Capacità del canale MIMO con fading di Rayleigh, SVD di H e codifica water filling

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21.4 Capacità di canale con fading di Rayleigh

Le tecniche di valorizzazione della diversità spaziale fin qui discusse apportano un beneficio alla comunicazione che è stato quantificato come un aumento dell’SNR per la variabile di decisione. Tale aumento può essere capitalizzato aumentando il numero M di bit (e di livelli L = 2^M) rappresentati da ciascun simbolo s_i del messaggio da trasmettere, aumentando così la velocità di trasmissione, a parità di periodo di simbolo e di banda occupata. Il legame tra SNR di un canale awgn e la conseguente massima velocità di trasmissione è stato analizzato al § 17.3 ed espresso nei termini della capacità C del canale; affrontiamo ora l’adattamento di tale formulazione al caso di canale affetto da fading di Rayleigh ed in presenza di più antenne trasmittenti e/o riceventi, descritto dalla relazione

(21.242) r = Hs + n

come illustrato al § 21.2, con il vincolo di mantenere la potenza P_s = E{s²} ⋅ f_s emessa collettivamente da tutte le n_T antenne trasmittenti limitata a P_T.

Canale SISO

Per avere un termine di paragone rispetto al quale confrontare i risultati valutiamo per prima l’espressione di C con n_T = n_R = 1, nel cui caso la (21.242) è una semplice relazione scalare (a valori complessi) r = hs + n. L’espressione (eq. (21.101)) della capacità awgn C = B ⋅ log₂ (1 + P_TN₀B) [bit/sec] viene riscritta come [1218] [1218] Ripercorriamo lo sviluppo svolto al § 17.3 per un canale a valori reali, che definisce C = max_p(s){I(S;R)} in cui I(S;R) = h(R) − h(R ⁄ S) è l’informazione mutua media tra simbolo s trasmesso e valore ricevuto r. Il termine h(R ⁄ S) è dovuto al solo rumore, e per esso rimane valido il risultato (21.99) ovvero h(R ⁄ S) = 12 log₂(2πeσ²_n); il massimo di C si ottiene quindi massimizzando h(R), che come noto (§ 9.6.2) avviene con r gaussiano, fornendo h(R) = 12 log₂(2πeσ²_r) in cui per σ²_r si ottiene

σ²_r = E{r²} = E{(hs + n)(hs + n)} = |h|²E{s²} + E{n²} = |h|²σ²_s + σ²_n

in virtù dell’incorrelazione tra s ed n, entrambi a media nulla. Procedendo come al § 17.3 si ha

C = max_p(s){I(S;R)} = max_p(s){h(R) − h(R ⁄ S)} = 12 log₂(2πe(σ²_n + σ²_s|h|²)) − 12 log₂(2πeσ²_n) = = 12 log₂σ²_n + σ²_s|h|²σ²_n = 12 log₂⎛⎝1 + σ²_sσ²_n |h|²⎞⎠

in cui definiamo σ²_sσ²_n = ρ pari all’SNR in assenza di fading. Per arrivare alla (21.243) osserviamo come un canale a valori complessi equivalga a due canali reali indipendenti (basti pensare al mo-demodulatore in fase e quadratura), essenzialmente in virtù della indipendenza delle parti reale ed immaginaria del coefficiente complesso h e del rumore n. Pertanto la capacità del canale complesso è il doppio di quanto ora calcolato, come espresso dalla (21.243). Qualcuno può giustamente chiedersi ora se l’SNR ρ sia da riferirsi al singolo ramo (I o Q), oppure al segnale complesso. In realtà i due valori sono equivalenti, perché per il canale complesso sia σ²_s che σ²_n raddoppiano.

(21.243)
C_SISO = log₂ (1 + ρ |h|²) bit/secondo/Hertz

in cui ρ è l’SNR che si sarebbe ricevuto in assenza di fading, |h| ha una d.d.p. di Rayleigh dovuta al fading, ed il risultato viene espresso per Hertz di banda occupata anziché in forma cumulativa, e dunque la (21.243) ha il significato di massima efficienza spettrale (pag. 1) conseguibile. La stessa (21.243) può essere equivalentemente misurata in bit/simbolo o bit/uso del canale.

