Collegamenti radiomobili: fading di Rayleigh e Rice, fading piatto o selettivo in frequenza, banda di coerenza, dispersione Doppler, tempo di coerenza, sottodispersione

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20.4 Collegamenti radiomobili

Le condizioni di propagazione per comunicazioni radiomobili, come nel caso della telefonia cellulare, presentano diversi aspetti particolari che influenzano il fading.

Innanzitutto l’antenna del terminale mobile è molto vicina al suolo, e ciò comporta la presenza di una eco fissa da terra, quasi sempre il mancato rispetto delle condizioni di Fresnel [1137] [1137] Alla frequenza di 1 GHz si ha λ = 30 cm e per una distanza di 100 metri dal trasmettitore si ottiene un raggio massimo dell’ellissoide pari a 12 √.3 ⋅ 100 = 12√30 ≃ 2.7 metri., ed una attenuazione supplementare da assorbimento terrestre. Inoltre (specie

in ambito urbano) si verifica un elevato numero di cammini multipli e diffrazioni, che per di più variano nel tempo in conseguenza dello spostamento del terminale. Infine l’uso condiviso di una stessa banda di frequenze radio da parte di una moltitudine di terminali determina la necessità di riusare le stesse frequenze in regioni differenti [1138] [1138] Vedi ad es. i §§ 11.1.1.3, 16.9.2.5, 16.8.12., e l’attuazione di meccanismi di codifica di canale (§ 17.4) per ridurre gli effetti delle interferenze e del fading variabile [1139] [1139] Mentre il fading produce una attenuazione variabile sul segnale, la stessa variabilità delle condizioni di propagazione può portare a livelli di interferenza variabili, causati da altre trasmissioni nella stessa banda. La variabilità temporale della qualità del segnale ricevuto, in particolare quella veloce (vedi § 20.4.6), produce errori a burst, che possono essere corretti mediante codifica di canale ed interleaving (vedi § 15.6.2.3)..

Analizziamo di seguito i fenomeni legati a posizione ed ambiente, fornendo modelli che descrivono le attenuazioni supplementari ed i fenomeni di multipath variabile, rimandando la discussione sulle tecniche di accesso multiplo ai §§ 16.8.12 e 16.9.2.5.

20.4.1 Le componenti del fading

Al fine di distinguere tra le diverse cause di fading, la rappresentazione grafica del bilancio di collegamento mostrata a pag. 1 può essere re-impostata come illustrato in fig. 20.12, in cui si considera una componente di attenuazione nominale A_pl indicata come path loss (o attenuazione di percorso), e due componenti aleatorie di attenuazione

Figure 20.12 Bilancio di collegamento
per il caso radiomobile

supplementare legate a posizione e movimento, indicate rispettivamente come fading su larga scala o shadowing (ombreggiatura) a^ls_s e fading su piccola scala a^ps_s.

Il valore di attenuazione A_pl del path loss risulta maggiore di quello A_sl di spazio libero (eq. 21.177) a causa delle condizioni di propagazione non ideali, determinando una attenuazione disponibile A_d più elevata, come analizzato al § 20.4.2. L’attenuazione supplementare su larga scala a^ls_s tiene conto dei fenomeni lentamente variabili nel tempo, come la frapposizione di rilievi, edifici, ed alberi: essa non varia di molto con il movimento del ricevitore, ed al § 20.4.3 si mostra come il suo valore in dB possa considerarsi quello di una v.a. gaussiana a media nulla e varianza σ²_ls, consentendo di determinare il margine su larga scala M^ls_dB come quel valore di a^ls_{s_dB} che viene superato con probabilità sufficientemente bassa.

La variabilità su piccola scala è quella che maggiormente caratterizza il fading, e tiene conto degli innumerevoli cammini multipli presenti in ambito urbano ed indoor, che possono produrre una attenuazione supplementare a^ps_{s_dB} maggiore del caso precedente, una H(f) selettiva in frequenza, e se è presente movimento del ricevitore e/o delle superfici riflettenti, la variabilità temporale di a^ps_{s_dB}; a seconda se la rapidità di variazione sia maggiore o minore del periodo di simbolo, si distingue ulteriormente in fast e slow fading. Questi effetti sono analizzati al § 20.4.4, dove si determina il margine M^ps_dB necessario a rendere trascurabile la probabilità che a^ps_{s_dB} > M^ps_dB; mentre ai § 20.4.5 e 20.4.6 si illustrano gli effetti dei fenomeni di variabilità in frequenza e nel tempo.

La fig. 20.12 mostra come queste tre componenti di attenuazione si sommano [1140] [1140] Considerando le v.a. statisticamente indipendenti. al fine di determinare la potenza che occorre trasmettere

W_T = W_{R_min} + A_d + M^ls_dB + M^ps_dB

mentre quella a lato tenta di rappresentare come varia la somma dei tre contributi di attenuazione con la posizione del ricevitore.

20.4.2 Path loss

La dipendenza della attenuazione dal quadrato della distanza espressa dalla (21.177) si riferisce al caso ideale di spazio libero; misurazioni reali mostrano che invece l’esponente di d aumenta fino alla quarta potenza, a seconda del tipo di ambiente (urbano, rurale) e dell’altezza dell’antenna ricevente [1141] [1141] Inoltre, la condizione di nlos introduce una attenuazione supplementare costante. Per una rassegna dei diversi modelli di propagazione, si veda ad es.
http://www.slideshare.net/deepakecrbs/propagation-model.. Pertanto il termine 20log₁₀d(Km) che compare in (21.179) viene sostituito con A_pl = n ⋅ 10log₁₀d(Km) + α, e quindi in questo caso anziché la (21.179), l’espressione da usare per l’attenuazione disponibile è

(21.182)
A_d(dB) = 32.4 + 20 log₁₀ f(MHz) + n ⋅ 10 log₁₀ d(Km) + α − G_T(dB) − G_R(dB)

in cui n ed α sono determinati in base a campagne di misura, e tengono conto delle condizioni operative. Il valore di n varia da 4 a 3 con d < 100 metri, all’aumentare dell’altezza dell’antenna fissa, mentre il termine α può variare da 7 a 15 dB con antenna fissa alta 30 e 10 metri rispettivamente, e subire un incremento di quasi 30 dB passando da un ambiente aperto ad un ambito urbano.

