Un segnale di immagine può essere di natura vettoriale [540]   [540] Esempi di formati per la grafica vettoriale sono pdf, eps, pdf, e vrml., come nel caso di un disegno prodotto da un plotter, e rappresentato mediante un linguaggio descrittivo che codifica le operazioni grafiche necessarie alla sua realizzazione; al contrario, un segnale di immagine è detto di tipo bitmap, o raster (griglia, reticolo), quando è il risultato di un campionamento spaziale, come nel caso di una foto digitale, di un fax, o del risultato di un processo di scansionamento ottico. Mentre le immagini vettoriali sono pienamente scalabili e ridimensionabili senza perdita di definizione, quelle bitmap sono ottimizzate per essere riprodotte nelle loro dimensioni originali, avendo già operato un processo di distorsione tale da sfruttare al più possibile le caratteristiche di predicibilità e di sensibilità percettiva.

Per quanto riguarda le immagini bitmap, queste sono definite nei termini di una matrice di elementi di immagine o pixel (picture elements) [541]   [541] Per alcuni anni, si è usato come sinonimo anche il termine pel, vedi ad es.
http://www.foveon.com/files/ABriefHistoryofPixel2.pdf., che sono l’equivalente bidimensionale dei campioni estratti da un segnale unidimensionale. Per ogni pixel è definito un valore associato alla intensità con la quale deve essere riprodotto: nel caso di immagini a colori, sono necessari tre valori di intensità, per cui una immagine è in realtà descritta da tre matrici, come approfondiamo di seguito.

I dispositivi di acquisizione e riproduzione di immagini a colori operano su tre diverse matrici di pixel, che rappresentano i tre colori di base della sintesi additiva, ossia rosso, verde, e blu, o rgb (dalle iniziali inglesi Red, Green e Blue). In figura 10.27 viene mostrato il principio di funzionamento di un prisma dicroico, che devia le tre componenti di colore verso tre diversi dispositivi di acquisizione. Variando quindi la proporzione con cui si sommano gli stimoli dei tre colori, si ottiene, oltre al bianco, anche qualunque altro colore. Sebbene dalle figure riportate sembra che il bianco risulti dal contributo in parti uguali delle tre componenti rgb, in realtà la scala di grigi della immagine monocromatica corrispondente si ottiene calcolando un segnale Y di luminanza secondo la formula che è quella usata per modulare il segnale video analogico [545]   [545] Vedi nota 1515 a pag. 25.1.. Come già discusso, in tale ambito la componente di colore viene trasmessa utilizzando due altri segnali, C_b o crominanza blu e C_r o crominanza rossa, secondo la formula Disponendo dei segnali Y, C_b e C_r, si possono riottenere i valori rgb inserendo la (10.267) nelle (10.268), e risolvendo il sistema di tre equazioni in tre incognite risultante.

Al § 25.1 abbiamo descritto come nel segnale televisivo analogico la componente di colore sia trasmessa assieme alla luminanza, su di una diversa portante, con modulazione di ampiezza in fase e quadratura. In realtà, per diversi motivi le componenti trasmesse non sono direttamente quelle individuate dalle (10.268), ma piuttosto componenti denominate U, V oppure I, Q, e così definite: Pertanto, in funzione delle diverse modalità di rappresentazione, un segnale video a colori può essere descritto indifferentemente da una delle seguenti quattro terne di segnali: rgb, yc_rc_b, yuv, yiq.

Dato che l’occhio umano non distingue più di 250 tinte diverse, e di 100 livelli di saturazione, si ritiene che utilizzare 8 bit per ogni componente dello spazio di colore rgb sia più che sufficiente. Con 8x3=24 bit per pixel (bpp) si possono infatti rappresentare 2²⁴ − 1 diversi colori, ovvero più di 16 milioni, molti dei quali indistinguibili ad occhio nudo. Modalità più spinte di quella a 24 bpp (detta truecolor) adottano 10, 12, 16 bit/componente, o rappresentazioni in virgola mobile, e sebbene non migliorino la qualità visiva, possono comunque essere usate in contesti professionali, per non perdere precisione nelle operazioni di editing ripetuto. Al contrario, profondità inferiori sono comunemente usate per risparmiare memoria, come nel caso di 15 bpp, che usa 5 bit per componente, o 16 bpp, che usa 6 bit per il verde, offrendo 65.536 colori diversi.