Capacità ergodica e garantita

Osserviamo che il valore (21.243), come quelli che seguiranno, è in realtà una v.a., in quanto h lo è. A partire dall’espressione (21.243) si possono ricavare due numeri: il primo si ottiene eseguendo il valore atteso di C rispetto alla variabilità di h, ottenendo un valore medio indicato anche come capacità ergodica. Il secondo è invece riferito ad un grado di servizio g ed esprime il valore di capacità superato nel g% del tempo, ed in questo senso detta capacità garantita (per il g% del tempo). Ma ai fini di quel che segue sono presi in considerazione casi in cui h non varia per tutta la durata del collegamento, in modo da permettere il confronto tra risultati.

Canale SIMO

In presenza di n_R antenne riceventi al § 21.3.1.2 si è analizzato come un ricevitore mrc determini un aumento dell’SNR di una quantità pari a ∑^n_R_i = 1|h_i|², e difatti anche il valore teorico di capacità risulta pari a

(21.244)
C_SIMO = log₂⎛⎝1 + ρ ⎲⎳^n_R_i = 1|h_i|²⎞⎠ bit/secondo/Hertz

in cui h_i è il guadagno complesso per l’i − esima antenna. Notiamo che la dipendenza tra n_R e C_SIMO è di tipo logaritmico, e dunque l’incremento di C_SIMO è via via minore all’aumentare di n_R.

Canale MISO

Nel caso di n_T antenne trasmittenti, ma in assenza di conoscenza da parte del trasmettitore dei valori che compaiono nella matrice H, ogni antenna utilizza un n_T − esimo della potenza totale di trasmissione, e la capacità risulta pari a

(21.245)
C_MISO = log₂⎛⎝1 + ρn_T ⎲⎳^n_T_i = 1|h_i|²⎞⎠ bit/secondo/Hertz

ovvero oltre all’incremento solamente logaritmico con n_T, si assiste anche alla progressiva riduzione dell’SNR di ricezione, in virtù del vincolo sulla potenza totale di trasmissione che va suddivisa su tutte le n_T antenne.

21.4.1 Capacità del canale MIMO

Il calcolo della capacità in presenza di più antenne sia in trasmissione (n_T) che in ricezione (n_R) segue le linee guida indicate alla nota 1218, con l’obiettivo di rendere massima l’informazione mutua media

I(s;r) = h(r) − h(r ⁄ s)

tra i vettori dei simboli trasmessi s e di quelli ricevuti r in modo da ottenere C = max_p(s){I(s;r)}. Dato che si suppone la matrice di canale H perfettamente nota in ricezione la sua incertezza condizionata ad s è nulla, dunque

h(r ⁄ s) = h(Hs + n ⁄ s) = h(n ⁄ s) = h(n)

in quanto n ed s sono statisticamente indipendenti, e quindi

(21.246) I(s;r) = h(r) − h(n)

L’entropia differenziale h(n) del vettore gaussiano complesso n è calcolata al § 21.9.1 come h(n) = log(det(πeΣ_n)), dove Σ_n = E{nn^†} è la matrice di covarianza del rumore n. Per massimizzare la (21.246) occorre quindi massimizzare h(r), il che avviene quando anche r è un vettore gaussiano complesso, per il quale nuovamente h(r) = log(det(πeΣ_r)), in cui la matrice di covarianza Σ_r del vettore (a media nulla) ricevuto risulta pari a

Σ_r = E{rr^†} = E{(Hs + n)(Hs + n)^†} = E{Hs(Hs)^†} + E{nn^†} = = HE{ss^†}H^† + Σ_n = HΣ_sH^† + Σ_n

data l’incorrelazione tra s ed n, ed avendo sostituito (Hs)^† = s^†H^†. Mettendo tutto assieme otteniamo dunque