Esercizio Valutare il path loss per un collegamento a 2 GHz lungo un chilometro, considerando le antenne omnidirezionali, in un ambiente per il quale sono stati stimati i parametri n = 4 e α = 32.
E’ sufficiente applicare la (21.182) utilizzando i valori forniti per i parametri:

A_d(dB) = 32.4 + 20log₁₀2 ⋅ 10³ + 4 ⋅ 10log₁₀1 + 32 = 130.4 dB.

20.4.3 Fading su larga scala e shadowing

La stima delle grandezze n ed α ora introdotte è svolta mediando i risultati di diverse misure condotte nel territorio che si intende caratterizzare, misure che in realtà variano spostandosi tra territori diversi, in cui si riscontrano valori di fading diversi, anche per uguali valori di d. Questo fenomeno è indicato come slow fading oltre che su larga scala, poiché non si presenta muovendosi di poco in una stessa zona, dipendendo dalla orografia del territorio e dalla natura degli oggetti limitrofi. Ma anche stando fermi, non conoscendo a priori in che zona ci si trovi, l’effetto del fading su larga scala (ls) si manifesta come una attenuazione supplementare a_s aleatoria, che risulta avere un andamento gaussiano in dB [1142] [1142] La d.d.p. gaussiana discende dall’ipotesi che uno dei cammini multipli pervenga al ricevitore con una potenza nettamente predominante rispetto agli altri. In questo caso l’inviluppo complesso x del segnale ricevuto è adeguatamente rappresentato da una v.a. di Rice (vedi pag. 1) x = a + r, in cui |r| ha d.d.p. di Rayleigh e rappresenta l’effetto di molte cause indipendenti, relative ai cammini multipli, ed a è l’ampiezza della eco di segnale ricevuta con la maggiore ampiezza. Se a ≫ |r| possiamo scrivere

a_s(dB) = 10log₁₀1|a + r|² = − 10log₁₀((a + r_c)² + r²_s) =

= − 10log₁₀a²a²(a² + 2ar_c + r²_c + r²_s) = 10⎛⎝log₁₀a² + log₁₀⎛⎝1 + 2r_ca + |r|²a²⎞⎠⎞⎠ =

≃ 10⎛⎝log₁₀a² + log₁₀⎛⎝1 + 2r_ca⎞⎠⎞⎠ ≃ 10⎛⎝log₁₀a² + 2r_ca⎞⎠ = 10log₁₀a² + 20r_ca

in quanto log(1 + α) ≃ α con α≪1, e quindi a_s(dB) ha media 10log₁₀a² (compresa nel path loss) ed esibisce una d.d.p. gaussiana, la stessa di r_c.

(per questo detto lognormale) ed a media nulla, cioè del tipo

p_{A_s}(a_s(dB)) = 1√2πσ exp ⎧⎨⎩− (a_s(dB))²2σ²_ls⎫⎬⎭

dove σ_ls varia tra 6 ed 8 dB per una altezza dell’antenna tra 5 e 15 metri [1143] [1143] Anche se l’aumentare dell’altezza di una antenna ne estende la relativa area di copertura, in ambito urbano questo corrisponde ad una maggiore variabilità delle effettive condizioni operative.. Per velocità del mobile non superiori ai 15 Km/h si può assumere a_s costante in frequenza per qualche MHz, e nel tempo per poche centinaia di millisecondi.

Esempio Una trasmissione los per la quale occorre ricevere una potenza di almeno W_R = − 50 dBm è realizzata mediante un collegamento radio tra antenne omnidirezionali poste a d = 20 Km e con portante f₀ = 27 MHz. Determinare la potenza W^slib_T che occorre trasmettere in condizioni di spazio libero, e la nuova potenza W^sfad_T necessaria a garantire una probabilità di fuori servizio pari al 5%, in presenza di un fading su larga scala caratterizzato da σ_ls = 3 dB. Utilizziamo la (21.179) per calcolare

A_d(dB) = 32.4 + 20log₁₀f(MHz) + 20log₁₀d(Km) − G_T(dB) − G_R(dB) = = 32.4 + 20log₁₀27 + 20log₁₀20 = 32.4 + 28.6 + 26 = 87 dB

da cui si ottiene

W^slib_T(dBm) = W_R(dBm) + A_d(dB) = − 50 + 87 = 37 dBm

pari a 7 dBW ovvero 10^0.7 = 5 Watt. Il fading su larga scala produce una attenuazione supplementare aleatoria con d.d.p. gaussiana in dB, e la probabilità di fuori servizio del 5% corrisponde al punto della curva di pag. 1 per cui 0.05 = 12 erfc ⎧⎨⎩M^ls_dB√2σ_ls⎫⎬⎭, e quindi graficamente si ottiene M^ls_dB√2σ_ls = 1.5, da cui M^ls_dB = 1.5 ⋅ √2 ⋅ 3 = 1.5 ⋅ 1.41 ⋅ 3 = 6.3 dB, che ci consente di calcolare la nuova W^sfad_T come

W^sfad_T(dBW) = W^slib_T(dBW) + M^ls_dB = 7 + 6.3 = 13.3 dBW

ovvero 10^1.33 = 21.4 Watt.

20.4.4 Fading su piccola scala

Consiste nella fluttuazione di livello del segnale radio osservata durante il movimento, e causata dalla variazione dei ritardi con cui i cammini multipli giungono al ricevitore: spostandosi infatti di λ2 si può passare [1144] [1144] A frequenza di 1 Ghz, si ha λ ≃ 30 cm. Questo fenomeno può essere facilmente sperimentato quando, durante una sosta al semaforo, si perde la sintonia di una radio fm, riacquistandola per piccoli spostamenti dell’auto; un altro esempio può essere la ricerca del campo per poter telefonare. da una situazione di somma coerente ad una completa opposizione di fase. Analizziamo ora la situazione dal punto di vista del livello di segnale ricevuto, distinguendo tra i casi di fading piatto, di Rayleigh e di Rice.

