Fino ad ora abbiamo discusso di collegamenti mimo punto-punto, ma in generale esiste una forte asimmetria nel numero antenne presenti ai due lati di un collegamento radiomobile, che sono molte di più presso una stazione radio base [1254]   [1254] Il punto accesso di una rete di telefonia mobile, o di una rete WiMax, o l’access point di una rete WiFi casalinga, vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Stazione_radio_base, https://it.wikipedia.org/wiki/WiMAX, https://it.wikipedia.org/wiki/Access_point o bs (il cui numero, decine o anche centinaia, indichiamo ora come n_BS) rispetto a quelle (che ora chiamiamo n_k) di cui è equipaggiato il k − esimo User Equipment ue_k (o terminale, o dispositivo) ad essa associato - che in gran parte dei casi, dispone di una sola antenna.

In questa direzione le cose non sono molto diverse da quanto già approfondito. La bs riceve un segnale [1255]   [1255] Supponiamo qui che i terminali mobili siano sincronizzati temporalmente, e che il sistema sia in grado di compensare i diversi ritardi di propagazione per la corretta determinazione degli istanti di campionamento dei simboli. in cui H^u_k è la matrice (N × n_k) di canale mimo di uplink tra ue_k e bs, s_k è il vettore (n_k × 1) dei simboli inviati da ue_k, H^u = [H^u₁  H^u₂ ⋯  H^u_U] è la matrice (n_BS × ∑^U_k = 1n_k) di uplink da tutti gli U terminali ue_k, ed s = [s^T₁  s^T₂ ⋯  s^T_U]^T è il vettore dei simboli complessivamente trasmessi.

In questa direzione il generico dispositivo ue_k con n_k antenne riceve un vettore r_k di dimensione n_k × 1 pari a in cui H^d_k (n_k × n_BS) individua il canale mimo di broadcast tra tutte le antenne di bs e le n_k di ue_k, e s (n_BS × 1) è il vettore di simboli destinati a tutti gli U utenti. Purtroppo essendo n_k < n_BS, il dispositivo mobile non può adottare le soluzioni previste al § 21.5 per cancellare i termini di interferenza, più evidenti particolarizzando la (21.271) al caso di un terminale ad antenna singola, che riceve un valore in cui h_k è il vettore [1257]   [1257] Corrispondente all’unica riga di H^d_k pertinente all’utente k qualora n_k = 1. Il vettore h_k può essere pensato nel senso letterale di indicare una direzione (a coordinate complesse) nello spazio generato dalle antenne della bs, dunque non la direzione fisica dell’utente, ma che lo distingue comunque dagli altri. (n_BS, 1) dei guadagni complessi tra le n_BS antenne di trasmissione e l’unica di ricezione, h_k è l’elemento di h_k corrispondente all’antenna della bs che trasmette il simbolo s_k diretto all’utente k, ed il termine ∑^U_{h = 1, h ≠ k} h_hs_h individua l’interferenza da parte degli altri e che si aggiunge al contributo del rumore [1258]   [1258] A ben vedere, per un numero U elevato di utenti si applica il teorema centrale del limite, ed il termine ∑^U_{h = 1, h ≠ k}h_hs_h tende ad una v.a. gaussiana., in modo che si possa parlare di rapporto segnale / interferenti più rumore o SINR.

Nell’impossibilità per i terminali mobili con antenna singola di sopprimere gli interferenti, occorre trovare una soluzione semplice [1260]   [1260] La soluzione ottima è nota come dirty paper coding (dpc), di difficile implementazione, vedi ad es.
https://it.wikipedia.org/wiki/Dirty_paper_coding che possa essere attuata presso la bs: fortunatamente questa esiste ed è la duale di quella esposta ai § 21.5.2-21.5.3, necessitando come precondizione la conoscenza da parte della bs di tutti i vettori h_k visti dagli utenti, in modo da poter ricostruire la matrice di dimensioni U × n_BS e che caratterizza il canale broadcast del downlink tra le antenne della bs e quelle (singole) degli U utenti.

Una volta nota H^d, la bs ne può calcolare la pseudo inversa (eq. (21.262)) e sostituire al vettore di simboli s da inviare agli U terminali un nuovo vettore precodificato dove p_h è pari alla h − esima colonna di P, di fatto spargendo ogni simbolo s_h destinato a ciascun utente h su tutte le n_BS antenne. Osserviamo ora che in virtù della definizione di pseudoinversa si ha H^dP = I, e dunque ogni colonna p_k di P è ortogonale a tutte le righe di H^d tranne che alla k − esima, ovvero h^T_kp_h = δ_hk, in modo che la (21.272) diviene da cui scompare il termine di interferenza da parte dei simboli s_h destinati agli altri utenti, ed il simbolo ricevuto può essere stimato come ŝ_k = argmin _s ∈ A |s − s_k|².

