12.1 Modulazione di ampiezza - AM

• banda laterale doppia: così chiamata in quanto P_x(f) è simmetrico rispetto ad f₀, conseguenza dell’essere x_s(t) nulla. Si tratta del caso introdotto al § 3.5.2, ora indicato con gli acronimi bld o dsb (double side band);
• banda laterale unica (blu o ssb - single side band): qui sono presenti sia x_c(t) che x_s(t), con il vincolo x_s(t) = ^x_c(t). Ciò fa sì che (come vedremo) la densità P_x(f) del segnale modulato giaccia tutta all’esterno (od all’interno) di ± f₀;
• banda laterale ridotta (blr o vsb - vestigial side band [602]   [602] Come sarà più chiaro nel seguito, l’acronimo vsb evoca il fatto che, anziché sopprimere completamente una delle due bande laterali, se ne mantengono delle vestigia.) è una via di mezzo tra i due casi precedenti, in quanto P_x(f) non è simmetrica rispetto ad f₀, e pur giacendo su entrambi i lati, occupa una banda minore del caso bld.

• portante intera (pi o lc - large carrier);
• portante soppressa (ps o sc - suppressed carrier);
• portante parzialmente soppressa (pps).

12.1.1 Banda laterale doppia - BLD

Come anticipato, questo è il caso in cui l’inviluppo complesso x(t) del segnale modulato presenta una sola componente analogica di bassa frequenza, che per convenzione [603]   [603] Considerando che la portante del segnale ricevuto può avere una fase arbitraria, e che con una traslazione temporale ci si può sempre ricondurre ad usare una funzione cosω₀t, tale convenzione individua il caso più generale di un segnale modulato del tipo x(t) = a(t)cos(ω_ot + φ) con φ costante. Infatti, introducendo un ritardo τ = φ2πf_o si ottiene x(t − τ) = a(t − τ)cos(2πf₀(t − τ) + φ) = a(t − τ)cos(2πf₀t).

D’altra parte, risultando a(t)cos(ω_ot + φ) = a(t)(cos(ω_ot)cosφ − sin(ω_ot)sinφ) si ottiene che la presenza di una fase incognita φ determina la ricezione di un segnale modulato le cui c.a. di b.f. risultano pari a x_c(t) = a(t)cosφ e x_s(t) = a(t)sinφ, e che quindi variano in simultanea. Pertanto, in base ai risultati del § 13.1.2.4, il segnale modulato equivale a quello in cui è presente la sola componente in fase x_c(t), ma al quale un errore nella fase di demodulazione imprime una rotazione di angolo φ al piano dell’inviluppo complesso.

è posta pari a x_c(t), la cui dipendenza dal segnale modulante m(t) è espressa nella forma generale x_c(t) = a_p + k_am(t), e quindi

(14.38) x_BLD(t) = (a_p + k_am(t)) cosω₀t

Pertanto l’inviluppo complesso è reale e vale x(t) = a_p + k_am(t); considerando poi m(t) a media nulla, la relativa densità di potenza ha valore

P_x(f) = a²_p δ(f) + k²_a P_m(f)

Ricordando ora che P_x(f) = 14 (P_x(f − f₀) + P_x( − f − f₀)) (eq. (14.20)) e che per x(t) reale la relativa densità di potenza è pari ovvero P_x(f) = P_x(−f), la densità di potenza del segnale modulato risulta pari a

(14.39)
P_x(f) = a²_p4 [δ(f − f₀) + δ(f + f₀)] + k²_a4 [P_m(f − f₀) +  P_m(f + f₀)]

La potenza totale di x(t) vale perciò

(14.40)
P_x = ⌠⌡ P_x(f)df = a²_p2 + k²_a2 P_m

mentre la corrispondente densità spettrale è raffigurata a lato, dove si è posto k_a = 1.

12.1.1.1 Portante soppressa - PS

12.1.1.2 Portante intera - PI

Questo caso si verifica qualora si ponga a_p ≠ 0, con un valore scelto in modo che x_c(t) sia sempre positiva, e ciò accade se a_p ≥ k_a ⋅ max{|m(t)|}, in modo che risulti sempre (vedi fig. 12.2)

Figure 12.2 Modulazione di ampiezza bld

x_c(t) = a_p + k_am(t) ≥ 0    per ∀t

e quindi in modo che la portante modulata non inverta mai la fase, come invece accade per i casi di portante soppressa (o parzialmente).

Il rapporto

(14.41) I_a = k_a ⋅ max{|m(t)|}a_p

prende il nome di indice di modulazione e nel caso di portante intera assume valori compresi tra zero ed uno, o tra 0 e 100 in termini percentuali. Un indice I_a del 100% corrisponde allo sfruttamento di tutta la dinamica della portante, fatto rilevante ai fini delle considerazioni svolte al § 12.1.1.4.