Fading piatto

Considerando che la (21.180) consente di scrivere il segnale ricevuto come y(t) = ∑^N_n = 1 a_nx(t − τ_n), il relativo inviluppo complesso y(t) in presenza di cammini multipli può essere espresso in funzione di quello trasmesso x(t) come [1145] [1145] La (21.183) discende dal considerare un generico segnale modulato x(t) = a(t)cos(2πf₀t + φ(t)) ed il suo inviluppo complesso x(t) = a(t)e^jφ(t): per ogni sua replica ritardata x_n(t) = x(t − τ_n) possiamo scrivere

x_n(t) = a(t − τ_n)cos[2πf₀(t − τ_n) + φ(t − τ_n)] = a(t − τ_n)cos(2πf₀t − 2πf₀τ_n + φ(t − τ_n))

ed il cui inviluppo complesso rispetto ad f₀ può quindi essere espresso come

x_n(t) = a(t − τ_n)e^{jφ(t − τ_n)}_{x(t − τ_n)}e^{−j2πf₀τ_n} = x(t − τ_n)e^{−j2πf₀τ_n}

(21.183)
y(t) = ^N⎲⎳_n = 1a_nx(t − τ_n)e^{−j2πf₀τ_n} = ^N⎲⎳_n = 1a_nx(t − τ_n)e^−jφ_n

in cui τ_n è il ritardo dell’n-esimo cammino, a_n il rispettivo guadagno, e φ_n = 2πf₀τ_n la rotazione del associata. Se durante il tempo che intercorre tra l’arrivo della prima replica (ritardata di τ_min) e l’arrivo dell’ultima (ritardata di τ_max) il segnale x(t) non varia di molto (e cioè x(t − τ_min) ≃ x(t − τ_n) ≃ x(t − τ_max)) [1146] [1146] Si consideri che il risultato dell’esempio di pag. 1 valuta i ritardi in gioco dell’ordine di grandezza delle decine di nanosecondi, mentre (ad esempio) ad un segnale x(t) limitato in banda a 10 KHz corrisponde un periodo di campionamento T_c = 50 μsec. il risultato equivale alla moltiplicazione di x(t) per un numero complesso, senza quindi produrre distorsione lineare (vedi § 13.1.2.4). Infatti in tal caso la (21.183) può essere riscritta come

(21.184)
y(t) ≃ x(t) ^N⎲⎳_n = 1a_ne^−jφ_n = x(t) ^N⎲⎳_n = 1a_n(cosφ_n − jsinφ_n) = x(t) ⋅ (X + jY) = x(t) ⋅ ρe^jφ

in cui il valore complesso

X + jY = ρe^jφ = ^N⎲⎳_n = 1a_ncosφ_n − j^N⎲⎳_n = 1a_nsinφ_n

riassume l’effetto delle diverse repliche e costituisce una v.a. gaussiana complessa, in quanto a partire da valori della portante f₀ dell’ordine dell’inverso di 1τ_n, e tanto più per f₀ più elevate [1147] [1147] Se ad esempio i ritardi τ_n sono dell’ordine di 10^− 8, l’ipotesi è valida per f₀ > 100 MHz, quasi ¹⁄₁₀ delle frequenze a cui operano i radiomobili., bastano piccole variazioni di ritardo τ_n per produrre una fase φ_n = 2πf₀τ_n (nota 1145) uniformemente distribuita tra 0 e 2π e del tutto indipendente per le diverse repliche. Pertanto se anche i valori a_n sono realizzazioni di v.a. indipendenti ed equidistribuite, e se i cammini multipli sono in numero elevato, si applica il teorema centrale del limite (§ 6.7.2), e quindi i valori di X ed Y nella (21.184) possono considerarsi realizzazioni di v.a. indipendenti, gaussiane, a media nulla ed uguale varianza σ².

Fading di Rayleigh

Consideriamo ora l’ampiezza |y(t)| del segnale ricevuto, che dalla (21.184) risulta pari a |y(t)| = ρ ⋅ |x(t)|, in cui nelle condizioni descritte ρ = √X² + Y² è una v.a. di Rayleigh (pag. 1) la cui d.d.p. ha espressione

(21.185) p_P(ρ) = ρσ² e^{− ρ²2σ²}

con ρ ≥ 0. Il valore della potenza istantanea ricevuta, legata [1148] [1148] Per semplicità nel seguito consideriamo x(t) a potenza unitaria, in modo che ρ² sia proprio la potenza istantanea ricevuta. a |y(t)|² = ρ²|x(t)|², risulta pertanto variato di una quantità pari a ρ², che è una v.a. esponenziale negativa [1149] [1149] Impostando il cambiamento di variabile s = ρ² si possono applicare le regole viste al § 6.4, individuando la funzione inversa come ρ = √s, la cui dds ρ(s) fornisce 12√s. Pertanto la d.d.p. della nuova v.a. s vale

p_S(s) = p_P(√s) ⋅ dds ρ(s) = √sσ² exp⎛⎜⎝− (√s)²2σ²⎞⎟⎠ ⋅ 12√s = = 12σ² exp⎛⎝− s2σ²⎞⎠

In figura si mostra il processo di costruzione grafica che produce una d.d.p. esponenziale negativa a partire dal quadrato di una d.d.p. di Rayleigh.

, descritta dalla d.d.p. (vedi § 22.2.1)

(21.186) p_E(ρ²) = λe^− λρ² = 12σ² e^{− ρ²2σ²}

dove si è posto in evidenza il valor medio

m_ρ² = E{ρ²} = ¹⁄_λ = 2σ²

margine su piccola scala

In base alla (21.186) è possibile determinare il margine M^ps_dB necessario a contrastare un fading di Rayleigh, qualora si desideri una probabilità di fuori servizio pari a p [1150] [1150] A tal fine osserviamo che il collegamento va fuori servizio quando la potenza ricevuta è inferiore alla sensibilità del ricevitore W_{R_min}, e la probabilità di questo evento si esprime come p = Pr(ρ² < W_{R_min}) = 1 − exp⎛⎝ − W_{R_min}m_ρ²⎞⎠, essendo appunto ρ² una v.a. a d.d.p. esponenziale con media m_ρ² = 2σ², e tenendo conto dell’eq. (26.3) a pag. 1. Al tempo stesso, m_ρ² = E{ρ²} rappresenta la potenza media ricevuta, ovvero lo zero dB di fig. 20.16: esprimendo dunque il margine M (non in dB) come il rapporto tra la potenza media ricevuta e la sensibilità del ricevitore M = m_ρ²W_{R_min}, si ottiene p = 1 − e^− 1M, e quindi − 1M = ln (1 − p) e, passando ai decibel, − 10log₁₀M = 10log₁₀( − ln (1 − p)), da cui la (21.187).:

(21.187)
M^ps_dB = − 10 log₁₀(− ln (1 − p))

il cui andamento è mostrato a lato al variare del grado di servizio.

