Sussistono tre possibili modi di sfruttare le n_R antenne di ricezione: preferire quella da cui si riceve più potenza, mediare equamente tra tutti i segnali ricevuti, oppure effettuare una somma pesata.

A differenza di un canale awgn, il rapporto SNR che compete alla (21.211) non è un valore deterministico, ma una v.a. che indichiamo come SNR istantaneo, per simbolo [1192]   [1192] Istantaneo perché dipende da h_i che in linea di principio può variare da istante ad istante; per simbolo perché E_sσ²_n = P_sP_n 1f_s. e che si distribuisce con la medesima d.d.p. di |h_i|², che è (vedi eq. (21.186)) una esponenziale; pertanto (con γ_i ≥ 0), dove Γ è l’SNR medio valutabile come (vedi § 20.5.1) uguale per tutti i rami i nelle ipotesi poste. A questo punto abbiamo tutte le relazioni necessarie a valutare la probabilità che un singolo ramo abbia un γ_i inferiore ad un valore δ, pari a (vedi eq. (26.3) a pag. 1) mentre la probabilità che tutti gli n_R rami indipendenti presentino contemporaneamente γ_i < δ vale che indichiamo come P_nR(δ), da cui otteniamo la probabilità che almeno uno dei rami consegua γ_i ≥ δ come

E’ possibile mostrare [1193]   [1193]  Vedi D.G. Brennan, Linear Diversity Combining Techniques. Proc. IEEE, Vol. 91, N. 2, Feb 2003. che l’SNR medio Γ_SD per il ramo di volta in volta selezionato migliora all’aumentare del numero di antenne, anche se per ogni antenna aggiuntiva il miglioramento è sempre minore, risultando ovvero con un numero di 2, 3, 4 antenne si ottiene un fattore di miglioramento di 1.5, 1.83, 2.03... ma si può fare di meglio se vengono utilizzati tutti i rami in contemporanea, anziché uno solamente.

La scelta dei valori |w_i| avviene secondo il criterio di rendere massimo l’SNR momentaneo [1196]   [1196] Nel senso che dato che (come stiamo per vedere) γ_MR dipende dagli h_i che sono v.a., è una v.a. anch’esso. Ma allo stesso tempo gli h_i sono considerati costanti per tutto il tempo di coerenza, ed altrettanto accade a γ_MR. γ_MR di (21.217), da cui il nome di maximal ratio combining (mrc) della tecnica, in cui per ratio si intende l’SNR. A tale scopo osserviamo come alla componente di segnale di (21.217) competa una energia media (rispetto alla variabilità di s) E{(∑_i|w_i||h_i|s)²} = E_s(∑_i|w_i||h_i|)², mentre per la varianza del rumore si ottiene E{(∑_i|w_i|n_i)²} = σ²_n ∑_iw²_i, essendo i campioni di rumore n_i statisticamente indipendenti: pertanto l’SNR di r̂ (21.217) risulta pari a dove con w_m = (|w₁|, ⋯, |w_nR|)^T si è indicato il vettore del modulo dei coefficienti w e con h_m = (|h₁|, ⋯, |h_nR|)^T quello del guadagno di ampiezza dei rami, in modo che la (21.218) sia espressa nei termini di prodotto scalare tra vettori. Con tale formalismo il massimo valore per γ_MR si ottiene applicando la disuguaglianza di Schwartz (§ 2.4.3) che asserisce con il segno di uguale solo quando w_m = α h_m, ovvero i vettori sono paralleli. Con tale scelta la (21.218) diviene in cui l’ultima eguaglianza si basa sulla (21.212). L’SNR complessivo è dunque pari alla somma degli SNR dei singoli rami, e può così conseguire valori accettabili anche se nessuno dei rami lo ottiene individualmente.

In virtù dell’ipotesi che i valori h_i siano statisticamente indipendenti, dalla (21.219) otteniamo l’SNR medio Γ_MR a partire dai Γ_i dei singoli rami (eq. (21.213)) come Se ogni ramo presenta il medesimo SNR medio Γ_i si può confrontare (21.220) con (21.214), ed osservare che ora Γ_MR aumenta linearmente con il numero di antenne, ovvero migliora di 3 dB ad ogni raddoppio di n_R. Se invece (essendo gli |h_i| v.a. indipendenti) i Γ_i sono differenti tra loro il miglioramento è inferiore, ma Γ_MR risulta comunque sempre migliore del miglior Γ_i.

