Al contrario, se il segnale trasmesso da ciascuna antenna adotta una modulazione ofdm (§ 16.8) i problemi appena esposti semplicemente svaniscono, ed al tempo stesso si aprono possibilità di ulteriore miglioramento della qualità e delle prestazioni del collegamento. Tutto nasce dal fatto che, ripartendo il flusso binario da trasmettere su P canali ortogonali (in frequenza) con una occupazione di banda ridotta, per ciascuno di essi risulta verificata l’ipotesi di fading piatto. Inoltre l’adozione del prefisso ciclico consente di annullare gli effetti dell’isi senza dovere ricorrere ad uno stadio di equalizzazione, se non per la componente di stima di canale alla frequenza delle sottoportanti, che è comunque necessaria per la ricezione di trasmissioni mimo. Infine l’utilizzo di una fft per realizzare i processi di modulazione e demodulazione fa si che la complessità dei dispositivi aumenti solo con legge Plog₂P al crescere del numero di sottoportanti P, e dunque della velocità di trasmissione.

La classica matrice H dei guadagni complessi tra le n_R antenne di ricezione (le righe i) e la n_T di trasmissione (colonne j) che compare nella (21.210) si è dunque arricchita di un ulteriore indice, quello che individua il piano p corrispondente ad ognuna delle sottoportanti usate dall’ofdm, in modo che tutti i n_R ⋅ n_T ⋅ P valori possano essere individuati come (H)_i, j, p = h_ijp. La relazione (21.281) può quindi essere riscritta in forma matriciale considerando le matrici S ed R dei simboli trasmessi e ricevuti lette per colonne, ottenendo rispettivamente i vettori s_p degli n_T valori trasmessi alla frequenza p, e quelli r_p degli n_R valori ricevuti alla medesima frequenza, in modo da poter scrivere in cui H_p di dimensione n_R × n_T è il piano p della matrice tridimensionale H e corrisponde alla tradizionale relazione (21.210) tra le antenne, specializzata per la frequenza p, ed n_p di dimensione n_R rappresenta il rumore alla stessa frequenza. La costruzione della matrice R completa si realizza quindi concatenando le sue colonne r_p, ovvero La variazione di H_p con l’indice di portante p è dunque l’elemento che aggiunge al mimo-ofdm anche la componente di diversità in frequenza oltre che spaziale.

Si aprono ora diverse possibilità: in fig.21.19-a viene mostrata l’applicazione di un codice stbc di Alamouti su di una unica sottoportante, trasmesso da due antenne in due istanti temporali: si ottiene R_c = 1 in quanto si trasmettono due simboli in due istanti, e lo stesso può essere fatto su tutte le P portanti. La fig. 21.19-b mostra invece lo stesso codice trasmesso sempre da due antenne, ma applicato su due portanti dello stesso simbolo, conseguendo nuovamente R_c = 1: questo caso viene indicato come space-frequency block code (sfbc). E’ evidente che mentre nel primo caso possiamo trarre vantaggio solo sul fronte della diversità spaziale, nel secondo vorremmo sfruttare anche la diversità frequenziale, sempre nei limiti di quanto evidenziato alla nota 1272; in entrambi i casi non si riesce però a conseguire [1276]   [1276] Una buona sintesi storica di questo filone di studio si trova in W Zhang, XG Xia, KB Letaief, Space-time/frequency coding for MIMO-OFDM in next generation broadband wireless systems, IEEE Wireless Comm. June 2007, di cui trovo una copia presso https://www.eecis.udel.edu/~xxia/WeiZhang1.pdf tutta la diversità offerta sia nello spazio che in frequenza, vedi eq. (21.280). Qualcosa di meglio si riesce a fare secondo gli approcci di fig. 21.19-c e -d, che raddoppiano il numero di portanti su cui si sviluppa il codice, con un dimezzamento di R_c; per entrambi se il numero di repliche del codice eguaglia quello (L) dei cammini multipli, lo schema può offrire il massimo guadagno (21.280) con un rate R_c = ¹⁄_L. Tuttavia, l’implementazione di fig. 21.19-d presenta una maggiore complessità di decodifica.

Rimandando alla nota (1272) per gli approfondimenti, qui citiamo solamente che sono stati individuati codici sfbc in grado di sfruttare il massimo guadagno di diversità (21.280) con R_c = 1, ed anche (impiegando codici algebrici [1277]   [1277] Vedi H. El Gamal, M. O. Damen, Universal Space–Time Coding, IEEE Trans. on Inf. Th., May 2003, reperibile presso http://www2.ece.ohio-state.edu/~elgamal/print12.pdf) con R_c = n_T, ovvero capaci di trasmettere un diverso flusso per antenna. Ovviamente, tutto ciò al prezzo di una complessità di decodifica ancora maggiore.

Ma non è finita! Nel caso in cui il canale presenti una accentuata variabilità temporale, con valori di H da considerare costanti nell’ambito di un blocco (in cui entrano uno o pochi simboli ofdm) ma variabili da un blocco all’altro, il canale viene definito come soggetto a block-fading, ed una ulteriore categoria di codici stfbc [1278]   [1278] Vedi W. Zhang, X. Xia, P. C. Ching, High-Rate Full-Diversity Space–Time–Frequency Codes for Broadband MIMO Block-Fading Channels, IEEE Trans. on Comm., January 2007, di cui trovo una copia su CiteseerX che si estende su di n_B blocchi con fading indipendente può conseguire un ordine di diversità ancora maggiore, e pari a L ⋅ n_T ⋅ n_R ⋅ n_B, con un tasso R_C = n_T.