(21.247)
C_MIMO = max_p(s){I(s;r)} = max_p(s){h(r) − h(n)} = = log₂(det[πeΣ_r]) − log₂(det[πeΣ_n]) = log₂⎛⎜⎝det[πeΣ_r]det[πeΣ_n]⎞⎟⎠ = = log₂(det[ Σ_rΣ^− 1_n]) = log₂(det[( HΣ_sH^† + Σ_n)Σ^− 1_n]) = = log₂(det[ HΣ_sH^†Σ^− 1_n + Σ_nΣ^− 1_n]) = = log₂(det[ I_{n_R} + Σ^− 1_nHΣ_sH^†]) bit/sec/Hz

in cui la capacità mimo viene a dipendere dalla covarianza di sorgente Σ_s, da quella di rumore Σ_n, e dalla matrice di canale H. Vediamo ora come diverse ipotesi su tali grandezze permettano di arrivare a risultati adatti ai singoli casi.

Rumore incorrelato tra antenne

La circostanza di avere un rumore spazialmente bianco, che si verifica quando per le componenti n_i del vettore n risulta E{n_in^*_j} = 0 con i ≠ j oppure σ²_n se i = j, può essere interpretata come una assenza di interferenti in comune tra le antenne di ricezione. A ciò consegue una covarianza del rumore nella forma Σ_n = σ²_nI_{n_R}, ossia una matrice nulla tranne che sulla diagonale, dove vale σ²_n. In tal caso la (21.247) diviene

(21.248)
C_{MIMO − WN} = log₂(det[ I_{n_R} + 1σ²_n HΣ_sH^†]) bit/sec/Hz

Potenza trasmessa uniforme e simboli incorrelati

In generale il trasmettitore non è a conoscenza dei valori di H, e l’unica cosa che può fare è trasmettere con la stessa potenza su tutte le n_T antenne. Allo stesso tempo è lecito considerare i simboli trasmessi incorrelati, ossia per due elementi s_i, s_j di s si ha E{s_is_j} = 0 se i ≠ j. Sotto tali condizioni la covarianza del segnale è pari a Σ_s = E_sn_T I_{n_T} ossia è tutta nulla tranne che sulla diagonale, dove vale un n_T − esimo dell’energia per simbolo E_s = E{s^†s}. In queste circostanze la (21.248) diviene

(21.249)
C_{MIMO − EP} = log₂(det[ I_{n_R} + ρn_T HH^†]) bit/sec/Hz

in cui ρ = E_sσ²_n è l’SNR per simbolo del segnale ricevuto da ciascuna delle n_R antenne a partire da tutte le n_T trasmittenti.

Derivazione della capacità MISO e SIMO

Notiamo che la condizione di equipartizione di P_T è in comune alla configurazione miso che conduce alla (21.245), ma mentre in quel caso la capacità aumenta con legge logaritmica rispetto ad n_T, si dimostra che la (21.249) aumenta linearmente con m = min(n_T, n_R). Osserviamo inoltre che (21.249) diviene esattamente pari a C_MISO (eq. (21.245)) quando n_R = 1, dato che in questa circostanza H è un vettore riga, e dunque HH^† = ∑^n_T_i = 1|h_i|². Per lo stesso motivo (21.249) diviene pari a C_SIMO (eq. (21.244)) quando n_T = 1.

Il contributo di H

Quando entrambi i lati del collegamento sono equipaggiati con più antenne la (21.249) può essere riscritta in una forma che permette di individuare quali caratteristiche della matrice di canale mimo H di dimensioni n_R × n_T rendono il valore C_{MIMO − EP} più o meno grande. Andiamo a mostrare che ciò dipende dagli autovalori non nulli λ₁, λ₂, ⋯, λ_m della matrice n_R × n_R

W = HH^†

simmetrica, semidefinita positiva e di rango m ≤ min(n_T, n_R) [1219] [1219] La definizione W = HH^† è valida quando n_R ≤ n_T, mentre se n_T < n_R conviene scrivere W = H^†H, con dimensioni n_R × n_R e n_T × n_T rispettivamente. Da questo punto di vista è da notare che in base al teorema di Weinstein–Aronszajn sussiste l’identità

det[I_{n_R} + ρn_THH^†] = det[I_{n_T} + ρn_TH^†H]

vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Weinstein-Aronszajn_identity: date due matrici A e B di dimensioni m × n ed n × m, risulta det(I_m + AB) = det(I_n + BA).

