3.3 Prime proprietà della trasformata di Fourier
Descriviamo cosa accade quando le
(10.31) e
(10.32) sono applicate a particolari classi di segnali, a loro combinazioni e/o trasformazioni, o più in generale, cosa lega le trasformazioni in un verso, con quelle in senso opposto. Altre proprietà saranno illustrate a partire dal §
3.5.
Discende molto semplicemente dalla proprietà distributiva dell’integrale che definisce la trasformata, che consente di scrivere
se z(t) = ax(t) + by(t) allora Z(f) = aX(f) + bY(f)
che permette di catalogare la trasformata di Fourier come
operatore lineare (§
2.4.4.3).
Qualora x(t) sia un segnale reale si ottiene
ovvero la parte reale di
X(f) è
pari e quella immaginaria
dispari, così come il modulo
|X(f)| è pari e la fase
arg{X(f)} dispari. Si applica inoltre il corollario di pag.
1, ovvero se
x(t) oltre ad essere reale è anche pari,
X(f) è reale (pari), mentre se
x(t) è reale dispari,
X(f) è puramente immaginaria (dispari).
Trasformata ed antitrasformata differiscono solo per il segno dell’esponente. Ciò comporta che se sostituiamo alla variabile
f del risultato
X(f) di una
F -trasformata, la variabile
t, si ottiene una funzione del tempo
X(t) che, se nuovamente trasformata, fornisce ... il segnale originario
x(t), espresso come funzione della variabile
f, cambiata di segno:
x(−f). Il concetto esposto, intricato a parole, è verificabile analiticamente con qualche
trucco, e si riassume come
se x(t)F {} → X(f) allora sostituendo f con t X(t)F {} → x(−f)
se X(f)F −1{} → x(t) allora sostituendo t con f x(f)F −1{} → X(−t)
e consente l’uso dei risultati ottenuti “in un senso” (ad es. da tempo a frequenza) per derivare senza calcoli i risultati nell’altro (da frequenza a tempo), o viceversa.
Esempio: Trasformata di un sinc(t) Supponiamo di voler trasformare il segnale x(t) = B sin(πtB)πtB = B sinc(tB): l’applicazione cieca dell’integrale che definisce la trasformata di Fourier al segnale x(t) appare un’impresa ardua, ma...
Ricordando che
F {rectτ(t)} = τ sinc(fτ)
scriviamo direttamente
F {B ⋅ sinc(tB)} = rectB(f)
Pertanto la trasformata di un
sinc nel tempo, è un rettangolo in frequenza.
Valore nell’origine (o iniziale) e area
Stabilisce una eguaglianza che è subito verificabile una volta notato che la trasformata calcolata per
f = 0 si riduce all’integrale di
x(t), e quindi alla sua
area. Pertanto:
Esempio Come applicazione, troviamo subito l’area di un
sinc(.):
Si tratta di una proprietà molto semplice, e che ricorre frequentemente nei calcoli sui segnali. Esprime la relazione tra la trasformata di un segnale e quella dello stesso qualora traslato, in accordo al predicato
la cui dimostrazione è fornita sotto.
Esempio Dato un segnale rettangolare
x(t) = rectτ(t), valutiamo la trasformata di
z(t) = x(t − T). L’applicazione diretta della
(10.40) porta al risultato
Z(f) = τsinc(fτ)e −j2πfT, e l’esercizio potrebbe dirsi concluso, se non per il desiderio aggiuntivo di disegnare
Z(f) nei termini del suo modulo e fase, ovvero in
notazione esponenziale Z(f) = |Z(f)|e jarg{Z(f)}. Ci accorgiamo infatti che il termine
sinc(fτ) non è pari a
|Z(f)|, in quanto assume anche valori
negativi, mentre il modulo, per definizione, è positivo o nullo. Per non appesantire la lettura, la soluzione a questo apparente problema viene svolta al §
3.8.1.