Nel caso si decida di adottare profondità molto ridotte, come 8 bpp, si preferisce ricorrere ad una modalità detta a colore indicizzato: l’insieme dei colori presenti nell’immagine viene quantizzato [546]   [546] Per una breve introduzione alla quantizzazione cromatica, può essere consultata Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Color_quantization in un insieme ridotto, i cui valori a 24 bpp sono memorizzati in una tavolozza (la palette detta anche colour look-up table o clut), che viene quindi utilizzata come un dizionario. La figura a lato mostra una immagine di esempio, assieme alla palette dei colori che usa. In questo modo, per ogni pixel dell’immagine è ora sufficiente specificare l’indice della palette dove è memorizzata la rappresentazione a 24 bpp del colore più prossimo.

Nella tabella riportata a pag. 1 è presente la colonna colore, che mostra come la dimensione riservata alle matrici di pixel che codificano le informazioni di crominanza sia ridotta di metà rispetto a quella della luminanza. Questo fatto trae origine da due buoni motivi: il primo è che l’acutezza visiva dell’occhio umano per ciò che riguarda le variazioni cromatiche è ridotta rispetto a quella relativa alle variazioni di luminosità; il secondo è che il segnale di crominanza presente nel segnale video composito occupa una banda circa metà di quella del segnale di luminanza. Pertanto, le componenti di luminanza sono generalmente campionate con una risoluzione spaziale inferiore a quella del segnale di luminanza. Il tipo di sotto-campionamento spaziale adottato per le componenti di crominanza è generalmente caratterizzato da quattro numeri, in accordo allo schema di fig. 10.29:

Il Graphics Interchange Format è un formato ad 8 bpp definito da CompuServe nel 1987 [547]   [547] Il documento di specifica può essere trovato presso W3C: http://www.w3.org/Graphics/GIF/spec-gif89a.txt e da allora ha continuato ad essere molto popolare. Usa una palette con cui rappresentare 256 colori scelti tra 16 milioni, e quindi comprime l’immagine mediante l’algoritmo lzw (§ 9.2.3.1), individuando sequenze ricorrenti dei valori di colore. Un singolo file può contenere più immagini (ognuna con la sua palette) in modo da realizzare brevi animazioni. Il numero ridotto di colori rende il formato poco idoneo alla riproduzione di fotografie, ma più che adatto ad immagini più semplici, come ad es. un logo di pagina web. Per rappresentare i colori assenti dalla palette, il codificatore può ricorrere ad una operazione di dithering, alternando colori che, osservati da lontano, ricreano l’effetto della tonalità mancante.

Dato che la compressione lzw era stata brevettata, venne sviluppata una codifica alternativa, denominata Portable Network Graphics. Al giorno d’oggi i brevetti relativi al formato gif sono tutti scaduti, ed il formato png è stato standardizzato nella rfc 2083 [548]   [548] Reperibile presso il sito di ietf: http://tools.ietf.org/html/rfc2083. Come per gif, anche png è di tipo lossless (senza perdite), ossia individua una compressione invertibile, capace di replicare in modo identico l’immagine di partenza, ovviamente senza considerare il processo di quantizzazione che porta alla generazione della palette. Oltre alla modalità di colore indicizzato, png offre anche una modalità truecolor a 24 o 32 bpp, e per questo può correttamente rappresentare anche materiale fotografico, al punto da consigliare l’uso di png (anziché jpeg) nel caso si prevedano successive operazioni di editing dell’immagine.

Il Joint Photographic Experts Group è un comitato congiunto iso/itu che ha definito lo standard internazionale per la compressione di immagini ISO 10918-1 [549]   [549] Scaricabile presso il W3C: http://www.w3.org/Graphics/JPEG/itu-t81.pdf, particolarmente adatto alla codifica di immagini fotografiche. Descriviamo di seguito il funzionamento della modalità operativa detta baseline, o lossy sequential mode, che è quella che offre il migliore grado di compressione, e che prevede cinque stadi di elaborazione, mostrati alla fig. 10.31: preparazione dei blocchi, Discrete Cosine Transform (dct), quantizzazione, codifica entropica, e formattazione.