, che può quindi essere espressa (§ 6.7.3) come W = ΓΛ Γ^† in cui Λ è una matrice quadrata tutta nulla tranne per gli autovalori λ_i sulla diagonale, e Γ è una matrice unitaria [1220] [1220] Ovvero per la quale ΓΓ^† = Γ^†Γ = I, ossia la matrice identità. con colonne pari agli autovettori di W, posti nello stesso ordine con cui gli autovalori compaiono in Λ. Partendo dalla (21.249) scriviamo pertanto

(21.250)
C_{MIMO − EP} = log₂(det[ I_{n_R} + ρn_T HH^†]) = log₂(det[ I_{n_R} + ρn_T ΓΛΓ^†]) = = log₂(det[ I_m + ρn_T Γ^†ΓΛ]) = log₂(det[ I_m + ρn_T Λ]) = = log₂(⎛⎝1 + ρn_Tλ₁⎞⎠⎛⎝1 + ρn_Tλ₂⎞⎠ ⋯ ⎛⎝1 + ρn_Tλ_m⎞⎠) = = ⎲⎳^m_i = 1log₂⎛⎝1 + ρn_Tλ_i⎞⎠ bit/sec/Hz

in cui la terza eguaglianza deriva dall’identità riportata alla nota 1219, la quarta dall’essere Γ unitaria, mentre alla quinta si è sviluppato il determinante come prodotto dei termini sulla diagonale. Discutiamo del risultato non appena ottenuto:

la (21.250) mostra come C_{MIMO − EP} sia pari alla somma delle capacità di m canali virtuali di tipo siso (eq. (21.243)) indipendenti, ognuno con SNR per simbolo pari a ρn_T = 1n_T E_sσ²_n e guadagno di Rayleigh |h|² = λ_i;
essendo il determinante pari al prodotto degli autovalori, la matrice

I_m + ρn_T Λ = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ 1 + ρn_Tλ₁ 0 ⋯ 0 0 1 + ρn_Tλ₂ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 + ρn_Tλ_m ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
di dimensioni m × m ha autovalori 1 + ρn_T λ_i, così come anche I_{n_R} + ρn_THH^†;
essendo W semidefinita positiva [1221] [1221] Ossia tale che ℜ{c^†Wc} ≥ 0 per ∀c, vedi anche § 6.7.3. Per la precisione W è una matrice Hermitiana, ossia tale che W = W^†, e la condizione precedente diviene c^†Wc ≥ 0, vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_definita_positiva. Anzi, ad essere ancora più precisi, per la sua natura aleatoria W è nota come matrice di Wishart, e la legge di distribuzione probabilistica dei suoi valori è descritta dalla omonima distribuzione, vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_di_Wishart. i suoi autovalori λ_i sono tutti reali e non negativi, risultando inoltre [1222] [1222] In quanto W e Λ sono matrici simili, vedi ad es.
https://it.wikipedia.org/wiki/Similitudine_tra_matrici. det W = det Λ. Dunque I_m + ρn_TΛ ha autovalori reali e positivi, così come I_{n_R} + ρn_THH^†;
la (21.250) è tanto più grande quanto maggiori sono gli autovalori λ_i, o meglio (dopo averli ordinati in ordine decrescente) quanto più il loro valore non decade troppo rapidamente. Autovalori piccoli o peggio ancora nulli (qualora il rango di W sia minore di n_R) sono indicativi di antenne poco distanziate, ovvero di una matrice H con righe (o colonne) circa pari alla combinazione lineare di altre righe (o colonne), ossia con valori h_ij correlati, da attribuirsi ad una ridotta variabilità del multipath, eventualmente anche dovuta ad un elevato fattore di Rice ossia una eccessiva visibilità tra le antenne (§ 20.3.1 e pag. 1);
gli elementi della matrice aleatoria W = HH^† sono pari a w_ij = ∑^n_T_k = 1h_ikh^*_jk ossia al prodotto scalare tra le righe i e j di H, di valore tanto maggiore quanto più i guadagni complessi tra ciascuna delle due antenne riceventi i e j e tutte le n_T trasmittenti sono paralleli. Da questo punto di vista gli elementi w_ij sono proporzionali ad una stima campionaria della correlazione tra i valori ricevuti dalle antenne i e j.

