3.5 Moltiplicazione in frequenza e nel tempo
Forti dei nuovi strumenti in nostro possesso, riprendiamo la discussione sulle proprietà della trasformata di Fourier. Infatti, la descrizione di un sistema fisico per mezzo della sua risposta impulsiva è di fondamentale utilità soprattutto per merito della proprietà
La trasformata di Fourier della convoluzione tra due segnali è pari al prodotto delle trasformate dei segnali
ovvero
la cui dimostrazione è riportata alla nota. Sussiste inoltre anche la proprietà
duale, ovvero ad un
prodotto nel tempo corrisponde una
convoluzione in frequenza, cioè
La fig.
3.13 mostra come l’ultima relazione individui un
isomorfismo tra spazi di segnale; chiaramente la
(10.50) rappresenta un isomorfismo analogo. Nel seguito, trattiamo delle conseguenze e dei risvolti legati alla coppia di proprietà ora introdotte, iniziando dalla prima.
3.5.1 Moltiplicazione in frequenza (filtraggio)
La proprietà
(10.50) consente una diversa modalità di calcolo dell’uscita da un sistema fisico, che può infatti essere ricavata operando nel dominio della frequenza, calcolando prima
e quindi valutando
y(t) = F −1{Y(f)}. La trasformata della risposta impulsiva
H(f) = F {h(t)} prende il nome di
risposta in frequenza, per il motivo esposto di seguito, assieme ad un paio di esempi di applicazione di questa proprietà a casi già noti al lettore. Approfondimenti sulle operazioni di filtraggio possono essere trovati al cap.
7, da affrontare dopo lo studio dei processi ergodici al §
6.3.
Risposta in frequenza Ponendo in ingresso al sistema un segnale esponenziale complesso
x(t) = e j2πf0t, in cui è presente l’unica frequenza
f0 (infatti
X(f) = δ(f − f0)), la proprietà del prodotto per un impulso permette di valutare una uscita
Y(f) = H(f)δ(f − f0) = H(f0)δ(f − f0), ossia un impulso centrato in
f0 e di area complessa
H(f0), da cui
y(t) = H(f0) e j2πf0t
Quindi, il segnale in ingresso si ripropone in uscita, alterato in modulo e fase in base al valore complesso
|H(f0)|e jarg{H(f0)} che
H(f) assume alla frequenza
f0: per questo motivo
H(f) è detta
risposta in frequenza del sistema.
Autovettori di H(f) Ricordando come in algebra lineare l’applicazione di una trasformazione lineare ad un proprio autovettore produce l’autovettore stesso, moltiplicato per il rispettivo autovalore, osserviamo che per un sistema con risposta in frequenza H(f) gli autovettori (o autofunzioni) sono i segnali esponenziali complessi e j2πf0t, ai quali risulta associato l’autovalore H(f0).
Misura della risposta in frequenza Se un filtro è idealmente realizzabile (pag.
1) risulta
H(f) = H*(−f), e considerando per
H(f) la sua espressione in termini di modulo e fase
H(f) = M(f)e jφ(f), risulta
M(f)|f < 0 = M(f)|f > 0 e
φ(f)|f < 0 = − φ(f)|f > 0 .
Ciò consente di misurare modulo
M(f) e fase
φ(f) della risposta in frequenza per tutti i valori di
f, utilizzando come ingresso una funzione sinusoidale con ampiezza
A e fase
θ note:
x(t) = Acos(2πf0t + θ). Il segnale in uscita è ancora una cosinusoide con ampiezza
A ⋅ M(f0) e fase
θ + φ(f0); pertanto ricaviamo
M(f0) = max{y(t)}max{x(t)}, e φ(f0) = arg{y(t)} − arg{x(t)}
Ripetendo il procedimento per diverse
f0, possiamo “campionare”
H(f). Al §
3.8.2 si illustra una modalità operativa per la misura della differenza di fase tra sinusoidi.
Sistema passa tutto Poniamo di avere
H(f) = 1, e che quindi risulti
h(t) = δ(t). In questo caso le componenti di
X(f) alle diverse frequenze non subiscono alcuna alterazione, ottenendo
y(t) = F −1{Y(f)} = F −1{X(f)} = x(t)
ed il sistema viene detto di tipo
passa tutto. Per verifica possiamo scrivere l’espressione dell’integrale di convoluzione, ovvero
y(t) = ∫∞−∞x(τ) δ(t − τ) dτ = x(t): ritroviamo quindi la proprietà di setacciamento
(10.44).