Per poter essere operativi non resta che effettuare una scelta ragionata per il coefficiente di proporzionalità α introdotto dalla disuguaglianza di Schwartz, e dal punto di vista teorico di nessun impatto. Includendo anche il termine di rifasamento, nella pratica conviene scegliere dei pesi in modo da rendere r̂ uno stimatore non polarizzato (§ 6.6.3): essendo infatti i termini n_i a media nulla, il valore atteso della (21.217) assume la forma e dunque la tecnica mrc non altera la dimensione della costellazione A a cui s appartiene, e la decisione sul simbolo trasmesso può basarsi sul criterio di massima verosimiglianza

Svolgiamo ora due ultime considerazioni a partire dalla (21.221). La prima è che nel caso di una potenza di rumore σ²_n uguale su tutti i rami, si può dire che la combinazione lineare attuata dalla (21.216) da maggior peso ai rami con l’SNR più elevato, dato che questo dipende da |h_i|². La seconda considerazione è che la scelta (21.221) rivela una analogia tra questa tecnica e quella del filtro adattato (§ 7.6) che pure trova motivazione nella massimizzazione dell’SNR, ottenuta in quel caso grazie ad una risposta in frequenza che è il coniugato del segnale da rivelare. Il paragone non è casuale dato che come per il filtro adattato, a supporto della scelta w ∝ h^* sussiste una argomentazione basata sulla disuguaglianza di Schwartz (§ 2.4.3) [1199]   [1199] Vedi ad es. il riferimento della nota 1139; per lo stesso risultato sussiste inoltre anche un’argomentazione basata sugli autovettori della matrice h ⋅ h^† (l’apice † indica il trasposto coniugato), vedi B. Holter, G.E. Oien, The Optimal Weights of a Maximum Ratio Combiner using an Eigenfilter Approach, Proc. 5th IEEE Nordic Signal Processing Symposium, Hurtigruten, 4-6 October 2002, reperibile presso https://www.ux.uis.no/norsig/norsig2002/Proceedings/papers/cr1099.pdf, e che esamina anche il caso in cui il rumore si presenti con potenze differenti sui diversi rami.; in altre parole, ciò che il filtro adattato compie nel dominio della frequenza, viene attuato dal ricevitore mrc nel dominio spaziale.

Una seconda cosa degna di nota in questo passaggio è che in un canale bidirezionale [1204]   [1204] Qualora la trasmissione nelle due direzioni avvenga sulla stessa portante è necessario che le parti si alternino nei ruoli (time-duplex), mentre invece possono trasmettere e ricevere allo stesso tempo se si adottano frequenze differenti (frequency-duplex). trasmettitore e ricevitore si scambiano continuamente di ruolo, dunque se anche in modalità miso si riesce ad ottenere un miglioramento comparabile al caso simo, è sufficiente che solo una delle parti in comunicazione - tipicamente la stazione radio base o l’access point WiFi [1205]   [1205] Anche perché le ridotte dimensioni dei device mobili rendono problematico realizzare antenne sufficientemente distanziate. - sia dotata di più antenne.

La probabilità con cui la regola (21.233) dà esito errato è naturalmente legata in modo inverso al rapporto SNR istantaneo γ per le variabili s̃_i (21.232) su cui si effettua la decisione, che risulta pari a fornendo un guadagno di diversità identico a quello di un ricevitore simo-mrc (eq. (21.219)), tranne che... molto spesso le specifiche relative alla massima potenza irradiata impongono di suddividere la stessa in parti uguali tra le antenne di trasmissione. Ciò significa che anche l’energia per simbolo E_s della costellazione adottata risulta (con n_T = 2) dimezzata, cosicché il sistema miso-stbc con n_T = 2 subisce una penalizzazione di 3 dB [1210]   [1210] Questi 3 dB di differenza sono da interpretare come un guadagno di array legato al disporre di due antenne di ricezione, per cui in pratica viene ricevuta il doppio della potenza che si riceverebbe con una sola antenna, mentre in trasmissione ciò non si verifica, per la limitazione sulla potenza massima trasmessa. rispetto alle prestazioni di simo-mrc con n_R = 2.