21.4.1.1 Trasmissione a potenza differenziata

Rimuoviamo ora l’ipotesi Σ_s = E_sn_T I_{n_T} adottata per giungere alle (21.249) e (21.250) ed investighiamo se esista una diversa matrice Σ_s tale da rendere il termine det [I_{n_R} + 1σ²_n HΣ_sH^†] che compare nella (21.248) maggiore di quanto ottenuto per la (21.250), mantenendo il vincolo [1223] [1223] Ricordiamo che la traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi sulla diagonale.

tr(Σ_s) = ⎲⎳^n_T_i = 1 E{s_is^*_i} = E_s ≤ P_Tf_s

A questo scopo consideriamo per H la sua scomposizione ai valori singolari (SVD [1224] [1224] Vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Decomposizione_ai_valori_singolari)

H = U D V^†

dove D è una matrice n_R × n_T tutta nulla tranne che per gli elementi sulla diagonale, noti come valori singolari di H, e pari alla radice quadrata degli autovalori non nulli λ_i (i = 1, ⋯, m) di HH^† (ma anche di H^†H), ovvero (D)_ii = λ^¹⁄₂_i, mentre U e V sono matrici unitarie di dimensione n_R × n_R e n_T × n_T rispettivamente, le cui colonne sono (per U) gli autovettori di HH^†, e per V gli autovettori di H^†H.

Con tali posizioni per l’argomento di (21.249) otteniamo

(21.251) det[I_{n_R} + 1σ²_n HΣ_sH^†] = = det[I_{n_R} + 1σ²_n UD V^†Σ_sVD^† U^†] = = det[I_{n_R} + 1σ²_n D V^†Σ_sVD^†]

dove all’ultima eguaglianza si è invocata l’identità di cui alla nota 1219 e ricordato che U^†U = I_{n_R}. Evocando ora la disuguaglianza di Hadamard [1225] [1225] Vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard's_inequality, che recita

per una matrice A semidefinita positiva risulta det(A) ≤ ∏_ia_ii, con il segno di uguale solo se A è diagonale

osserviamo come per massimizzare la (21.251) occorra che I_{n_R} + ¹⁄_{σ²_n} D V^†Σ_sV D^† sia diagonale. A tale scopo eseguiamo il cambio di variabile [1226] [1226] Che, essendo V unitaria ossia una rotazione, non modifica le caratteristiche informative ed energetiche delle quantità in gioco. s̃ = V^†s in modo da poter scrivere

Σ_s̃ = E{s̃s̃^†} = E{V^†ss^†V} = V^†Σ_sV

ovvero Σ_s = VΣ_s̃V^†, e quindi riformulare la (21.251) come

(21.252)
det[I_{n_R} + 1σ²_n D V^†Σ_sVD^†] = det[I_{n_R} + 1σ²_n D V^†VΣ_s̃V^†VD^†] = = det[I_{n_R} + 1σ²_n D Σ_s̃D^†]

che è massimo quando I_{n_R} + 1σ²_n D Σ_s̃D^† è diagonale, ovvero quando Σ_s̃ lo è. Ma l’elemento i − esimo sulla diagonale di Σ_s̃ è pari all’energia per simbolo E_{s_i} trasmesso dall’i − esima antenna [1227] [1227] In quanto

(Σ_s̃)_i, i = E{s_ĩs_ĩ^*} = E{(V^†)_is_is^*_i(V)_i} = E{s_is^*_i}(V^†)_i(V)_i = E_{s_i}

ovvero l’energia per il simbolo trasmesso dall’antenna i. Con (V^†)_i si è indicata l’i − esima riga di V^† e con (V)_i l’i − esima colonna di V, il cui prodotto scalare è uno, essendo la matrice unitaria. La trasformazione s̃ = V^†s è infatti una rotazione che non altera la norma di s, e dunque Σ_s e Σ_s̃ hanno la stessa diagonale.