Qualora trasmettitore, ricevitore ed ambiente siano statici, ρ assume un unico valore casuale distribuito come indicato dalla (21.185).

Figure 20.16 Intensità del segnale con fading di Rayleigh

Se invece (ad es.) il ricevitore è in movimento i cammini multipli si modificano nel tempo, e la figura 20.16 mostra come varia la potenza in dB del segnale ricevuto, relativamente alle condizioni di ricezione medie (ovvero su larga scala, rappresentate dalla condizione di zero dB), per posizioni via via più distanti: si nota chiaramente come la potenza possa diminuire anche di molto, condizione indicata come deep fade.

Frequenza e durata media del fading

Se è presente movimento a velocità costante la fig. 20.16 rappresenta altrettanto bene l’andamento di ^ρ²⁄_{m_ρ²} (dB) in funzione del tempo. In tal caso è interessante valutare per quanto tempo la potenza istantanea ρ² del segnale ricevuto scende sotto la soglia W_{R_min}, e dunque valutare quanti bit, ricadendo in tale

intervallo temporale, saranno soggetti ad una P_e peggiore di quella desiderata. Come osservato alla nota 1150 la probabilità che ρ² sia minore di W_{R_min} vale

(21.188)
p = Pr (ρ² < W_{R_min}) = 1 − exp⎛⎝− W_{R_min}m_ρ²⎞⎠

e la durata media τ_a di questo evento si ottiene dividendo p per il numero medio N_a di affievolimenti per secondo [1151] [1151] Infatti in tal modo la percentuale di tempo p viene spalmata su di un secondo, e suddivisa per il numero (medio) di volte (in un secondo) per cui avviene che ρ² < W_{R_min}. Esempio Se p = 0.1 ed N_a = 5 fading/sec allora τ_a = ^0.1⁄₅ = 0.02, ossia 20 msec, ripartendo i 100 msec (10% di 1 secondo) sui 5 affievolimenti medi., ovvero τ_a = pN_a. D’altra parte, si può mostrare che risulta

(21.189) N_a = √2π f_D α e^− α²

in cui si è posto α² = W_{R_min}m_ρ² = 1M^ps, mentre f_D è la massima deviazione doppler (pag. 1) che come vedremo è direttamente legata alla velocità di movimento: infatti, per velocità maggiori aumenta la frequenza dei fenomeni di fading. Combinando le (21.188) e (21.189) si ottiene pertanto

(21.190)
τ_a = pN_a = 1 − e^− α²√2π f_Dα e^− α² = e^α² − 1√2π f_Dα

il cui andamento normalizzato è rappresentato nella figura 20.18 assieme a quello di N_a, al variare di α ovvero di M^ps_dB = 10 log₁₀ 1α² = − 20 log₁₀ α.

Figure 20.18 Frequenza e durata media del fading di Rayleigh per f_D=1 Hz in funzione di α ovvero di M^ps_dB

Esercizio Valutare la durata media del fading di Rayleigh in presenza di doppler f_D = 20 Hz e di un margine M^ps_dB = 20 dB. Consideriamo quindi errato un bit se durante il suo periodo T_b si verifica un affievolimento che rende la potenza istantanea ricevuta minore di quella media per più di M^ps_dB. In presenza di una modulazione bpsk a velocità f_b = 50 bit/sec, quanti sono in media i bit errati per secondo, e la corrispondente P^bit_e?

Ad un M^ps_dB = 20 dB corrisponde α = 0.1, ed in base alla (21.190) si ottiene τ_a = 2 msec, minore di T_b = ¹⁄₅₀ = 20 msec, e quindi l’intervallo temporale per cui il fading è maggiore del margine, interessa un solo bit. Mediante la (21.189) (con α = 0.1 e f_D = 20 Hz) si ottiene che N_a = 4.96 fading/sec, e dunque in un secondo risultano errati quasi 5 bit su 50, ovvero P^bit_e = ⁵⁄₅₀ = 0.1.

Come evidente, ottenere il margine a partire dal % di fuori servizio (eq. (21.187)), e poi dal margine risalire alla P_e, è un procedimento un po’ contorto. Un’elegante alternativa che non richiede di passare dal margine viene esposta all’appendice 20.5.1.

Fading di Rice

Si verifica nel caso in cui le ampiezze a_n dei diversi percorsi che compaiono nella (21.183) non sono identicamente distribuite, ma ne esiste una (a₀ in figura) che prevale su tutte le altre, come quando l’antenna trasmittente si trova in visibilità (anche parziale) del ricevitore.

In questo caso il canale produce un guadagno aleatorio ρ caratterizzato da una d.d.p. di Rice, espressa dalla eq. (14.104) a pag. 1, essendo la risultante X + Y tipicamente ora vicina al cammino prevalente a₀ e^{− j2πf₀τ₀}. In particolare il rapporto K = ^a²₀⁄_2σ² tra la potenza ^a²₀⁄₂ dell’onda diretta e quella σ² della componente dovuta al multipath prende il nome di fattore di Rice, e nella figura a lato si mostra come in presenza di una forte componente diretta la profondità del fading si riduca sensibilmente.

Effettivamente in corrispondenza di un K elevato il fading di Rice può essere descritto nei termini di un fading su larga scala (§ 20.4.3), come discusso alla nota 20.4.3. Viceversa qualora la ricezione avvenga principalmente in assenza di visibilità i valori del modulo dell’inviluppo complesso del segnale ρ(t) = |y(t)| sono soggetti al fading di Rayleigh precedentemente discusso.

20.4.5 Fading selettivo in frequenza

Individua il caso in cui H(f) non può essere considerata costante, equivalente [1152] [1152] Visto che la causa nota per cui H(f) ≠ cost è l’eccessiva banda del segnale, a ciò corrisponde un maggior contenuto di alte frequenze e dunque una maggiore velocità di variazione temporale. a rimuovere l’ipotesi fatta a pag. 1 e dunque accettare che nell’intervallo temporale Δτ = τ_max − τ_min tra l’arrivo della prima e dell’ultima replica, detto anche dispersione temporale, il segnale possa modificare il suo valore. Per analizzare cosa succede partiamo dalla (21.183) per scrivere l’espressione dell’inviluppo complesso della risposta impulsiva del canale come [1153] [1153] Il cambiamento negli indici della sommatoria è legato a considerare l’origine dei tempi in corrispondenza al primo arrivato dei cammini multipli.

