Estendiamo il risultato trovato al § 9.3.2 per l’entropia differenziale h_G(X) = 12 log₂(2πeσ²) di una v.a. gaussiana reale X con varianza σ² a due altri casi, quello in cui X sia una v.a. vettoriale a componenti gaussiane (§ 6.5) con matrice di covarianza Σ, e quello in cui oltre a ciò, le v.a. marginali assumano valori complessi.

La v.a. X (vettore colonna ad n elementi) è descritta dalla d.d.p. n − dimensionale alla quale applichiamo la definizione di entropia H_X = E{ − log₂ p_X(x)}, ponendo m = 0 in quanto l’entropia differenziale è indipendente dalle traslazioni (pag. 1), e tenendo conto che log₂ p(x) = ln p(x)ln2, in modo da ottenere All’ultimo termine si applica ora il trucco della traccia [1299]   [1299] Vedi ad es. https://sgfin.github.io/ che permette due sostituzioni: la prima è [1300]   [1300] L’operatore matriciale tr(A) restituisce la somma degli elementi sulla diagonale della matrice quadrata A. Dal momento che xΣx^T è un numero, ovvero una matrice 1 × 1, la sua traccia è pari al numero stesso. x^TΣ^− 1 x =  tr(x^TΣ^− 1 x), e la seconda che si può scrivere [1301]   [1301] Nota come proprietà ciclica, vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Trace_(linear_algebra) tr(UVW) =  tr(WUV), dunque dato che E{xx^T} è una matrice con elementi E{x_ix_j} = σ_ij ossia esattamente gli elementi della covarianza Σ, il cui prodotto per Σ^− 1 è dunque la matrice identità di dimensione n. Pertanto risulta e dato che ln (e) = 1 scriviamo che può anche essere scritta come h_GM = 12 log₂(det(2πeΣ)).

In questo caso Z è un vettore ad n componenti complesse z_k = x_k + jy_k note come v.a. gaussiana centrata a simmetria circolare [1302]   [1302] Vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_normal_distribution, le cui parti reale ed immaginaria x_k, y_k sono v.a. gaussiane indipendenti (in quanto E{x_ky ^* _k} = 0) a media nulla e varianza 12 σ ²_k (in modo che E{z_kz ^* _k} = E{x_kx ^* _k} + E{y_ky ^* _k} = σ²_k), con matrice di covarianza ∑ Hermitiana [1303]   [1303] Ossia ∑ coincide con la propria trasposta coniugata (o aggiunta); dunque se la matrice è ad elementi reali, è simmetrica. Vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_hermitiana ad elementi σ_i, j = E{z_iz ^* _j}. Per calcolare l’entropia h_GC di questo tipo di sorgente informativa [1304]   [1304] O molto più banalmente, il campionamento dell’inviluppo complesso del rumore osservato su n canali equivalenti di bassa frequenza. si può procedere in (almeno) due modi: il primo prende in considerazione la d.d.p. di Z che ora si scrive in cui (a parte il resto) al posto del trasposto ^T che compare nella (21.290) ora si usa il trasposto coniugato ^† o Hermitiano. A partire dalla (21.293), applicando sviluppi analoghi alle (21.291) - (21.292) si può ottenere