12.1.1.3  Portante parzialmente soppressa - PPS

12.1.1.4 Efficienza energetica per portante intera e PPS

12.1.2 Banda laterale unica - BLU

Mentre con la modulazione bld si determina una occupazione di banda per il segnale modulato x(t) doppia di quella del segnale modulante, la tecnica blu impegna invece una banda uguale a quella di m(t). Tale risultato è ottenuto realizzando un segnale modulato x(t) le cui componenti analogiche x_c(t) ed x_s(t) sono dipendenti tra loro, ed in particolare imponendo che x_c(t) = m(t) e x_s(t) = ^m(t): infatti in tal modo si ottiene

(14.42)
x_BLU(t)  =  m(t) cosω₀t − ^m(t) sinω₀t =         =  m(t) e ^jω₀t + e^−jω₀t2 − ^m(t) e ^jω₀t − e^−jω₀t2j =         =  e ^jω₀t 12 [m(t) + j^m(t)] + e^−jω₀t 12 [m(t) − j^m(t)]

Ricordando ora che 12 [m(t) ± j^m(t)] = m^±(t) (vedi eq. (14.17) e (14.18)) corrisponde al contenuto a frequenze positive (e negative ) di m(t), allora (assumendo x(t) di energia) la trasformata di Fourier di ambo i membri di (14.42) fornisce

(14.43)
X_BLU(f)  =  δ(f − f₀) * M⁺(f) + δ(f + f₀) * M⁻(f) =         =  M⁺(f − f₀) + M⁻(f + f₀)

e quindi il segnale modulato am-blu è ottenuto a partire dai contenuti a frequenze positive e negative di m(t), traslati ai lati della portante f₀, come mostrato alla riga centrale della figura a lato, in cui il segnale modulato blu risulta (nel dominio della frequenza) esterno ad f₀, circostanza indicata come segnale blu in banda laterale superiore. Il caso opposto (banda laterale inferiore, riga in basso della figura) si ottiene cambiando segno a x_s(t) nella prima eguaglianza di (14.42); scriviamo dunque l’espressione generale come

(14.44)
x_BLU(t) = k_a√2 m(t) cosω₀t ∓ k_a√2 ^m(t) sinω₀t

con  −  e  +  rispettivamente per ottenere un segnale blu con banda superiore o inferiore.

12.1.2.1 Generazione di segnali BLU

• la prima (modulatore di Hartley) consiste nell’uso di un filtro di Hilbert per calcolare ^m(t), da usare assieme ad m(t)
  

  modulatore di Hartley
  in un modulatore in fase ed in quadratura, introdotto al § 11.2.3. E’ evidente come si possano presentare problemi se m(t) ha contenuti energetici prossimi a frequenza zero, che rendono assai stringenti le specifiche per approssimare il filtro di Hilbert, vedi § 11.4.1;
• nella seconda viene prima generato un segnale bld, che viene poi filtrato passa-banda
  

  filtraggio passa banda
  in modo da eliminare una delle due bande laterali. Qualora sia necessario trasmettere componenti spettrali di m(t) prossime a frequenza zero si determina un problema simile a quello del caso precedente, complicando la realizzazione del filtro.
• la tecnica numerica nota come modulatore di Weaver si avvale della possibilità di eseguire prodotti complessi su valori del segnale modulante campionato. Volendo ottenere un segnale blu con banda laterale superiore, il segnale di banda base m(t) (con banda W) viene moltiplicato per l’esponenziale complesso e^−j2πW2t in modo da centrare m⁺(t) attorno alla frequenza zero, ed eliminando m⁻(t) (ora centrato a frequenza  − W) dal segnale complesso ottenuto, mediante un filtro passa basso con banda W2. Il risultato viene quindi moltiplicato per una singola portante a frequenza f₀ + W2, ottenendo il risultato desiderato.

12.1.3 Banda laterale ridotta - BLR

Si può verificare il caso in cui non si possa assolutamente fare a meno di componenti di segnale a frequenza molto bassa, come avviene ad esempio nel segnale televisivo analogico [608]   [608] Nel caso ad esempio di ampie zone di immagine uniformi ed a luminosità costante, il segnale è praticamente costante. (vedi § 25.1). Si ricorre allora alla modulazione a banda laterale ridotta (blr),

ottenuta facendo transitare un segnale modulato bld attraverso un filtro che presenta una regione di transizione tra la banda passante e quella attenuata più dolce di quella di un passa-banda ideale, e che si estende oltre f₀.

12.1.4 Potenza di un segnale AM

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