(21.191)
h(t) = ^N− 1⎲⎳_n = 0a_n δ(t − τ_n) e^{− j2πf₀τ_n} = ^N− 1⎲⎳_n = 0Z_n δ(t − τ_n)

in cui si è posto Z_n = a_ne^{− j2πf₀τ_n}. Facciamo quindi l’ipotesi semplificatrice che i ritardi τ_n siano multipli di un comune intervallo T, cioè τ_n = nT, considerando eventualmente nullo qualche valore a_n: in tal modo la (21.191) può essere assimilata all’espressione di un segnale campionato (§ 4.1) h^•(t) = ∑^N− 1_n = 0 Z_nδ(t − nT), interpretando dunque i coefficienti complessi Z_n come campioni di un processo Z(t) [1154] [1154] Si sottintende che T sia minore dell’inverso del doppio della banda di Z(t), ovvero T < ¹⁄_2W., ovvero Z_n = Z(nT) = a_ne^{−j2πf₀nT}. Ciò consente di esprimere la risposta in frequenza equivalente di b.f. del canale come la dtft (vedi § 4.4) della sequenza Z_n, ovvero

(21.192) H(f) = ^N− 1⎲⎳_n = 0Z_ne^−j2πfnT

Notiamo ora che i valori di H(f) in funzione di f sono variabili aleatorie, dipendendo dalle caratteristiche statistiche dei termini Z_n che per i motivi illustrati a pag. 1 sono v.a. complesse, indipendenti ed a valor medio nullo, e quindi (vedi § 7.5.3)

(21.193)
E{Z^*_nZ_n + m} = ⎧⎨⎩ 0 se m ≠ 0 σ²_{a_n} altrimenti

in cui la sequenza di valori σ²_{a_n} = E{a²_n} è indicata nel seguito come...

Dispersione potenza-ritardo [1155] [1155] Libera traduzione del termine power delay spread.

E’ costituita dalla sequenza P_n = E{a²_n} e rappresenta la distribuzione temporale (media) della potenza (o energia) delle repliche del segnale. Infatti, trasmettendo un impulso di energia unitaria δ(t) si ricevono N impulsi di energia E_n = a²_n, ovvero viene ricevuto l’inviluppo complesso h(t) espresso dalla (21.191), la cui energia vale

E_h = ⌠⌡^∞_−∞ h^*(t)h(t)dt = ⎲⎳ a²_n = ⎲⎳ E_n

ed il cui valore atteso rispetto all’aleatorietà degli a_n risulta E{E_h} = ∑ E{a²_n} = ∑ E_n.

Misura della dispersione potenza-ritardo

Può essere portata a termine con tre diverse tecniche, di cui ci si limita ad accennare i principi operativi:

un primo metodo consiste nel trasmettere una portante modulata in ampiezza da impulsi molto brevi, ottenendo dopo demodulazione la convoluzione tra l’impulso usato in trasmissione e l’h(t) del canale: benché questa soluzione sia molto semplice, è affetta sia dal rumore a larga banda che entra nel passa-banda di ricezione, sia dalle interferenze presenti;
una seconda tecnica fa invece uso di una segnale dsss, il cui despreading in ricezione avviene variando di volta in volta la fase della pn: quando questa risulta allineata temporalmente con una delle repliche dovute al multipath a valle del filtro passabasso si rivela un massimo con ampiezza legata ad a_n. In tal modo la sensibilità al rumore viene ridotta dal guadagno di processo, ma la misura richiede il tempo necessario a provare tutte le fasi della pn;
l’ultimo metodo opera nel dominio della frequenza e si basa su diverse frequenze trasmesse una alla volta, la cui ampiezza e fase viene confrontata con quella ricevuta, come illustrato a pag. 1; i campioni della H(f) così ottenuti sono quindi antitrasformati mediante idft, per ottenere i campioni di h(t). Ma per effettuare il confronto, occorre che trasmettitore e ricevitore siano fisicamente vicini, e dunque il metodo è applicabile solo per ambiti indoor.

Una volta pervenuti alla misura della sequenza delle ampiezze a²_n l’operazione è ripetuta più volte spostandosi di poco alla volta [1156] [1156] Tipicamente di ¹⁄₄ della lunghezza d’onda relativa alla portante adottata., ed alla fine i risultati sono mediati tra loro in modo da ottenere una stima di P_n = σ²_{a_n} = E{a²_n}.

Da questa si possono derivare parametri statistici come il ritardo medio

τ = ∑^._n P_nτ_n∑^._n P_n

e la deviazione standard dei ritardi

σ_τ = √τ² − τ²

in cui τ² = ∑_n P_nτ²_n∑_n P_n, mentre la dispersione temporale

Δτ = τ_max − τ_min

Figure 20.20 Profilo di dispersione potenza-ritardo per ambito indoor

è definita con riferimento ad una soglia che permette di distinguere le repliche dal rumore.

La figura 20.20 mostra la curva di dispersione potenza-ritardo misurata per un ambiente al coperto, per il quale sono calcolate τ, σ_τ e Δτ per una soglia di -10 dB. In appendice 20.5.4 sono riportati alcuni valori tipici di questi parametri per diversi contesti ambientali. L’andamento tendenziale rilevato per le P_n misurate suggerisce l’approssimazione della dispersione potenza-ritardo mediante una densità esponenziale:

(21.194)
P(τ) = 1σ_τ exp⎛⎝− τσ_τ⎞⎠ ovvero P_n = 1σ_τ exp⎛⎝− nTσ_τ⎞⎠

Banda di coerenza

Per poter descrivere la H(f) definita dalla (21.192) ma in cui i termini Z_n sono aleatori, impostiamo l’analisi con lo scopo di valutare per quale intervallo Δf si ottengano coppie di valori della risposta in frequenza (H(f), H(f + Δf)) che iniziano a divenire incorrelati, dato che in tal caso un segnale che occupa una banda comparabile a Δf è affetto da distorsione lineare. A tal fine, partendo dalla (21.192) interpretiamo H(f) come un processo ad aleatorietà parametrica (§ 6.3.7) in frequenza, e dunque ne calcoliamo la funzione di autocorrelazione (appunto, in frequenza):

(21.195)
R_H(Δf) = E {H^*(f)H(f + Δf)} = = ^N− 1⎲⎳_n = 0^N− 1⎲⎳_m = 0E{Z^*_nZ_m} e^j2πfnTe^{− j2π(f + Δf)mT} = ^N− 1⎲⎳_n = 0 P_n e^{− j2πΔfnT}

in cui all’ultimo passaggio si è applicata la (21.193) considerando m = n: R_H(Δf) è dunque pari alla trasformata di Fourier di sequenze (§ 4.4) della dispersione potenza-ritardo P_n = σ²_{a_n} = E{a²_n}.