: scriviamo dunque Σ_s̃ = diag(E_s₁, E_s₂, ⋯, E_{s_{n_T}}) in modo da ottenere dalle (21.248), (21.251) e (21.252)

(21.253)
C_{MIMO − NEP} = log₂(det[ I_{n_R} + 1σ²_n D Σ_s̃D^†]) = = log₂(∏^n_T_i = 1 (1 + 1σ²_n λ_iE_{s_i})) = ⎲⎳^n_T_i = 1 log₂(1 + E_s σ ²_n λ_i) = = ⎲⎳^m_i = 1 log₂(1 + ρ_iλ_i) bit/sec/Hz

del tutto simile alla (21.250), tranne che ora ogni antenna trasmittente può avere un diverso SNR per simbolo, pari a ρ_i = E_s σ ²_n . Notiamo che all’ultimo passaggio la sommatoria arriva fino al numero m di autovalori non nulli, in quanto per quelli nulli il contributo sarebbe stato pari a log₂(1) = 0.

21.4.1.2 Codifica a riempimento d’acqua

A questo punto non rimane che individuare la distribuzione delle potenze di trasmissione P_i = E_{s_i}f_s (e dunque dei corrispondenti SNR per simbolo ρ_i = ^E_{s_i}⁄_{σ²_n}) tale da rendere massima (21.253), nel rispetto del vincolo che ∑^n_T_i = 1ρ_i − E_s σ ²_n = 0 con E_s = E{s^†s} e P_T = E_sf_s. Si tratta quindi di un classico problema di ottimizzazione vincolata, da affrontare con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange (§ 9.6.1): a questo scopo definiamo la funzione Lagrangiana L con moltiplicatore μ come

L = ⎲⎳^m_i = 1 log₂(1 + ρ_iλ_i) + μ(⎲⎳^m_i = 1 ρ_i − ρ_T)

avendo posto ρ_T = E_s σ ²_n , ed eguagliamone a zero le derivate rispetto ai ρ_i e rispetto a μ:

∂∂ρ_iL = λ_i1 + ρ_iλ_i + μ = 0 i = 1, 2, ⋯, m ∂∂μL = ⎲⎳^m_i = 1 ρ_i − ρ_T = 0

da cui

(21.254)
11λ_i + ρ_i = − μ ossia 1λ_i + ρ_i = − 1μ per i = 1, 2, ⋯, m ⎲⎳^m_i = 1ρ_i = ρ_T

dove la seconda riga è ancora il vincolo sulla potenza. Il valore del moltiplicatore μ si ottiene sommando (21.254) su tutti gli i e tenendo conto del vincolo, ovvero

(21.255)
⎲⎳^m_i = 1⎛⎝1λ_i + ρ_i⎞⎠ = ⎲⎳^m_i = 1 1λ_i + ρ_T = − mμ → − 1μ = 1m ⎛⎝⎲⎳^m_i = 1 1λ_i + ρ_T⎞⎠ = α

in modo che dalla (21.254) si ottenga

(21.256) ⎧⎨⎩ ρ_i = α − 1λ_i se ρ_i > 0 ρ_i = 0 altrimenti

che come è facile verificare [1228] [1228] Basta calcolare ∑^m_i = 1ρ_i = ∑^m_i = 1(α − 1λ_i) = ∑^m_i = 11λ_i + ρ_T − ∑^m_i = 11λ_i = ρ_T rispetta il vincolo, mentre la limitazione ρ_i ≥ 0 ha un evidente significato fisico.