Tornando all’espressione (21.272), occorre distinguere il caso in cui le prestazioni del sistema sono limitate dal rumore e cioè quando E{|n|²} > E{|∑^U_{h = 1, h ≠ k}h_hs_h|²}, dal caso in cui sono invece limitate dagli interferenti, dove la diseguaglianza cambia verso. La precodifica (21.274) si comporta bene solo nel secondo caso, mentre ponendo come obiettivo della matrice P quello di rendere minimo l’errore medio quadratico E{|s − s_k|²} si ottiene una soluzione che pur non cancellando completamente gli interferenti permette di bilanciare la riduzione della loro potenza con la riduzione della potenza di rumore; tale soluzione è indicata come versione regolarizzata di (21.274) e fornisce in cui ρ = ^E{|Ps|2}⁄_E{|n|²} è una misura dell’SNR.

I valori ottenuti per le colonne della matrice di precodifica P devono essere alterati, essenzialmente per due motivi:

Il secondo obiettivo è quello più intrigante, dato che aumentare la potenza per un utente significa aumentare la capacità del suo canale, a discapito di quella degli altri per i quali si verifica invece un aumento della potenza interferente, e (per il vincolo sulla potenza complessiva) la riduzione della propria. Inoltre la potenza allocata ad ogni utente (ossia al simbolo a lui diretto) deve essere determinata in base all’SNR di ricezione, altra informazione che deve essere comunicata alla bs, in modo che quest’ultima possa attuare tecniche di water filling, ed assegnare più potenza a chi ha un SNR migliore. Non ci addentriamo nelle strategie di ottimizzazione congiunta, alcune delle quali iterative: questo è solamente un testo introduttivo.

Fino ad ora si è implicitamente supposto che U < n_BS, ma gli utenti che intendono comunicare (tra quelli registrati presso una bs) possono essere ovviamente più delle antenne a disposizione. Tutti i terminali che richiedono il servizio comunicano alla bs le informazioni sullo stato del proprio canale o csi (h^d_k, ρ_k) in modo da permetterle di calcolare la P di precodifica. La bs deve quindi selezionare un sottoinsieme di U_M ≤ n_BS utenti scegliendoli in modo da massimizzare la velocità somma; ma la velocità di ciascun utente ha come limite superiore la capacità del suo canale, che a sua volta dipende da relativo ρ_k. La ricerca esaustiva del migliore gruppo di U_M < U utenti verso cui trasmettere ha complessità esponenziale, per cui è necessario ricorre a strategie euristiche. Una tecnica (cosiddetta greedy o vorace) consiste nello scegliere per primo l’utente che può dare il maggior contributo di velocità, poi il secondo migliore, e così via. Ovviamente l’obiettivo da massimizzare, anziché tenere conto solamente della velocità-somma, può prendere in considerazione anche altri fattori, come la lunghezza di coda (da minimizzare) od altro ancora, vedi appresso.

Il calcolo della matrice P (eq. (21.274) o (21.276)) da parte della bs necessita della conoscenza da parte di quest’ultima della matrice H^d (21.273), la cui riga h^d_k descrive il canale tra bs e ue_k, stimato presso quest’ultimo. Nel caso di un sistema full duplex basato su portanti differenti per le due direzioni del collegamento il canale non è reciproco (nota 1233), e quindi occorre un canale di uplink di ritorno attraverso il quale i terminali mobili possano trasmettere alla bs la loro stima di h^d_k, codificata mediante B bit frutto della quantizzazione dei valori di h^d_k e di ρ_k. Come noto dalla teoria dell’informazione (§ 9.5.2), una distorsione nulla si ottiene solamente per B → ∞, dunque per B finito è inevitabile la presenza di errori negli h^d_k quantizzati, che a loro volta causano errori nella determinazione delle colonne p_k della matrice di precodifica. Scrivendo quindi p̃_k = p_k + e_k in cui p_k e p̃_k sono i vettori di precodifica calcolati per una csi esatta oppure quantizzata, la (21.275) diviene in cui n_I = h^T_k ∑^U_h = 1 e_hs_h costituisce un termine di rumore interferente.