La banda di coerenza B_c è quindi definita come l’intervallo di frequenze Δf entro cui H(f) si mantiene correlata, e può essere fatto corrispondere alla larghezza di banda di R_H(Δf). Pertanto, quanto più la dispersione temporale Δτ (o, più in generale, la deviazione σ_τ) risulta elevata, tanto minore sarà il valore di B_c. Convenzionalmente una sua valutazione approssimata ricade nell’intervallo

(21.196) 150 σ_τ ≤ B_c ≤ 15 σ_τ

Esempio Consideriamo un canale radio in un contesto urbano, caratterizzato da una deviazione standard dei ritardi σ_τ = 5 μsec, e per il quale si assume valida l’approssimazione del profilo di dispersione potenza-ritardo esponenziale (21.194), ovvero P(τ) = 1σ_τ e^{− ^τ⁄_{σ_τ}}. L’applicazione della (21.196) porta ad una stima di B_c compresa tra 4 e 40 KHz.

Dato che [1157] [1157]
F {P(τ)} = ^∞⌠⌡_−∞P(τ)e^−j2πfτdτ = 1σ_τ ^∞⌠⌡₀e^{− τσ_τ}e^−j2πfτdτ = 1σ_τ ^∞⌠⌡₀e^{− ⎛⎝1σ_τ + j2πf⎞⎠τ}dτ = = 1σ_τ − 11σ_τ + j2πf e^{− ⎛⎝1σ_τ + j2πf⎞⎠τ}|^∞₀ = 1σ_τ 11σ_τ + j2πf = 11 + j2πσ_τf
R_H(Δf) = F {P(τ)} = 11 + j2πσ_τΔf, osserviamo che questa ha il massimo nell’origine (vedi fig. 4.28 a pag. 1), ed il suo modulo si dimezza [1158] [1158] Si ha |R_H(Δf)| = 12 se √1 + (2πσ_τΔf)² = 2, dunque 2πσ_τΔf = √3 ovvero Δf = 1.736.28σ_τ = 13.63σ_τ per Δf = 13.63σ_τ: pertanto la scelta B_c = ¹⁄_{5σ_τ} = 40 KHz corrisponde ad una correlazione in frequenza maggiore di 0.5. Lo stesso calcolo mostra che scegliere invece la stima più restrittiva B_c = ¹⁄_{50σ_τ} = 4 KHz corrisponde ad una correlazione |R_H(Δf)| > 0.9 (per l’esattezza, si ottiene |R_H(Δf = ¹⁄_{50σ_τ})| = 0.94).

Ricapitolando

se la banda W del segnale modulato non eccede B_c ci si trova nelle condizioni di fading piatto, mentre se W > B_c le componenti spettrali di x(t) subiscono alterazioni statisticamente indipendenti, i cammini multipli causano un effetto filtrante, si manifesta isi, ed il canale corrispondente viene detto selettivo in frequenza. Approssimando l’occupazione di banda di un segnale numerico modulato come il reciproco del periodo di simbolo W ≃ 1T_s, osserviamo che la condizione di fading piatto W < B_c implica che T_s ≃ 1W > 1B_c > σ_τ, ovvero la deviazione standard dei ritardi è ben inferiore al periodo di simbolo, limitando gli effetti dell’isi.

Conseguenze e rimedi

Dato che la correzione degli effetti di distorsione lineare e isi richiede al ricevitore complesse operazioni di equalizzazione (§ 18.4) si tenta di operare per quanto possibile in condizioni di fading piatto, occupare una banda W < B_c, e limitare di conseguenza la velocità di segnalazione f_s. Un conveniente escamotage è l’adozione di una trasmissione ofdm che suddivide W in tante sotto-bande più piccole, e adotta un T_s > σ_τ. Occupare una banda W > B_c è possibile anche ricorrendo alla modulazione dsss, dato che in tal caso al § 20.5.2 mostreremo come poter evitare uno stadio di equalizzazione classico adottando una speciale architettura di ricevitore detta Rake. L’adozione infine di più antenne in trasmissione e/o ricezione (cap. 21) offre una ulteriore via per rendere i fenomeni di attenuazione selettiva un vantaggio del collegamento.

Dimensione di cella e velocità trasmissiva

Per celle molto grandi la differenza di percorso tra cammini multipli può essere notevole (vedi § 20.5.4), determinando una B_c ridotta, e quindi una bassa velocità di trasmissione. Riducendo la dimensione di cella è possibile aumentare la velocità, dato che le differenze di ritardo si riducono. Pertanto se celle con raggio di chilometri e △τ > 10 μsec possono richiedere equalizzazione anche per trasmissioni a 64 kbps, al contrario comunicazioni indoor con △τ < 1 μsec possono presentare flat fading per velocità dell’ordine del Mbps. Celle di dimensione minima, dette anche picocelle, presentano una dispersione temporale di solo qualche decina di picosecondi, permettendo di operare a molti Mbps anche senza equalizzazione.

20.4.6 Dispersione spettrale e variabilità temporale

Addentriamoci nella descrizione dell’effetto prodotto dal movimento. Finché il ricevitore e gli oggetti riflettenti sono fermi la distribuzione dei ritardi τ_n non varia nel tempo, e la componente di attenuazione supplementare su piccola scala mantiene uno stesso (casuale) valore, sia esso di Rayleigh o di Rice; in tal caso il fading (piatto o selettivo) è costante nel tempo. Viceversa nel caso in cui ci sia movimento [1159] [1159] Del ricevitore, del trasmettitore, o degli oggetti riflettenti. l’inviluppo complesso ricevuto (21.183) si riscrive come

y(t) = ^N⎲⎳_n = 1a_n(t)x(t − τ_n(t)) e^{− j2πf₀τ_n(t)}

evidenziando come ora sia le ampiezze a_n che i ritardi τ_n dipendono dal tempo.