L’immagine raster di partenza è formata da una o più matrici bidimensionali di valori (scala di grigi, oppure a colori indicizzati, o rgb, yc_rc_b, yuv, ...), eventualmente di dimensioni differenti (come nel caso yc_rc_b). Sebbene sia possibile elaborare direttamente una rappresentazione rgb, le migliori prestazioni si ottengono nello spazio yc_rc_b con sotto-campionamento spaziale 4:2:2 o (meglio) 4:2:0, e dunque il primo passo è quello di convertire l’immagine in questa modalità di rappresentazione.

Prima di procedere, la matrice Y (oppure le tre matrici r, g e b) che contiene valori ad 8 bit tutti positivi, viene normalizzata sottraendo ad ogni pixel il valore 128, in modo da ottenere valori tra -128 e 127. Quindi, per ogni blocco di 8x8 pixel, i cui valori indichiamo con p(x, y), viene calcolata una nuova matrice di 8x8 valori D(i, j) ottenuti come coefficienti di una trasformata coseno discreta (dct) bidimensionale (vedi § 4.5.3): in cui c_i e c_j sono ognuno pari a ¹⁄_√2 con indice i o j pari a zero, oppure c_i = c_j = 1 negli altri casi, mentre gli indici i e j variano tra zero e sette. Tralasciando di approfondire le relazioni esistenti tra dct e dft [551]   [551] Potremmo tentare comunque di estendere le considerazioni svolte al § 4.5.3 al caso bidimensionale..., consideriamo invece come i coefficienti D(i, j) così ottenuti permettano la ricostruzione della matrice originaria nei termini di una somma pesata delle superfici rappresentate (per mezzo di una scala di grigi) nel diagramma riportato alla figura 10.32, mediante l’applicazione della dct inversa Ma se fosse tutto qui, non avremmo realizzato la funzione di compressione! Questa è infatti realizzata dalle elaborazioni successive, a partire dalla rappresentazione in termini di blocchi dct, di cui ora approfondiamo il significato. Osserviamo quindi che ognuna delle superfici elementari rappresentate in fig. 10.32 è legata ad una coppia i, j associata ad un coefficiente D(i, j) della dct calcolata, in modo che tale coefficiente esprime il contenuto di frequenze spaziali descritto da quella particolare funzione della base. Per questo l’elemento (i, j) = (0, 0) in alto a sinistra, ad andamento costante, è indicato come coefficiente dc, o componente continua, dato che essendo calcolato come somma di tutti i pixel, riflette un valore che è legato alla intensità media dell’intero blocco. I coefficienti legati alle funzioni della prima riga rappresentano contenuti di frequenza spaziale orizzontale, con un periodo via via minore spostandosi verso il margine destro, mentre quelli della prima colonna, frequenze verticali. I coefficienti localizzati all’interno della matrice esprimono contenuti di frequenze spaziali in entrambe le direzioni, con valori di frequenza tanto più elevati, quanto più ci si sposta verso l’angolo in basso a destra. Pertanto, i coefficienti descritti da indici diversi da (0, 0) sono indicati come coefficienti ac.

Questo passo della elaborazione jpeg mira a sfruttare il fenomeno percettivo della ridotta sensibilità dell’occhio umano alle frequenze spaziali più elevate, ovvero la capacità di filtrare percettivamente le componenti di errore corrispondenti ai dettagli più minuti. Per questo, il processo di quantizzazione è orientato a ridurre, ed eventualmente sopprimere, le componenti di immagine legate alle frequenze spaziali più elevate, introducendo di fatto una soglia sotto la quale si stabilisce di non trasmettere quelle informazioni che tanto non sarebbero percepibili. A questo scopo, ogni coefficiente D(i, j) viene diviso per un coefficiente Q(i, j) dipendente da (i, j), ed il risultato viene arrotondato: Il risultato corrisponde ad un processo di quantizzazione, perché quando in ricezione il processo viene invertito (ri-moltiplicando il coefficiente per la stessa quantità), viene persa la precisione legata all’arrotondamento, e pari alla metà del coefficiente di divisione. La scelta dei Q(i, j) è fatta in modo tale da utilizzare valori più elevati per gli indici (i, j) più elevati, in modo da ottenere due risultati: ridurre le componenti ad alta variabilità spaziale dell’immagine, e poter usare meno bit per codificare questi valori (più piccoli). Inoltre, molti dei coefficienti con (i, j) elevato, già piccoli di per se, quando divisi per un coefficiente di quantizzazione più elevato, non sopravvivono all’operazione di arrotondamento, in modo che tipicamente la parte in basso a destra della matrice B(i, j) sarà tutta pari a zero, facilitando il compito della codifica run-length dello stadio successivo.

