare ogni caso individualmente, il calcolo di P_x(f) viene svolto nel seguito per il caso particolare di un segnale m(t) sinusoidale, considerando le due possibilità estreme di α(t) molto piccolo o molto grande, ed i risultati vengono quindi estrapolati per approssimare altre situazioni.

Osserviamo che in entrambi i casi sia α(t) che f_i(t) variano sinusoidalmente con frequenza w; nel caso pm l’entità di Δf aumenta con w, mentre nell’fm la Δα diminuisce con w. Nel seguito si farà riferimento all’indice di modulazione angolare β, corrispondente alla massima escursione della fase Δα, che risulta: Con questa convenzione, possiamo trattare congiuntamente entrambi i casi pm ed fm riscrivendo l’inviluppo complesso come [646]   [646] Si è sostituito cos con sin nel caso pm per omogeneità di formulazione, senza alterare la sostanza delle cose. Notiamo ora che x(t) è periodico di periodo 1w, e dunque per esso vale lo sviluppo in serie di Fourier (§ 2.2) x(t) = a ∑^∞_{n = −∞}X_ne ^j2πnwt, i cui coefficienti sono definiti come ovvero sono pari [647]   [647] Le funzioni di Bessel del primo tipo, ordine n ed argomento β sono definite come J_n(β) = 12π ∫^π_− πe ^{j(βsinx − nx)}dx, riconducibili alla (14.53) mediante un cambio di variabile. alle funzioni di Bessel del primo tipo, ordine n ed argomento β. Queste hanno l’andamento mostrato alla figura 12.29, in cui sono riportate anche le proprietà che le caratterizzano. I valori di X_n si ottengono quindi tracciando una linea verticale nel diagramma di figura in corrispondenza del valore adottato per β, e individuando il valore di ciascuna J_n per quel β.

Osserviamo ora che in presenza di un valore di β elevato, in base all’ultima proprietà mostrata in fig. 12.29 ovvero che J_n(β) ≃ 0 con n > β se β≫1, le funzioni di Bessel di ordine n > β sono praticamente nulle: è quindi lecito in tal caso limitare lo sviluppo in serie di Fourier di x(t) ai primi β termini (positivi e negativi), ovvero Pertanto il segnale modulato x(t) = ℜ{x(t)e ^jω₀t} risulta pari a  [648]   [648] Infatti

x(t)e ^jω₀t = ⎲⎳^β_{n = − β}J_n(β)e ^j2πnwte ^j2πf₀t = ⎲⎳^β_{n = − β}J_n(β)e ^{j2π(nw + f₀)t}

la cui parte reale è appunto pari a ∑^β_{n = − β}J_n(β)cos2π(nw + f₀)t ossia è costituito da 2β + 1 cosinusoidi a frequenza f₀±nw centrate attorno ad f₀, e dunque il relativo spettro di densità di potenza ha espressione [649]   [649] Infatti ad ogni termine J_n(β)cos2π(f₀ + nw)t della (14.54) corrisponde una densità di potenza

P(f) = J ²_n(β)4 [δ(f − f₀ − nw) + δ(f + f₀ + nw)]

e la potenza della somma è pari alla somma delle potenze, in virtù della ortogonalità tra cosinusoidi. ed è formato da impulsi centrati a frequenza f = ±f₀±nw.

Osserviamo che in base alla proprietà ∑^+ ∞_{n = −∞}J ²_n(β) = 1, estendendo la somma in (14.55) per  −∞ > n > ∞ ed integrando su f si ottiene un risultato già noto, ovvero la potenza totale P_x eguaglia quella della portante non modulata, pari a a²2, indipendentemente dall’indice di modulazione β.