Il legame esatto tra la P_e legata all’uso della (21.233) e l’SNR medio dipende dal tipo di modulazione, ma per il caso bpsk la figura a lato riporta il risultato di simulazioni messe a confronto con le curve (pag. 1) dei casi siso, simo ed awgn, in modo da poter apprezzare l’effetto della perdita di 3 dB prima indicata sul risultato finale, poca cosa rispetto al miglioramento comunque conseguito. La curva indicata in figura come mimo 2,2 si riferisce al caso che affrontiamo appresso.

Il trasmettitore non modifica il suo operato, ed invia la codifica espressa in tabella 21.1 mediante le sue due antenne. Facciamo dapprima il caso di adottare n_R = 2, ricevendo così un totale di quattro diversi segnali in cui r_ik è il segnale ricevuto dall’antenna i = 1, 2 all’istante k = 1, 2, ed h_ij è il coefficiente complesso del canale radio tra le antenne j e i. I valori r_ik delle (21.234) vengono quindi combinati per formare le grandezze di decisione e sostituendo le (21.234) nelle (21.235) dopo alcuni passaggi si ottiene riproducendo quindi la situazione già osservata alle (21.231), con la differenza che ora il rinforzo per le ampiezze dei simboli di sorgente vale α = |h₁₁|² + |h₁₂|² + |h₂₁|² + |h₂₂|², ottenendo un’ordine di diversità complessivo che è il prodotto degli ordini ai due estremi multiantenna.

Gli stessi risultati sono facilmente estensibili ad un numero n_R > 2 di antenne riceventi, dato che ponendo le (21.234) nella forma con i = 1, 2, ⋯n_R, le (21.235) si estendono come ed al posto delle (21.236) otteniamo

Esprimendo ora la (21.237) in forma matriciale come osserviamo come anche la matrice G_i = ⎡⎢⎢⎣ h_i1 h_i2     h ^* _i2   − h ^* _i1 ⎤⎥⎥⎦ sia ortogonale, per qualunque valore dei coefficienti h, e dunque G_iG^†_i = α_iI₂ in cui I₂ è la matrice identità 2 × 2 ed α_i = |h_i1|² + |h_i2|². Pre-moltiplicando il vettore ricevuto dalla i − esima antenna r_i per G^†_i = ⎡⎢⎢⎣ h ^* _i1 h_i2     h ^* _i2   − h_i1 ⎤⎥⎥⎦, come avviene per le (21.230), otteniamo quindi dove ñ_i è ancora gaussiano complesso a media nulla e componenti incorrelate. A questo punto la decisione di massima verosimiglianza per l’antenna i assume la forma ma essendo come osservato ñ_i = r̃_i − α_i s a componenti incorrelate, la (21.240) si scompone in due minimizzazioni indipendenti, come espresso dalle (21.233) e (21.239).

A fronte di sviluppi analitici che tralasciamo [1212]   [1212] Che ho trovato accennati, con i dovuti rimandi, su E. Krouk, S. Semenov, Modulation and coding techniques in wireless communications, 2011 John Wiley & Sons Ltd., si dimostra che la probabilità di decidere erroneamente per la codeword Cⁱ quando viene trasmessa C^j per valori elevati di SNR medio Γ non supera un valore in cui G_d = r ⋅ n_R esprime il guadagno di diversità che dipende oltre che da n_R anche dal rango [1213]   [1213] Il rango di una matrice quadrata A n × n è definito come il numero delle sue righe (o colonne) linearmente indipendenti, ma è anche uguale al numero di autovalori diversi da zero, dove gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico definito come det(A − λI_n) r della matrice A = (Cⁱ − C^j)^†(Cⁱ − C^j), mentre G_c = ^r√∏^r_n = 1 λ_n misura il guadagno del codice e dipende dagli autovalori λ_n diversi da zero della matrice A. Pertanto il limite superiore (21.241) per la P_e può essere ridotto aumentando sia G_c che G_d, e se per tutte le coppie di codeword i, j la matrice A è a rango pieno (pari ad n_T), allora l’ordine di diversità conseguito dal codice è pari a n_T ⋅ n_R.