Allo scopo di analizzare le conseguenze di questa non stazionarietà, consideriamo una portante non modulata x(t) = cos2πf₀t, con inviluppo complesso x(t) = 1 [1160] [1160] Come evidente dalla eq. (14.3) a pag. 1, che produce la ricezione di

(21.197)
y(t) = ^N⎲⎳_n = 1a_n(t) e^{−j2πf₀τ_n(t)} = ^N⎲⎳_n = 1a_n(t) e^−jα_n(t)

Si ottengono quindi N diversi segnali modulati sia in ampiezza che angolarmente, anche se è stata trasmessa una sola frequenza. In generale le ampiezze a_n(t) non variano di molto con il movimento, mentre come già osservato sono sufficienti piccole variazioni di τ_n(t) per causarne di grandi per α_n(t) = 2πf₀τ_n(t): ad esempio, con una f₀ = 1 GHz basta la variazione di τ pari ad 1 nsec per produrre una rotazione di 2π.

Esempio

Riprendiamo i dati

ed il modello usati a pag. 1 per ottenere il risultato in figura, relativo ad un mobile che viaggia a 50 Km/h, e che in 100 sec percorre 1.4 Km a partire da una distanza di 1 Km dal trasmettitore, in presenza di una superficie riflettente posta a 100 metri da metà percorso. Il ritardo del cammino riflesso varia da 66 a 27 nsec, con la legge mostrata in figura, dovuta al variare nel tempo dell’angolo di riflessione.

Effetto Doppler

A lato è raffigurato

un mobile che viaggia a velocità costante v ed impiega Δt = ^d⁄_v secondi per spostarsi tra i punti X ed Y distanti d, mentre riceve una portante a frequenza f₀ = ^c⁄_λ dalla sorgente S. La differenza di distanza Δl dalla sorgente nei due punti risulta [1161] [1161] Approssimiamo θ come uguale in X e Y, nell’ipotesi che S sia molto lontana rispetto a d.

Δl = d cosθ = vΔt cosθ

e quindi la differenza di fase nel segnale ricevuto in X e Y vale [1162] [1162] Il rapporto n = ^△l⁄_λ indica quanti periodi di portante entrano in △l, che moltiplicato per 2π fornisce appunto la differenza tra le fasi di arrivo, nulla se n è intero.

(21.198) Δα = 2π Δlλ = 2π vΔtλ cosθ

Pertanto durante il tragitto la frequenza ricevuta differisce da f₀ per una quantità [1163] [1163] La (21.199) si ottiene applicando alla (21.198) la definizione di deviazione di frequenza f_d come differenza f_d(t) = f_i(t) − f₀ in cui la frequenza istantanea f_i è data dalla (14.49) come f_i(t) = f₀ + 12π ddtα(t)

(21.199)
f_d = 12π ΔαΔt = vλ cosθ = cc vλ cosθ = f₀ vc cosθ

denominata scostamento Doppler [1164] [1164] Si tratta dello stesso effetto che produce la variazione del suono della sirena di un mezzo di soccorso, vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Effetto_Doppler.

Dispersione Doppler

Se al posto di una singola sorgente S sono presenti tutti gli N riflettori che danno origine al multipath l’effetto Doppler si verifica per ciascuno di essi, causando la ricezione di N diverse frequenze f_n = f₀ ± fⁿ_d, ognuna aumentata (o diminuita) rispetto alla portante f₀ della frequenza Doppler

(21.200) fⁿ_d = f₀ vc cosθ_n

in cui θ_n è l’angolo tra la direzione del moto e la congiungente con il riflettore [1165] [1165] La stessa analisi è valida anche nel caso di un ricevitore fermo ma con i riflettori in movimento, come per la la riflessione ionosferica: in tal caso l’espressione si scrive come fⁿ_d = f₀v_nccosθ_n, considerando cioè la possibilità che i riflettori abbiano velocità diverse tra loro.. Con i dati dell’esempio precedente (relativo ad un moto con v = 50 Km/h ovvero 13.8 m/sec) e ponendo f₀ = 1 GHz si ottiene una fⁿ_d massima di 46.3 Hz, relativa al caso di θ_n = 0 [1166] [1166] Notiamo che se θ_n = 0 ci stiamo riferendo al caso in cui il moto si realizza lungo la congiungente tra ricevitore e sorgente (o riflettore).; indichiamo con

f_D = max_n{fⁿ_d} = f₀ vc

tale valore. Dato che ogni diverso percorso è caratterizzato da una fⁿ_d compresa tra zero e f_D, il segnale ricevuto contiene frequenze che si discostano da f₀ in più o in meno, entro una deviazione massima pari ad f_D, per questo indicata come dispersione (o spread) Doppler, ed il canale è detto dispersivo in frequenza.

Dispersione spettrale e variabilità temporale

Considerando il mobile raggiunto da infiniti percorsi con direzione di arrivo distribuita uniformemente (condizione di scattering isotropo), si può mostrare [1167] [1167] Notiamo che il risultato è diretta conseguenza della condizione di scattering isotropo: infatti la (21.200) costituisce un processo armonico (pag. 1) quando − π < θ_n < π con d.d.p. uniforme, ed al tempo stesso rappresenta la deviazione della frequenza istantanea f_i rispetto ad f₀ (§ 11.2.2), e dunque si verifica l’effetto

di conversione am-fm descritto al § 12.3.3.3. Se viceversa esistono ad es. due soli cammini, il primo diretto (S) e l’altro riflesso (R) con il mobile nel mezzo, P_y(f) corrisponde a due impulsi in ± f_D. che la densità spettrale ricevuta a partire da una singola portante trasmessa è pari a

(21.201)
P_y(f) = ⎧⎨⎩ P_yπf_D√1 − ⎛⎝ff_D⎞⎠² con |f| ≤ f_D 0 altrove

mostrata a lato, e del tutto simile a quella di pag. 1.