Ricordando la discussione svolta a riguardo della (21.250), i termini λ_i rappresentano i guadagni di Rayleigh dei canali virtuali di tipo siso di cui risulta costituito il canale mimo. La soluzione (21.256) è detta a riempimento d’acqua perché, potendo essere scritta anche come ρ_i + 1λ_i = α, impone che la somma ρ_i + 1λ_i sia la stessa per ogni canale, aumentando quindi la potenza (ossia l’SNR per simbolo ρ_i) laddove 1λ_i è minore, ovvero

λ_i è maggiore, ossia quando il canale virtuale i è più affidabile. Il senso di tale strategia è quello di affidarsi in misura maggiore ai canali migliori, e non sprecare potenza su quelli peggiori.

Sostituendo i valori forniti dalla (21.256) per ρ_i nella (21.253) otteniamo infine [1229] [1229] Infatti

∑^m_i = 1log₂(1 + ρ_iλ_i) = ∑^m_{i = 1, i∉ℬ}log₂(1 + (α − 1λ_i)λ_i) = ∑^m_{i = 1, i∉ℬ}log₂(1 + αλ_i − 1)

dove i canali per i quali in base alla (21.256) si ottiene ρ_i = 0 (ovvero elementi di ℬ) avrebbero dato un contributo log₂(1 + ρ_iλ_i) = log₂(1) = 0.

(21.257)
C_{MIMO − WF} = ⎲⎳^m_{i = 1, i∉ℬ} log₂(αλ_i) bit/sec/Hz

dove ℬ è l’insieme degli indici i per cui 1λ_i ≥ α = 1m ⎛⎝∑^m_i = 11λ_i + ρ_T⎞⎠.

Architettura di trasmissione

Dopo questa analisi così particolare, mostriamo come la stessa svd della matrice H = UDV^† possa essere di guida per la realizzazione di un sistema di trasmissione mimo in grado di approcciare [1230] [1230] Ricordiamo che il valore di capacità è un limite massimo di velocità per la trasmissione senza errori, rispetto al quale confrontare le prestazioni della codifica di canale in uso. la velocità per simbolo espressa dalla (21.257). Per riuscirvi è necessario che il lato trasmittente conosca gli autovalori non nulli λ_i di HH^†, la matrice V, e la potenza di rumore σ²_n in ricezione.

A partire dalla potenza P_T a disposizione, il trasmittente valuta l’SNR per simbolo

ρ_T = 1σ²_n P_Tf_s = E_sσ²_n = E{s^†s}σ²_n

da utilizzare nella (21.255) per calcolare il valore α, e da questo ottiene i valori ρ_i come prescritto dalla (21.256). Le ampiezze dei simboli s_i da inviare alle antenne non spente sono quindi (più o meno) amplificati in modo da ottenere E{s_is^*_i}σ²_n = ρ_i come calcolato, ed il vettore di simboli s^WF così ottenuto viene moltiplicato per la matrice V fornendo il nuovo vettore s̃ = V s^WF, i cui elementi s̃_i sono usati per generare il segnale dati che modula la portante del segnale trasmesso realmente dalle antenne.

Dall’altro lato del collegamento (vedi fig. 21.10-a)) viene ora ricevuto il vettore r̃ = Hs̃ + n, ma al suo posto il ricevitore prende in considerazione il prodotto di r̃ per la matrice U^†, ottenendo così un nuovo vettore di simboli

r = U^†r̃ = U^†Hs̃ + U^†n = U^†UD V^†Vs^WF + U^†n = = D s^WF + ñ

e dato che D = diag (λ^¹⁄₂₁, λ^¹⁄₂₂, ⋯, λ^¹⁄₂_m) ciò equivale a ricevere m segnali indipendenti

r_i = λ^¹⁄₂_is^WF_i + ñ_i i = 1, 2, ⋯, m

in cui ñ_i ha esattamente le stesse caratteristiche statistiche (media nulla e varianza σ²_n) del valore n_i, in virtù dell’essere U^† una matrice unitaria [1231] [1231] Considerando l’intero vettore ñ = U^†n, le sue componenti ñ_i sono v.a. gaussiane complesse a media nulla in quanto combinazioni lineari di v.a. della stessa natura. Per la covarianza si ottiene

Σ_ñ = E{ññ^†} = E{U^†n(U^†n)^†} = E{U^†nn^†U} = U^†Σ_nU = σ²_nU^†IU = σ²_nI

. Pertanto in questo modo il ricevitore vede direttamente gli m canali virtuali, tutti di tipo siso.