Per effettuare la detezione del simbolo s^p_j la bs calcola la matrice G_p a partire da H_p con uno dei metodi discussi al § 21.5 e valuta il prodotto tra la j − esima riga g^p_j di G_p e la (21.282), ottenendo in cui il primo termine è quello desiderato, il secondo sono gli interferenti (che se in numero elevato possono essere ritenuti a somma gaussiana) e l’ultimo è il nuovo termine di rumore; dopodiché si valuta ŝ_j = argmin _s ∈ A (ŝ_j−s)².

Notiamo che qualora G_p sia ottenuta con l’approccio zero forcing (§ 21.5.2), il termine di interferenza si annulla; notiamo inoltre che il calcolo (21.283) può essere svolto in contemporanea per tutti gli utenti, come s̃ = G_pr^p_BS = G_pH^u_ps_p + G_pn.

La fig. 21.24 mostra [1281]   [1281] Tratta dall’ottimo testo di E. Björnson, J. Hoydis, L. Sanguinetti, Massive MIMO Networks: Spectral, Energy, and Hardware Efficiency, 2017, accessibile presso https://massivemimobook.com la suddivisione del piano tempo - frequenza in cb, evidenziando in giallo gli intervalli temporali dedicati alla trasmissione dell’uplink ed in rosa quelli per il downlink, mentre all’interno di un cb evidenzia la suddivisione in sottoportanti, ed i campioni complessi che si possono ottenere per ogni sottoportante, in numero totale (per ogni cb) τ_c proporzionale [1282]   [1282] Considerando che un inviluppo complesso che occupa una banda bilatera B_c viene campionato a frequenza doppia di ^B_c⁄₂, in T_c secondi si ottengono appunto B_cT_c campioni. Una volta eliminato il prefisso ciclico (fig. 21.26) tale numero si riduce, ed il ricevitore ofdm ne effettua la fft ottenendo altrettanti campioni complessi in frequenza. al prodotto B_cT_c, per cui scriviamo suddivisi tra tutte le portanti e tutti i simboli ofdm trasmessi nelle due direzioni nell’ambito di uno stesso cb.

Dato che la bs conosce la sequenza φ_k utilizzata da ciascun utente k, può effettuare la stima del canale h^h_j relativo ad uno specifico utente j moltiplicando (correlando) la (21.288) per la sequenza coniugata φ ^* _j di quella assegnata all’utente j, ottenendo in quanto per l’ortogonalità delle sequenze pilota assegnate ad utenti differenti, il prodotto φ^T_kφ ^* _j è nullo per k ≠ j e pari a τ_p per k = j. Dato che il prodotto N_hφ ^* _j è un vettore complesso gaussiano circolare a media nulla e covarianza σ²_ULτ_pI_nBS, la stima di massima verosimiglianza (e dunque di minima distanza) per h^h_j si ottiene come e dunque le componenti ĥ_ij di ĥ^h_j sono v.a. gaussiane a media h_ij e varianza σ²_UL√E_kτ_p: in altre parole, l’utilizzo di una sequenza-pilota di lunghezza τ_p determina un guadagno di processo pari a τ_p ovvero un miglioramento dell’SNR di τ_p volte quello che si otterrebbe per una pilota singola.

E’ ovvio che per quanto grande possa essere la dimensione del pilot book Φ, è impossibile assegnare sequenze differenti a tutti gli utenti che possono interferire tra loro, sicché la stima di canale svolta da parte delle bs è gravata da un errore detto pilot contamination, e che consiste in un termine di errore nella stima (21.289) che origina da tutti gli ue nelle altre celle che condividono la stessa sequenza pilota φ dello ue di cui si sta stimando la risposta in frequenza.

Senza avere la minima pretesa di approfondire a sufficienza l’argomento, al cui riguardo si rimanda il lettore al testo indicato alla nota 1281, ci si limita a citare che in questo caso la problematica viene affrontata tenendo conto della diversa correlazione spaziale R^k_h che lega statisticamente le componenti del vettore delle risposte in frequenza h_k di ciascun generico utente k nei confronti delle antenne di una bs.

A differenza di un collegamento mimo punto-punto, in cui tra le diverse antenne da ambo i lati si manifestano vettori h descritti da matrici di correlazione R_h sostanzialmente simili, nel caso multiutente ogni utente k è in genere distante da tutti gli altri per un buon multiplo di lunghezze d’onda λ, e dunque manifesta una diversa matrice R^k_h, ovvero ogni vettore h_k risulta essere una realizzazione di una diversa d.d.p. gaussiana multivariata a media nulla e covarianza R^k_h. Ciò consente di impostare la stima di canale secondo un approccio mmse, capace di sfruttare l’informazione legata alla conoscenza delle matrici R_h dei diversi utenti, e in grado di subire la pilot contamination solo nel caso di utenti che, oltre alla stessa sequenza φ, hanno in comune anche il medesimo orientamento rispetto alla bs nei cui confronti si sta stimando il vettore h. Per una esemplificazione di quanto illustrato, si veda la fig. 21.28.

Per quanto riguarda le matrici R_h, esse vengono stimate a partire dalle stime dei vettori h collezionate nel tempo, e mantenute aggiornate nel caso di mobilità adattandone la stima a partire dai dati via via raccolti.