Il termine n_I nella (21.277) è tanto maggiore quanto peggiore è la risoluzione della quantizzazione di h^d_k, ovvero quanto minore è il numero B di bit di feedback inviati da ciascun terminale. Mantenendo B fisso si produce un effetto piattaforma (da error floor) nelle prestazioni (sia di velocità che di errore) in funzione dell’SNR, dato che n_I non cambia anche se il rumore n si riduce. Il rimedio è quello di richiedere una maggiore accuratezza (ossia un maggior numero di bit B_k) nei valori trasmessi h^d_k in forma quantizzata per quei terminali ue_k che sperimentano un rumore termico n minore [1261]   [1261] Ovvero un SNR ρ_k maggiore., in modo da mantenere i due tipi di rumore (n e n_I) alla stessa potenza. Inoltre essendo i vettori h_k e p_k di dimensione n_BS, l’espressione n_I = h^T_k ∑^U_h = 1 e_hs_h implica una somma di n_BS termini, cosicché anche il numero di antenne di trasmissione contribuisce in modo diretto ad n_I. Qualora l’SNR sia uguale per tutti, è stato trovato [1262]   [1262] N. Jindal, MIMO Broadcast Channels With Finite-Rate Feedback, IEEE Trans. on Inf. Th. Nov. 2006, ne trovo una copia libera presso Univ. of Minnesota che la bs può conseguire un guadagno di multiplazione massimo (n_BS) quando ogni terminale invia soffrendo una penalizzazione di soli 3 dB di prestazione rispetto alla conoscenza perfetta della csi.

Approfondiamo un minimo come vengono prodotti i B bit di feedback. La qv, introdotta al § 10.1.2.4, è la tecnica per eseguire la codifica di sorgente h̃_k = Q(h_k) della grandezza vettoriale h_k. Consiste in un codebook [1263]   [1263] La scelta degli elementi del codebook può avvenire in accordo ad un modello di d.d.p. p(h^d) nel contesto dell’algoritmo di Lloyd-Max (nota 165 a pag. 1), oppure a partire da una base dati di vettori osservati su cui eseguire un algoritmo di clusterizzazione, vedi ad es. 
https://en.wikipedia.org/wiki/K-means_clustering. Infine è da citare la possibilità di popolare il cb in modo casuale, a partire da un seme iniziale, trasmettendo il quale il cb stesso può essere autonomamente ri-generato alla bs. H = {h_q1,  h_q2, ⋯,  h_q2^B} di 2^B vettori di canale a norma unitaria, tra cui si sceglie il vettore h_opt più vicino a quello misurato h_k (reso a norma unitaria anch’esso) usando come criterio di distorsione il modulo quadro del prodotto scalare [1264]   [1264] Vedi § 2.4.3. In questo modo due vettori sono tanto più simili quanto più condividono lo stesso orientamento; la normalizzazione ne ha portato la punta sulla superficie di una sfera di raggio unitario, e qui si va a finire negli spazi Grassmaniani. Qualcuno può chiedersi: come mai la distorsione è nulla anche per vettori opposti? Una possibile risposta è che i vettori quantizzati h̃_h servono alla bs per calcolare vettori p_k di precoding ortogonali ad h̃_h ≠ k. L’ortogonalità dunque permane anche nei confronti di un vettore con il segno cambiato.. Si sceglie pertanto l’indice [1265]   [1265] Per evitare che più terminali possano scegliere lo stesso vettore del cb, ognuno di essi può utilizzare un diverso cb. Dato che questi devono essere tutti noti presso la bs, la questione può essere semplificata nel caso di cb generati casualmente a partire da un seme. decidendo quindi per h̃_k = Q(h_k) = h_opt, e si trasmettono i B bit della codifica binaria di n_opt. Anche la bs è a conoscenza dello stesso cb H, da cui preleva h_nopt e lo usa per costruire H^d da cui ricavare P. Anche se i vettori del codebook sono a norma unitaria, si ottengono vettori di precoding (ad es., mediante zero forcing) comunque in grado di cancellare gli interferenti.

Osserviamo ora che l’errore e_h = p_h − p̃_h che compare nell’espressione (21.277) del segnale ricevuto r_k come un termine di rumore interferente n_I = h^T_k ∑^U_h = 1 e_hs_h, essendo causato dal calcolo delle colonne della matrice P di precodifica a partire dalla H^d quantizzata, è un errore causato da un altro errore. Tanto vale allora cercare di quantizzare direttamente le colonne di P, e lasciare che siano i terminali stessi a decidere quale vettore di precodifica p̃_k è il più idoneo moltiplicatore dei simboli destinati a ciascuno di essi, senza necessità di comunicare la csi.

L’effetto di uno specifico vettore di precodifica p_k a norma unitaria è quello di moltiplicare il simbolo s_k per un valore complesso a_k, ie ^jα_k, i diverso per ciascuna antenna i = 1, 2, ⋯, n_BS della bs. Di fatto questo è il modo di operare tipico delle antenne intelligenti [1268]   [1268] O phased array, vedi ad es. https://en.wikipedia.org/wiki/Phased_array ma anche https://www.vialattea.net/content/1875/. che realizzano un diagramma di radiazione direttivo ed orientabile senza dove muovere nulla, ma adottando una schiera di antenne e sfasando con valori α_i crescenti il segnale diretto all’i − esima antenna.