Figure 21.10 Trasmissione mimo con csi in trasmissione e water-filling: a) - schema di elaborazione, b) - canali virtuali equivalenti

Esempio Per un canale mimo con H = ⎡⎢⎣ .1 .3 .7 .5 .4 .1 .2 .6 .8 ⎤⎥⎦ si ottiene una svd H = UDV^† pari a

H = ⎡⎢⎢⎢⎣ − .555 .3764 − .7418 − .3338 − .9176 − .2158 − .7619 .1278 .6349 ⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣ 1.3333 0 0 0 0.5129 0 0 0.0965 ⎤⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎣ − .2811 − .7713 − .5710 − .5679 − .3459 .7469 − .7736 .5342 − .3408 ⎤⎥⎥⎥⎦

. Notiamo che i canali virtuali presentano guadagni molto differenti, ed in particolare il terzo (λ^¹⁄₂₃ = 0.0965, dunque λ₃ ≃ 0.009) produrrà un contributo alla capacità (21.257) trascurabile, ed in base alla (21.256) si vedrà allocata una potenza di molto ridotta.

Considerazioni applicative

La diseguale distribuzione della potenza disponibile tra le antenne di trasmissione permette di raggiungere velocità più elevate di quanto possibile per una distribuzione uniforme, ma richiede la conoscenza da parte del trasmettitore di informazioni relative al canale mimo, dette channel status information (csi), che devono essere stimate dal lato ricevente [1232] [1232] Le tecniche usate a questo scopo sono generalmente basate sulla trasmissione preventiva di sequenze di training o di toni pilota concordati, in base alla ricezione (alterata) dei quali il ricevitore è in grado di ricostruire le alterazioni subite dal segnale trasmesso. In linea generale questo processo richiede un tempo proporzionale ad n_T, vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Channel_state_information. Nel caso di una trasmissione half-duplex in cui le parti si scambiano alternativamente di ruolo utilizzando la medesima frequenza portante può essere sfruttata la reciprocità [1233] [1233] Nel senso che la risposta in frequenza h_ij del canale radio tra l’antenna j di trasmissione e quella i di ricezione è la stessa di quella in senso inverso. Pertanto se un ricevitore con n_R antenne stima una H_avanti relativa ai segnali ricevuti, quando lo stesso si comporta da trasmettitore (con uguale numero di antenne) traspone la matrice stimata e la usa come csi per il canale mimo in direzione opposta, ovvero H_indietro = H^T_avanti. della matrice H, e dunque ognuna delle due parti effettua la stima per proprio conto. Ciò non è possibile qualora la trasmissione sia di tipo full-duplex [1234] [1234] Infatti in tal caso occorre adottare due portanti differenti nelle due direzioni, per non incorrere in una forte auto-interferenza in ricezione., rendendo necessario comunicare la csi da ricevente a trasmittente, con due inconvenienti: il primo è che per evitare l’impegno di una eccessiva banda a ritroso tale informazione deve necessariamente essere quantizzata, introducendo errori che possono inficiare i benefici legati alla conoscenza della csi da parte del trasmittente; il secondo è che in caso di mobilità la velocità di variazione del canale mimo può essere troppo elevata rispetto ai tempi necessari alla stima della csi ed alla sua trasmissione, con il rischio di introdurre errori anche per questo motivo.

Rispetto al miglioramento di prestazioni, come già osservato esso dipende dalla particolare realizzazione della matrice H, dal suo rango, e dalla distribuzione degli autovalori. Il miglioramento inoltre diminuisce all’aumentare dell’SNR di ricezione, sino a (di fatto) annullarsi per SNR > 30 dB [1235] [1235] E’ lecito pensare come per SNR elevati l’acqua sia profonda, e dunque l’allocazione di potenza sia circa la stessa per tutti i canali virtuali.. Per bassi valori di SNR il miglioramento è invece sensibile, fino a più che raddoppiare il valore di capacità per SNR < 0 dB.

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