Mentre nei collegamenti con un basso SNR il principale beneficio del disporre di più antenne è quello di poter sfruttare la diversità spaziale (§ 21.3) per conseguire una P_e altrimenti insufficiente, se al contrario l’SNR è abbastanza elevato da garantire una comunicazione affidabile si possono sfruttare le antenne per trasmettere con ognuna di esse un diverso segnale dati, moltiplicando la velocità di trasmissione di un fattore pari a g_M = min(n_T, n_R), detto guadagno di multiplazione.

Effettua la stima del vettore trasmesso s come ed essendo il vettore n nella (21.258) costituito da v.a. gaussiane complesse circolari ed incorrelate, equivale ad un criterio di minima distanza, ovvero dove l’argomento minimizzato dalla (21.259) è la norma quadratica del vettore n. La ricerca del minimo si estende a tutte le disposizioni con ripetizione sulle n_T antenne degli L possibili valori per il generico simbolo s_i, ovvero L^n_T diverse disposizioni, causando una complessità esponenziale nel numero di antenne: ad es. adottando una semplice modulazione 16-qam su n_T = 4 antenne (corrispondenti a 16 bit/simbolo s), si ottengono... 16⁴ = 65536 combinazioni, decisamente una quantità spropositata.

Sebbene la decodifica ML sia quella ottimale, la sua complessità ha spinto la ricerca di soluzioni sub-ottime ma approcciabili. Una soluzione algoritmica è quella nota come sphere decoding [1236]   [1236] Vedi ad es. B. Hassibi, H. Vikalo, On the Sphere-Decoding Algorithm, Expected Complexity, ma anche Mathworks, comm.SphereDecoder. In estrema sintesi, questa tecnica riduce la complessità della ricerca del ricevitore ML limitandola ai vettori s che ricadono (in qualche modo) all’interno di una sfera di raggio fisso e centrata sul vettore ricevuto r. All’aumentare del raggio aumenta la complessità ed al limite si ottiene la soluzione ML, ma anche per complessità ridotte la soluzione trovata non si discosta molto da quella ottima., che non approfondiamo. Una famiglia di soluzioni alternative sono quelle lineari, che (in analogia al caso dell’equalizzazione) pervengono ad una matrice G di dimensioni n_T × n_R tale da poter scrivere in cui si è rimosso il vincolo di voler direttamente ottenere un vettore appartenente ad A ^n_T. Il valore s̃ viene quindi indicato come vettore soffice, il cui corrispondente vettore hard ŝ ∈ A ^n_T si ottiene decidendo per ogni elemento s_i il valore più vicino ad uno di quelli ammessi, ossia Nel seguito descriviamo due criteri per scegliere G, oltre ad un ulteriore metodo di soluzione che adotta una proiezione lineare nel contesto di una procedura di cancellazione ordinata, coniugando efficienza con precisione, la cui implementazione più diffusa è nota come v-blast.

Individua il vettore s̃ che (senza rispettare il vincolo s̃ ∈ A ^n_T della (21.259)) risolve il problema calcolando una matrice G_nT × nR tale che s̃ = Gr.

Per ovviare al problema evidenziato si può adottare il diverso criterio di trovare la matrice G (con cui calcolare s̃ = Gr) che rende minimo l’errore quadratico medio (mse), ovvero Si dimostra [1241]   [1241] Indicando l’argomento interno di (21.264) come l’errore ε(G) = s − Gr ed il suo valore atteso quadratico come J(G) = E{ε²} = E{ε^†ε}, quando J è minimo tutte le componenti del suo gradiente devono annullarsi, ovvero ∇_GJ(G)|_{G = G^◇} = 0_nT × nR (cioè si annullano le derivate di J rispetto a tutti gli elementi di G). Possiamo quindi scrivere

∂J∂G = ∂∂GE{ε²} = 2E{ε ⋅ ∂ε^†∂G} = 0

e dato che ∂ε^†∂G = ∂∂G(s − Gr)^† = − r^† si ottiene J minimo quando

E{ε_MMSE ⋅ ∂ε^†∂G} = E{(s − G^◇r)r^†} = 0_nT × nR

che la matrice G che verifica la (21.264) deve necessariamente soddisfare anche la relazione nota come principio di ortogonalità [1242]   [1242] In effetti ciò che la (21.265) afferma è l’incorrelazione tra ogni componente del vettore di errore minimo rispetto ad ogni componente di quello ricevuto, ma vedi anche
https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonality_principle., sviluppando la quale (dopo un po’ di conti) si perviene al risultato [1243]   [1243] A partire dalla (21.265) otteniamo E{(s − G^◇r)r^†} = E{sr^† − G^◇rr^†} = Σ_SR − G^◇Σ_RR = 0 per cui deve risultare G^◇ = ^Σ_SR⁄_ΣRR, dove le matrici di covarianza Σ coincidono con quelle di correlazione, dato il valore atteso nullo di s e di r. Calcoliamone il valore:

Σ_SR  = E{sr^†} = E{s(Hs + n)^†} = E{ss^†H^†} + E{sn^†} = Σ_SH^† = E_sH^†     Σ_RR  = E{(Hs + n)(Hs + n)^†} = E{Hss^†H^† + Hsn^† + ns^†H^† + nn^†} = HΣ_SH^† + Σ_N = E_sHH^† + σ²_nI

dato che E{sn^†}, E{Hsn^†} e E{ns^†H^†} sono nulli in virtù dell’incorrelazione tra s ed n, e si è posto Σ_S = E_sI e Σ_N = σ²_nI in virtù dell’incorrelazione tra simboli delle diverse antenne, nonché tra campioni di rumore, in cui E_s = E{s ^* _is_i} = ^P_T⁄_fsnT è pari all’energia per simbolo e per antenna, uguale per tutte, mentre σ²_n = E{n ^* _in_i} = ¹⁄_nRE{n^†n} è la potenza del campione di rumore in ingresso all’i − esima antenna ricevente. Sostituendo ora Σ_SR e Σ_RR nella relazione G^◇ = ^Σ_SR⁄_ΣRR otteniamo il risultato cercato

G^◇ = Σ_SRΣ_RR = E_sH^†E_sHH^† + σ²_nI = H^†HH^† + σ²_nE_sI

in cui è l’SNR per simbolo e per antenna ricevente, comprensivo dell’eventuale guadagno di diversità ^n_R⁄_nT. Notiamo quindi che per ρ elevato la (21.266) equivale alla (21.262), cancellando gli interferenti ma senza considerare il rumore; qualora invece ρ tenda a zero la (21.266) tende ad H^†, un risultato simile al mrc [1244]   [1244] Nel senso che il vettore di pesi w con coefficienti (21.221) è il coniugato dell’unica colonna di H presente nel caso simo, come ora la riga i − esima di H^† è coniugata dell’i − esima colonna di H - ma vedi anche la discussione seguente. (§ 21.3.1.2), e che non considera gli interferenti. Dopodiché il valore di ŝ ∈ A^n_T si ottiene applicando anche per questo caso la (21.260).

Nei casi precedenti la decisione da parte del ricevitore in merito al simbolo s_i trasmesso dall’i − esima antenna viene presa congiuntamente a tutti gli altri, calcolando il vettore s̃ = Gr mediante una unica operazione. Al contrario, l’approccio che stiamo per illustrare [1245]   [1245] Noto come v-blast, vedi P.W. Wolniansky et al, V-BLAST: An Architecture for Realizing Very High Data Rates Over the Rich-Scattering Wireless Channel, 1998 URSI Int. Symposium Conference Proceedings, reperibile presso https://www.ee.columbia.edu/~jiantan/E6909/wolnianskyandfoschini.pdf decodifica i simboli s_i antenna (trasmittente) per antenna, cancellando ogni volta il contributo ad r dovuto ai simboli già decodificati.

Quando in ricezione si dispone di un numero di antenne maggiore del minimo (ossia n_R > n_T) le antenne in più non contribuiscono al guadagno di multiplazione (al massimo pari a min(n_T, n_R)), ma consentono di conseguire un ordine di diversità almeno pari a n_R − n_T + 1 (con il metodo di cancellazione ordinata anche di più, dato che in pratica n_T diminuisce man mano). Ma anche se n_R = n_T è comunque possibile (e necessario se n_R < n_T) sacrificare parte della velocità di trasmissione per migliorare le prestazioni nei confronti del rumore, sfruttando la diversità spaziale frutto del fading indipendente. Si può infatti ad esempio scegliere di dimezzare il numero di antenne usate per la multiplazione, ed impiegare la restante metà per trasmettere la ridondanza associata ad un codice spazio-tempo (§ 21.3.2.2). Ma anziché provare le diverse combinazioni possibili, riferiamo di un risultato generale [1250]   [1250] Vedi L.Zheng, D.N.C.Tse, Diversity and multiplexing: a fundamental tradeoff in multiple-antenna channels, IEEE Trans. on Inf. Theory, May 2003, dove sono riportate le considerazioni e le ipotesi che determinano il risultato; trovo una copia libera presso l’Univ. di Stanford.. La relazione tra guadagno di multiplazione spaziale r e di diversità d può essere ottenuta dopo avere definito queste due grandezze nei termini della rispettiva legge di dipendenza asintotica da SNR, ovvero rappresentando così il risultato che per SNR elevato la velocità di trasmissione R aumenta come r log₂ SNR ( [1251]   [1251] Dato che la capacità per simbolo C = log₂(1 + SNR) di un canale siso tende a log₂SNR con SNR → ∞, il valore r nella (21.269) esprime il numero di canali siso equivalenti.), mentre la probabilità di errore decade come ¹⁄_SNR^d( [1252]   [1252] Probabilmente ci vorrebbe qualche passaggio in più, ma la relazione P_e ∝ ¹⁄_SNR^d deriva dal confronto tra la (21.223) del ricevitore mrc che sfrutta la diversità, e la (21.208) valida per un canale siso.).