Dato che come vedremo un segnale periodico può essere espresso come una combinazione di funzioni trigonometriche, intraprendiamo i passi necessari a poterle descrivere nei termini di funzioni esponenziali complesse, che a loro volta intervengono in modo massiccio nella rappresentazione frequenziale di Fourier.

Un numero complesso x è costituito da una coppia di valori a e b entrambi reali [49]   [49] L’insieme dei numeri reali è indicato con ℝ, vi fanno parte i numeri interi, razionali, irrazionali e trascendenti, e può essere messo in corrispondenza biunivoca con gli infiniti punti su di una retta. che ne costituiscono la parte reale a e quella immaginaria [50]   [50] L’unità immaginaria trae origine dalla teoria dei numeri come la quantità √ − 1, in modo da poter esprimere nel campo complesso ℂ tutte le radici di un’equazione polinomiale. Mentre in analisi matematica è indicata dalla lettera i, nel seguito viene indicata con la lettera j in accordo alla notazione di teoria dei circuiti, in modo da evitare confusione con il simbolo utilizzato per la corrente elettrica. Risulta j² = − 1, j³ = − j, j⁴ = 1, j⁵ = j e così via ciclicamente. b, e viene scritto come detta rappresentazione in coordinate cartesiane o rettangolari, che lo mette in corrispondenza con un punto in un piano complesso. Le operazioni di somma e prodotto tra due numeri complessi x = a + jb e y = c + jd danno come risultato [51]   [51]  Sommare tra loro le parti reali e quelle immaginarie equivale a realizzare una somma vettoriale tra x e y come mostrato a lato. Per il prodotto si applica invece la regola del prodotto tra binomi, ovvero (a + jb)(c + jd) = ac + jad + jbd + jbjd da cui il risultato, ricordando che j² = − 1.

mentre l’inverso di un numero complesso risulta

Il numero complesso x^* = a − jb prende il nome di coniugato di x, per il quale valgono le relazioni x + x^* = 2a = 2ℜ{x} e x − x^* = 2jb = 2jℑ{x}.

Ricorrendo alle relazioni trigonometriche a = |x|cosφ_x e b = |x|sinφ_x un numero complesso x può essere anche espresso in coordinate polari come in cui [52]   [52] Mentre l’espressione del modulo è una diretta conseguenza del teorema di Pitagora, quella della fase discende dall’osservare che ba = |x|sinφ_x|x|cosφ_x = tanφ_x, per cui φ_x = arctanba. Con l’avvertenza che, qualora risulti a < 0, al risultato φ_x va aggiunto il termine π in quanto la funzione arctanφ è definita per valori dell’argomento  − ^π⁄₂ < φ < ^π⁄₂, vedi https://www.geogebra.org/m/Enf5AEbT. Nei linguaggi di programmazione esiste in genere la funzione atan2(b,a) che effettua automaticamente tale considerazione, vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Arcotangente2. |x| = √a² + b² prende il nome di modulo di x e φ_x = arg{x} = arctan ba prende il nome di fase o argomento. Risulta quindi evidente che |x|² = a² + b² = x ⋅ x^*, mentre 1x = x^*|x|². Infine, In virtù della periodicità di sin e cos, due numeri complessi con uguale modulo ma fase che differisce per multipli di 2π sono indistinguibili.

Si può mostrare [53]   [53] Vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Eulero#Funzioni_analitiche che qualora la serie di potenze in cui può essere sviluppata la funzione esponenziale e^z (pag. 1) sia valutata per un argomento z = jb completamente immaginario, essa eguaglia la somma delle serie di potenze in cui è possibile sviluppare la funzione cosb + jsinb. Questo risultato prende il nome di formula di Eulero, e mostra come l’esponenziale immaginario e^±jφ sia un particolare numero complesso con modulo pari ad uno [54]   [54] Più in generale, il valore e^x con x = a + jb è ancora un numero complesso, con fase b e modulo e^a. Infatti e^x = e^a + jb = e^ae^jb = e^a(cosb + jsinb). e fase φ espresso come La relazione (10.3) consente di scrivere le funzioni trigonometriche in termini di esponenziali complessi come [55]   [55] Osserviamo infatti che e ^jφ ed e^−jφ sono tra loro coniugati, e quindi applicando la (10.3) per la loro somma si ha e ^jφ + e^−jφ = 2ℜ{ e ^jφ} = 2cosφ mentre la differenza produce e ^jφ − e^−jφ = 2jℑ{e ^jφ} = 2jsinφ. Tali relazioni possono tornare utili nel semplificare i calcoli, trasformando i prodotti tra funzioni trigonometriche in somme di angoli [56]   [56] L’affermazione nasce dalla relazione e^αe^β = e^α + β. Ad esempio quindi, il prodotto cosα ⋅ sinβ diviene

14j(e ^jα + e^−jα)(e ^jβ − e^−jβ) = 14j[e ^jαe ^jβ − e ^jαe^−jβ + e^−jαe ^jβ − e^−jαe^−jβ] = 

 = 14j [e ^{j(α + β)} − e ^{j(α − β)} + e^{−j(α − β)} − e^{−j(α + β)}] = 14j[e ^{j(α + β)} − e^{−j(α + β)} − (e ^{j(α − β)} − e^{−j(α − β)})] = 

 = 14j [2jsin(α + β) − 2jsin(α − β)] = 12 [sin(α + β) − sin(α − β)]

. Ma sopratutto, la rappresentazione di un numero complesso x in coordinate polari (10.2) può essere riscritta in base alla (10.3) come detta anche rappresentazione esponenziale di x.

e dunque, come corollario, per il rapporto si ottiene xy = |x||y| e ^{j(φ_x − φ_y)} .

Un segnale del tipo x(t) = Acos(2πf₀t + φ) è completamente rappresentato dal numero complesso x = Ae ^jφ detto fasore, la cui conoscenza permette di riottenere il segnale originario mediante la relazione x(t) = ℜ{x ⋅ e ^j2πf₀t}, che una volta sviluppata [57]   [57] Un modo alternativo di ottenere lo stesso risultato è quello di esprimere gli esponenziali complessi mediante la (10.3), ottenendo x(t) = ℜ{|x|(cosφ + jsinφ)[cos(2πf₀t) + jsin(2πf₀t)]}, e sviluppare il calcolo facendo uso delle relazioni cosαcosβ = 12 [cos(α + β) + cos(α − β)] e sinαsinβ = 12 [cos(α − β) − cos(α + β)], ma avremmo svolto molti più passaggi. risulta infatti pari a Osserviamo che il risultato è interpretabile graficamente come aver impresso al fasore x una rotazione di velocità angolare ω₀ = 2πf₀ radianti/secondo in senso antiorario, ed aver proiettato il risultato sull’asse reale.