Sebbene esistano delle tabelle di quantizzazione predefinite, i valori effettivi possono essere variati in base ad un compromesso tra qualità che si intende conseguire e fattore di compressione; tali valori vengono poi acclusi assieme al bitstream codificato durante la fase di formattazione, in modo che il processo di quantizzazione possa essere invertito nella fase di riproduzione dell’immagine.

Questo passo è un processo senza perdita, nel senso che non aggiunge altre distorsioni oltre a quelle introdotte dal passo di quantizzazione, ma è essenziale ai fini della compressione, e sfrutta le caratteristiche statistiche del risultato delle elaborazioni precedenti. Come posto in evidenza nello schema di fig. 10.31, la codifica entropica adotta due diverse procedure per i coefficienti dc e ac, che in entrambi i casi culminano con uno stadio di codifica a lunghezza variabile mediante codici di Huffman.

Le matrici 8x8 relative ai blocchi di elaborazione visti fin qui vengono ora trasformate in sequenze ad una dimensione mediante un processo di scansione a zig zag dei blocchi, il cui percorso è illustrato alla figura a lato.

Blocchi adiacenti generalmente possiedono coefficienti dc molto simili tra loro, in virtù dell’omogeneità di ampie zone dell’immagine (pensiamo ad un porzione di cielo). Per questo motivo, anziché codificarli in modo indipendente, i singoli coefficienti dc di blocchi consecutivi vengono sottratti l’uno all’altro, e viene codificata solo la loro differenza. Ad esempio, se una sequenza di coefficienti dc risultasse pari a 12  13  11  11  10 …, il risultato di questo processo di codifica differenziale darebbe luogo alla sequenza 12  1   − 2  0   − 1 … (di fatto, il valore precedente al primo coefficiente si assume pari a zero). Dato che differenze in valore assoluto piccole sono relativamente più frequenti di differenze grandi, si è scelto di adottare per queste una codifica a lunghezza di parola variabile, realizzata

Per chiarire le idee, mostriamo le corrispondenze citate mediante due tabelle, che poi applichiamo al caso dell’esempio precedente.

differenza N. di bit sss valore codificato 0 0 -1, 1 1 1=1 -1=0 -3, -2, 2, 3 2 2=10 -2=01 3=11 -3=00 -7…-4, 4…7 3 4=100 -4=011 5=101 -5=010 6=110 -6=001 7=111 -7=000 -15…-8, 8…15 4 8=1000, -8=0111 ⋮ ⋮

sss codeword di Huffman 0 010 1 011 2 100 3 00 4 101 5 110 6 1110 7 11110 ⋮ ⋮ 11 111111110

Viene applicata alla sequenza di coefficienti ac che è il risultato dello zig-zag scan. In base all’effetto congiunto delle caratteristiche dei coefficienti della dct, e del processo di quantizzazione, la sequenza degli ac in uscita dal vettorizzatore presenta lunghe sequenze di zeri, consentendo di conseguire buoni rapporti di compressione mediante l’uso di una codifica run-length, realizzata scrivendo gli ac come una sequenza di coppie (skip, acn), in cui skip rappresenta il numero di zeri nel run, e acn è il coefficiente ac non nullo che viene dopo la sequenza di zeri. Quindi, il campo acn viene espresso a sua volta nella forma sss, valore, come indicato dalla prima tabella riportata nell’ultimo esempio. Infine, la coppia skip, sss viene rappresentata con una codeword di Huffman individuata in un nuovo codebook appositamente definito.

Lo standard jpeg definisce, oltre alla sequenza di operazioni indicata, anche il formato di trama con il quale deve essere memorizzato il bitstream finale. La struttura risultante è gerarchica, e mostrata alla figura 10.35.

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