La variabilità temporale della potenza istantanea ricevuta può essere tenuta direttamente in conto se l’espressione della P^bit_e(^E_b⁄_N0) ottenuta al cap. 16 per un canale gaussiano viene considerata come quella di una probabilità condizionata Pr[ ^err⁄_EbN0] rispetto ad un determinato valore di ^E_b⁄_N0, di cui valutare il valore atteso rispetto alla variabilità statistica dei valori di E_b ricevuto. Per poter sviluppare i passaggi indichiamo allora con E_b l’energia per bit media che si riceverebbe in assenza di fading di Rayleigh, e con E’_b = ρ²E_b la stessa quantità (istantanea) ricevuta a seguito del fading, in cui ρ è il modulo dell’inviluppo complesso ricevuto, descritto da una v.a. di Rayleigh. La P_e è dunque definita come Prendendo come esemplare il caso della modulazione bpsk [1174]   [1174] A causa delle fluttuazioni di ampiezza legate al fading non è possibile ricorrere a modulazioni di tipo qam, e nel seguito sono prese in considerazione unicamente modulazioni di fase e di frequenza. (pag. (21.40)) abbiamo P^bit_e(^E_b⁄_N0) = 12 erfc{√^E_b⁄_N0} e dunque possiamo scrivere

Per applicare la (21.205) alla (21.204) occorre specificare la d.d.p. di ρ pari a p(ρ) = ρσ² e^{− ρ22σ2} (eq. (21.185)) e ricordare l’espressione di erfc{α} = 2√π ∫^∞_αe^− y2dy ((§ 6.2.4)), in modo che la (21.204) divenga ed invertendo l’ordine di integrazione [1175]   [1175] Il dominio di integrazione è rappresentato in figura, e anziché muoversi prima lungo y dalla retta

y = ρ√^E_b⁄_N0 ad infinito ottenendo una funzione di ρ, e quindi integrare con 0 < ρ < ∞, ci si muove in orizzontale tra ρ = 0 e ρ = y√^N₀⁄_Eb ottenendo una funzione di y, quindi integrata con 0 < y < ∞. Verifichiamo quindi che

               ∫y√N0⁄Eb0ρσ2 e− ρ22σ2dρ = −  e− ρ22σ2|y√N0⁄Eb0 = − e− y22σ2 N0Eb + 1.

otteniamo Allo scopo di semplificare la (21.206) notiamo innanzitutto che (essendo ρ una v.a. di Rayleigh) risulta E{ρ²} = 2σ² (vedi eq. (14.101)), da cui ne deriva che l’energia per bit E_b’ media ricevuta ha espressione E_b’ = E{ρ²E_b} = 2σ²E_b. Indichiamo quindi con Γ = 2σ²E_bN₀ = E_b’N₀ l’SNR per bit medio che viene ricevuto in modo che la (21.206) possa essere riscritta come Tenendo ora conto [1176]   [1176] Vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_di_Gauss) che ∫^∞_−∞e^− y2dy = √π il primo termine di (21.207) risulta pari ad 12, mentre dato che  − y² − y²Γ = − Γ + 1Γ y² e che risulta anche ∫^∞_−∞e^− αy2dy = √^π⁄_α, il secondo termine di (21.207) si riscrive come 1√π ∫^∞₀ e^{− Γ + 1Γy2}dy = 12√Γ1 + Γ, in modo da ottenere per la (21.207) il risultato in forma chiusa che confrontato in fig. 20.29 con l’espressione di P^bit_e, BPSK = 12 erfc⎧⎨⎩√^E_b⁄_N0⎫⎬⎭ per un canale agwn evidenzia come in presenza di fading di Rayleigh la P_e sia sensibilmente peggiore, e diminuisca molto più lentamente all’aumentare di ^E_b⁄_N0. Se poi valutiamo la differenza in ^E_b⁄_N0(dB) mostrata in fig. 20.29 per i casi di presenza ed assenza di fading e per una stessa P_e, troviamo valori confrontabili con quelli del margine M^ps mostrati in fig. 20.16.

Procedendo in modo simile si possono valutare le prestazioni per le altre forme di modulazione numerica, il cui risultato è pure riportato in fig. 20.29 come anche nella tabella seguente, assieme al valore approssimato di P^bit_e per grandi valori di Γ.

Per capire ciò che accade occorre affrontare un po’ di conti. Indichiamo allora con {b_i} la sequenza dei bit trasmessi e con l’inviluppo complesso del segnale dsss, mentre come discusso al § 20.4.5 la risposta impulsiva del canale ha espressione (eq. (21.191)) in cui i coefficienti Z_n = a_ne^{− j2πf₀τ_n} sono i guadagni complessi dovuti ai cammini multipli: il trucco del ricevitore Rake è quello di conoscere [1177]   [1177] Ottenuti grazie ad una tecnica di stima di canale. i valori di Z_n e τ_n. Trascurando il fattore ¹⁄₂ della convoluzione tra inviluppi complessi (eq. (14.67)), il segnale ricevuto in presenza di multipath ha quindi espressione La decodifica (§ 16.9.2.2) del j − esimo simbolo b_j inizia (ad esempio) moltiplicando r̃(t) per pn(t − jT_s − τ₀) (allineata cioè al primo ritardo τ₀) ed integrando il risultato su di un periodo di bit, realizzando così un correlatore (pag. 1) alla sequenza pn, ovvero

Interrompiamo per un attimo l’aspetto analitico per indicare la stima a cui siamo arrivati come b̂⁰_j in quanto ottenuta dalla replica con ritardo τ₀, e notare che lo stesso tipo di elaborazione è applicabile fruttuosamente a tutti i ritardi τ_n per ottenere, mediante un banco di correlatori [1178]   [1178] I correlatori del Rake sono anche detti fingers, ovvero dita (del rastrello), ognuno dei quali utilizza una pn con un ritardo pari a quello di uno degli echi del multipath, realizzando uno schema di ricezione a diversità di tempo., altrettante stime b̂ⁿ_j che il ricevitore rake (letteralmente, rastrello) ricombina come mostrato alla fig. 20.30.

La figura schematizza i passaggi discussi adottando una notazione lievemente diversa, in quanto anziché ritardare la sequenza pn viene ritardato il segnale in arrivo [1179]   [1179] In pratica nello schema in figura la pn è allineata al ritardo maggiore τ_n, mentre i ritardi mostrati vanno da zero (per correlare la replica più ritardata) alla massima differenza τ_n − τ₀.; inoltre, viene evidenziato il ruolo ed i punti di intervento del risultato della stima di canale.

Le uscite dei correlatori sono quindi combinate tra loro con il duplice intento di rendere la somma coerente eliminando il contributo di fase dovuto al multipath, e di applicare il principio di massimo rapporto (§ 21.3.1.2) per trarre vantaggio dallo schema a diversità. Ciò avviene moltiplicando l’uscita del correlatore n − esimo per Z ^* _n, e dato che l’uscita stessa contiene il fattore Z_n, tale operazione elimina il contributo di fase, e pesa il contributo del ramo con |Z_n|², ovvero con l’energia associata al ritardo τ_n [1180]   [1180] Ciò riduce il peso dei contributi relativi a rami su cui perviene un segnale di ampiezza ridotta, la cui uscita dipende in misura maggiore dal rumore.. Tali pesi sono infine scalati di una quantità α = 1∑^N− 1_n = 0Z²_n in modo da mantenere la dinamica del risultato entro valori noti.