Il termine
−2πfT che risulta aggiunto allo spettro di fase originario prende il nome di
fase lineare,
in quanto la sua entità aumenta linearmente con
f, e quindi le frequenze doppie, triple di una frequenza data, subiscono una variazione
di fase doppia, tripla, ecc., ma tutte subiscono il medesimo ritardo temporale. Si noti inoltre che un ritardo temporale è associato ad un ritardo di fase, cioè una sottrazione, mentre un’anticipazione temporale dà un’addizione di fase, cioè un’anticipazione. Tali circostanze mettono in luce una interessante conseguenza anche nel passaggio da frequenza a tempo, ossia:
Affinché un segnale mantenga inalterato l’aspetto della propria forma d’onda anche a seguito di una modifica della corrispondente trasformata, l’unica alterazione possibile del suo spettro è una variazione costante per il modulo, e lineare per la fase
Esempio Consideriamo un segnale periodico x(t) costituito da due sole armoniche
-
x(t) = a sin(ωt) + b sin(2ωt)
in cui si è posto 2πF = ω. La sua versione ritardata è
x(t − T) = a sin(ω(t − T)) + b sin(2ω(t − T)) = a sin(ωt − ωT) + b sin(2ωt − 2ωT)
Ponendo ora ωT = θ, otteniamo
x(t − T) = a sin(ωt − θ) + b sin(2ωt − 2θ)
e verifichiamo che la seconda armonica subisce un ritardo di fase esattamente doppio.
In fig 3.3 si è posto a = 1, b = 0.5, θ = π4 e F = 0.2, ed è mostrato sia il segnale somma originario, sia quello ottenuto considerando un contributo di fase lineare per le due armoniche. Verifichiamo come nel secondo caso la forma d’onda sia la stessa ottenibile per T = 0, in quanto le armoniche sono traslate del medesimo intervallo temporale. A destra invece, la fase della seconda armonica viene annullata, ottenendo dalla somma un segnale asin(2πFt − θ) + bsin(2π2Ft). Come è evidente, in questo caso il risultato assume una forma d’onda completamente diversa .
Traslazione in frequenza (
Modulazione)
E’ la proprietà duale della precedente, e stabilisce che
se Z(f) = X(f − f0) allora z(t) = x(t)e j2πf0t
la cui dimostrazione è del tutto analoga a quanto visto alla nota
111. Da un punto di vista mnemonico, distinguiamo la traslazione temporale da quella in frequenza per il fatto che, nel primo caso, i
segni della traslazione e dell’esponenziale complesso sono
uguali, e nel secondo,
opposti.
Da un punto di vista pratico, può sorgere qualche perplessità per la comparsa di un segnale
complesso nel tempo. Mostriamo però che anti-trasformando uno spettro ottenuto dalla somma di due traslazioni (in frequenza) opposte, si ottiene un segnale
reale:
F −1{X(f − f0) + X(f + f0)} = x(t)e j2πf0t + x(t)e −j2πf0t = 2x(t)cos2πf0t
Pertanto lo sdoppiamento e la traslazione di
X(f) in
± f0 sono equivalenti ad un segnale cosinusoidale di frequenza
f0, la cui ampiezza è
modulata dal segnale
x(t) = F −1{X(f)}. E’ proprio per questo motivo, che la proprietà è detta di
modulazione (vedi anche a fig.
3.14).
Deriva direttamente dalla definizione di trasformata:
Se
x(t) è reale ciò equivale alla proprietà di simmetria coniugata
X(f) = X*(−f).
Quantifica l’effetto che una variazione nella velocità di scorrimento del tempo ha sullo spettro. Possiamo ad esempio pensare come, ascoltando un nastro magnetico a velocità maggiorata, si ascolta un segnale di durata più breve, e dal timbro più
acuto. Questo fenomeno viene espresso analiticamente come:
F {x(at)} = 1|a| X⎛⎝fa⎞⎠
in cui se
|a| > 1 si ottiene una
accelerazione temporale, ed un
allargamento dello spettro, oppure il contrario quando
|a| < 1. La dimostrazione (per
a > 0) è riportata alla nota. Un corollario di questa proprietà è che se
a = −1, allora
Sospendiamo per ora l’elencazione delle proprietà della trasformata di Fourier per introdurre un nuovo segnale del tutto particolare, grazie al quale potremo definire un ulteriore strumento analitico come l’integrale di convoluzione, e con questo caratterizzare l’attraversamento di un sistema da parte dei segnali.
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