Fase lineare e ritardo Se invece
H(f) = e −j2πfτ abbiamo un sistema caratterizzato da una
fase lineare (pag.
1) e che equivale ad un elemento di ritardo, riproducendo in uscita il valore che era presente in ingresso
τ istanti prima. Infatti in base alla
(10.40) risulta:
y(t) = F −1{Y(f)} = F −1{X(f)e −j2πfτ} = x(t − τ)
D’altra parte, scrivendo l’integrale di convoluzione, e ricordando che
h(t) = F −1{e −j2πfτ} = δ(t − τ), avremmo ottenuto
y(t) = ∫∞−∞x(θ) δ(t − τ − θ) dθ = x(t − τ), ritrovando la proprietà della convoluzione per un impulso traslato.
Un sistema siffatto è indicato a pag.
1 come
canale perfetto, in quanto privo di distorsioni lineari (vedi §
8.2).
Sistemi in cascata Ponendo l’uscita
y(t) = x(t) * h(t) di un primo sistema con risposta impulsiva
h(t) in ingresso ad un secondo filtro con risposta impulsiva
g(t), e ricordando che (pag.
1) la cascata dei due sistemi è equivalente ad un terzo sistema con risposta impulsiva
h’(t) = h(t) * g(t), si ottiene come risultato complessivo
z(t) = y(t) * g(t) = x(t) * h(t) * g(t), la cui trasformata di Fourier risulta
Z(f) = X(f)H(f)G(f). Pertanto, la risposta in frequenza di sistemi posti in serie è il prodotto delle relative risposte in frequenza.
3.5.2 Moltiplicazione nel tempo (modulazione e finestratura)
La relazione
(10.51)
ci permette di investigare le conseguenze frequenziali del prodotto temporale di due segnali.
Esempio Prendiamo il caso in cui
z(t) = ArectT(t)cos2πf0t, ovvero pari alla forma d’onda graficata a sinistra nella fig.
3.14. Applicando i risultati noti e la proprietà di traslazione in frequenza, risulta:
Z(f) = A2 F {rectT(t)(e j2πf0t + e −j2πf0t)} = AT2 ( sinc[(f − f0)T] + sinc[(f + f0)T])
in cui
F {rectT(t)} = T sinc(fT) si è traslato in
± f0.
Il risultato dell’esempio, mostrato a destra in fig.
3.14, coincide con quello previsto: l’espressione di
Z(f) infatti è anche pari alla convoluzione tra
F {rectT(t)} = T sinc(fT) ed i due impulsi traslati
F {cos2πf0t} = 12 (δ(f − f0) − δ(f + f0)), determinando quindi la replica dello spettro del
rect, traslata alla frequenza del coseno.
Il prodotto tra segnali nel tempo prende il nome di modulazione quando uno dei due fattori è una (co)sinusoide, la cui ampiezza viene appunto variata (o
modulata) dal secondo fattore. La
modulazione di ampiezza (cap.
11) dei radio ricevitori si riferisce esattamente a questo processo, svolto allo scopo di condividere tra più emittenti la banda prevista per le trasmissioni, assegnando a ciascuna di esse una diversa frequenza portante
f0 su cui trasmettere: infatti come mostrato dall’esempio, lo spettro del rettangolo si è spostato da
f = 0 a
f = f0.
Questo termine fa riferimento al caso in cui uno dei due fattori della
(10.53) sia un segnale a durata limitata (detto
finestra), come nel caso del
rectT(t) di fig.
3.14. Con riferimento all’esempio si può osservare che per
T crescente
Z(f) tende sempre più ad assomigliare ad una coppia di impulsi, ossia al risultato noto per un coseno di durata
infinita. Qualora si consideri invece solo un
breve intervallo di un segnale il suo spettro si modifica a seguito della
convoluzione in frequenza con la trasformata della
finestra di analisi. L’estrazione di un segmento di durata limitata da un segnale comunque esteso prende dunque il nome di
finestratura (
windowing), ed in appendice
3.8.4 sono svolte considerazioni relative alla scelta di una finestra rettangolare, o con
altro andamento.
scegli
