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2.3 Teorema di Parseval

A pag. 1 abbiamo definito la potenza di un segnale x(t) come il valor medio del suo quadrato, ovvero Px = limτ → ∞1τ ∫τ⁄2 − τ⁄2|x(t)|2dt, facendo poi osservare come nel caso di segnale periodico decada la necessità del passaggio al limite limitando l’integrale ad un periodo T, ovvero Px = 1T ∫T⁄2 − T⁄2|x(t)|2dt. Il teorema di Parseval ci fornisce un modo alternativo di ottenere la stessa grandezza a partire dai coefficienti Xn del suo sviluppo in serie, risultando
(10.13) Px = 1T T⁄2⌠⌡ − T⁄2|x(t)|2dt = ∞⎲⎳n = −∞|Xn|2
Per provare che è vero, sviluppiamo i calcoli generalizzandoli al caso di un segnale complesso:
(10.14) Px  =  1T T⁄2⌠⌡ − T⁄2|x(t)|2dt = 1T T⁄2⌠⌡ − T⁄2x(t)x*(t)dt =   =  1T T⁄2⌠⌡ − T⁄2[ ⎲⎳nXn e j2πnFt][ ⎲⎳mX * m e −j2πmFt]dt =   =   ⎲⎳n ⎲⎳mXnX * m1T T⁄2⌠⌡ − T⁄2 e j2π(n − m)Ftdt =   =  ∞⎲⎳n = −∞XnX * n = ∞⎲⎳n = −∞|Xn|2 = ∞⎲⎳n = −∞M2n = ∞⎲⎳n = −∞(R2n + I2n)
Ortogonalità degli esponenziali complessi
Nel passare dalla terza alla quarta riga della (10.14) si è fatto uso del risultato
(10.15)
1T T⁄2⌠⌡ − T⁄2 e j2π(n − m)Ftdt = ⎧⎨⎩ 0  con m ≠ n       1  con m = n
che deriva dalla circostanza che, ponendo k = n − m, la funzione integranda è pari a cos(2πkTt) + jsin(2πkTt) e dunque uguale ad 1 quando k = 0, e co-sinusoidale con periodo Tk per k ≠ 0. Mentre quindi per m = n ovvero k = 0 l’integrale vale T, quando invece k ≠ 0 presenta un numero intero k di periodi entro l’intervallo di integrazione T, dando luogo ad un valor medio nullo: ciò comporta la scomparsa dei termini con m ≠ n dalla sommatoria doppia in (10.14). In base ai princìpi di algebra vettoriale forniti al § 2.4, la proprietà appena illustrata viene indicata come ortogonalità degli esponenziali complessi.
Spettro di potenza per segnali periodici
Tornando ad esaminare il risultato Px = ∑∞n = −∞|Xn|2 espresso dal teorema di Parseval, notiamo che |Xn|2 è la potenza Pn della sola n − esima componente armonica Xn e j2πnFt di x(t):
Pn = 1T T⁄2⌠⌡ − T⁄2[Xn e j2πnFt][X * n e −j2πnFt]dt = |Xn|2TT⁄2⌠⌡ − T⁄2dt = |Xn|2
e quindi
La potenza totale Px di un segnale periodico x(t) è pari alla somma delle potenze delle sue componenti armoniche
Si presti attenzione che il risultato è una diretta conseguenza dell’ortogonalità degli esponenziali complessi: infatti la potenza di una somma non è in generale pari alla somma delle potenze [70]   [70] In generale risulta, con la notazione di prodotto scalare ⟨a,  b⟩ tra vettori-segnali a e b introdotta al § 2.4: ⟨x + y,  x + y⟩ = ⟨x,  x⟩ + ⟨y,  y⟩ + ⟨x,  y⟩ + ⟨y,  x⟩. ; l’uguaglianza ha luogo solo nel caso in cui gli addendi siano ortogonali.
La successione
{Pn} = {...,  |X − k|2,  ...,  |X0|2,  ...,  |Xk|2,  ...}
rappresenta dunque il modo con cui la potenza totale si ripartisce tra le diverse armoniche a frequenza f = nF, e prende il nome di spettro di potenza del segnale x(t). Osserviamo che necessariamente i termini Pn = |Xn|2 risultano reali e positivi; inoltre se x(t) è reale la proprietà di simmetria coniugata comporta che |Xn|2 = |X *  − n|2 = |X − n|2, e quindi Pn = P − n; pertanto un segnale reale è caratterizzato da uno spettro di potenza pari.
Esempio Determiniamo lo spettro di potenza di un’onda quadra di ampiezza unitaria. Essendo Xn = 12  sinc⎛⎝n2⎞⎠, si ottiene {Pn} = {|Xn|2} = 14 ⎧⎩  sinc2⎛⎝n2⎞⎠⎫⎭.
Potenza di un coseno
Cogliamo l’occasione per verificare il risultato di pag. 1 relativo alla potenza di un coseno di ampiezza A. Applicando il teorema di Parseval ai coefficienti calcolati a pag. 1 si ottiene:
Px = |X1|2 + |X − 1|2 = 2 A24 = A22
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