Nei diversi capitoli la sezione di appendice ospita dettagli che possono meritare una attenzione particolare.

Illustriamo le condizioni sufficienti a garantire la convergenza della serie di Fourier (10.7), per ogni istante t , al segnale periodico x ( t ) di partenza.

Qualora un segnale periodico x ( t ) , per t interno all’intervallo di un periodo t ∈ ( − ^T⁄₂ ,  ^T⁄₂),

allora la serie ∑ ∞n = −∞ X n e j2πnFt eguaglia il valore x(t) del segnale utilizzato per calcolarne i coefficienti Xn =  1 T ∫ T⁄2 − T⁄2 x(t) e − j2πnFt dt in tutti i punti in cui x(t) è continuo, mentre negli istanti di discontinuità di prima specie, fornisce un valore pari alla media dei valori limite destro e sinistro. Tali condizioni si applicano direttamente ai segnali x(t) reali, mentre nel caso di segnali complessi, si applicano in modo indipendente alla parte reale ed a quella immaginaria. Inoltre le condizioni sono sufficienti e non necessarie, nel senso che anche se lo sviluppo di un segnale in serie di Fourier converge, non è detto che lo stesso soddisfi tali condizioni.

Svolgiamo ora qualche riflessione in merito alla velocità con cui i coefficienti X _n tendono a zero per n → ∞ . Si può mostrare che se un segnale soddisfa le condizioni di Dirichlet, allora le ampiezze dei relativi coefficienti di Fourier rispettano l’andamento |X_n| ≤  α n , ovvero le armoniche presentano ampiezze che si riducono con legge almeno inversa del corrispondente ordine. Un caso in cui vale l’uguaglianza è quello relativo all’onda quadra studiata al §  2.2.1.4, in cui sono presenti discontinuità di prima specie. Al contrario, per un’onda triangolare (§  2.5.2) la velocità di smorzamento delle ampiezze è maggiore, risultando infatti del tipo |X_n| = α n ² . Ciò significa che volendo approssimare il segnale troncando la serie ad un indice N , nel caso di un’onda triangolare la potenza dell’errore sarà molto minore, a parità di N , di quella osservabile per l’onda quadra. In generale, si può affermare che se la k−esima derivata di un segnale soddisfa le condizioni di Dirichlet, allora i corrispondenti coefficienti della serie vanno a zero con legge |X_n| ≤  α n ^k + 1 . Ciò in pratica significa che più un segnale ha un andamento dolce, e minore sarà il suo contenuto armonico. Il caso limite è rappresentato dalla sinusoide, alla quale è associata una unica armonica (la fondamentale), e difatti per essa tutte le derivate sono continue essendo, come noto, sinusoidi anch’esse.

Moltiplicando il segnale periodico per e^{− j2πmFt} ed eseguendo l’integrale tra due istanti t₁ e t₂ presi a distanza di un multiplo intero di periodi (ossia t₂ − t₁ = kT ), si ottiene in quanto per n ≠  m la funzione integranda ha valor medio nullo, dato che nell’intervallo (t₁, t₂) (dovunque collocato dell’asse dei tempi) presenta un numero intero di periodi. Pertanto, il valore dei coefficienti della serie di Fourier può essere ottenuto a partire da un qualunque intervallo [t₁, t₂] esteso su un numero intero di periodi ( t₂ − t₁ = mT con m intero):

Nello schema che segue sono mostrate le ampiezze delle componenti armoniche X _n per alcuni segnali periodici di periodo T , di cui è fornita l’espressione nel tempo per |t| <  T ⁄ 2 .