La dispersione Doppler f_D costituisce nella pratica una misura della velocità di variazione del canale [1168] [1168] In questo modo si ottiene una trattazione unificata sia per il caso di un ricevitore mobile in un contesto statico, sia per quello di un ricevitore fermo con riflettori in movimento. In entrambi i casi il doppler spread f_D può essere effettivamente misurato al ricevitore, in presenza di una portante non modulata., come già evidenziato in relazione alla frequenza degli affievolimenti di cui all’eq. (21.189). Infatti l’inviluppo complesso ricevuto y(t) descritto dalla (21.197) è il risultato della somma vettoriale nel piano complesso dei termini a_n(t) e^{−j2πf₀τ_n(t)}, che in virtù dei diversi scostamenti Doppler sono ognuno in rotazione ad una diversa velocità angolare 2πfⁿ_d, tanto maggiore quanto più è grande f_D, che quindi determina la rapidità con cui il risultato y(t) varia nel tempo.

Tempo di coerenza

Dettagliamo meglio il legame tra la dispersione Doppler f_D ed una valutazione quantitativa del tempo per cui il canale può essere considerato stabile, di nuovo ricorrendo a considerazioni di tipo statistico. Calcoliamo a tal fine l’antitrasformata di P_y(f), ovvero l’autocorrelazione R_yy(τ) di y(t), che nel caso della (21.201) fornisce R_yy(τ) = J_o(2πf_Dτ) in cui J₀ è la funzione di Bessel del primo tipo di ordine zero graficata a pag. 1. Sappiamo poi che una correlazione nulla corrisponde a valori non predicibili l’uno dall’altro, e da pag. 1 troviamo che il primo passaggio per zero di R_yy(τ) avviene per τ ≃ 0.4f_D, corrispondente al minimo intervallo di tempo necessario per osservare valori di y(t) incorrelati; viceversa, un intervallo τ sufficientemente più piccolo trova il canale in condizioni pressoché immutate. Definendo allora

(21.202) T_c = 0.1f_D

come tempo di coerenza, osserviamo che una trasmissione con periodo di simbolo T_s ≥ T_c subisce condizioni del canale differenti nell’arco di tempo di un simbolo, ostacolandone la sincronizzazione [1169] [1169] Ciò avviene perché in pratica è come se due simboli consecutivi pervenissero attraverso due differenti canali, e dunque non è possibile eseguire operazioni di media., ed in tal caso il fading viene detto veloce. Se invece T_s ≪ T_c il canale si mantiene in condizioni pressoché stazionarie per tutto il periodo di simbolo, il fading è detto lento, ed il movimento non produce conseguenze sensibili. Utilizzando di nuovo i dati dell’ultimo esempio, ad un doppler spread f_D = 46.3 Hz corrisponde un tempo di coerenza T_c = 21.6 msec.

20.4.7 Tipologia di canale radiomobile

E’ univocamente

determinata dalla tipologia del fading su piccola scala, denominato in base allo schema rappresentato a lato, e che a sua volta dipende dalla natura del messaggio trasmesso, come ora mostriamo.

Condizione di sottodispersione

Notiamo che il verificarsi contemporaneo della

⎧⎨⎩ W < B_c = 0.1σ_τ no dist. lin. T_s < T_c = 0.1f_D stazionario

Condizioni di slow flat fading

assenza di distorsione lineare in quanto W < B_c (fading piatto) e della stazionarietà del canale in quanto T_s < T_c (fading lento) equivale al verificarsi della condizione di canale perfetto (pag. 1). Ciò accade a patto che [1170] [1170] Infatti le due condizioni W < B_c e T_s < T_c possono essere riscritte in base alle (21.196) e (21.202) come Wσ_τ < 0.1 e f_DT_s < 0.1, e moltiplicando queste ultime tra loro si ottiene Wσ_τf_DT_s < 0.01. Ponendo quindi W ≃ ¹⁄_{T_s} (eq. (21.5)) si ottiene la condizione f_D ⋅ σ_τ < 0.01, in cui sostituendo f_D = ^0.1⁄_{T_c} e σ_τ = ^0.1⁄_{B_c} (di nuovo in virtù delle (21.196) e (21.202)) si ottiene la seconda relazione.

(21.203)
f_D ⋅ σ_τ < 0.01 ovvero T_c ⋅ B_c > 1

detta condizione di sottodispersione (underspread). Nella pratica i valori di f_D e σ_τ per i canali in uso nelle telecomunicazioni soddisfano tale condizione.

Classificazione del canale

Come anticipato dipende da come i valori della banda W e del periodo di simbolo T_s del messaggio si relazionano rispetto a banda B_c e tempo T_c di coerenza del canale radio in uso [1171] [1171] Ovvero contesto rurale, urbano, indoor, oltre ovviamente ai fenomeni legati al movimento..

A lato viene raffigurato il piano T_s − W in cui è evidenziato il ramo di iperbole corrispondente alla relazione W ⋅ T_s = 1 [1172] [1172] Come osservato alla nota precedente W ≃ ¹⁄_{T_s}, da cui W ⋅ T_s ≃ 1 assieme ad una coppia di possibili valori per B_c e T_c tali da rispettare [1173] [1173] Trovandosi il prodotto sopra l’iperbole unitaria. la condizione T_c ⋅ B_c > 1. Osserviamo come la (21.203) sia necessaria ma non sufficiente ad individuare un canale perfetto: muovendosi infatti lungo l’iperbole (ovvero variando W e T_s) ci si può comunque trovare in condizioni di canale selettivo in frequenza (in alto a sin.) qualora divenga W > B_c, oppure (in basso a destra) in condizioni di variabilità temporale quando diventa T_s > T_c.

Esempio Dato un canale con assegnati T_c e B_c, determinare la massima velocità per una trasmissione qpsk con impulso a coseno rialzato e γ = 1, in modo da evitare l’uso di un equalizzatore. Affrontiamo l’analisi fissando la banda occupata B = f_s(1 + γ) pari a B_c, da cui si ottiene una f_b = f_s ⋅ 2 = ^B_c⁄₂ ⋅ 2 = B_c. In tal caso T_s = ¹⁄_{f_s} = ²⁄_{B_c}, e se il canale verifica la condizione di sottodispersione (21.203) si ottiene anche T_s < T_c, ovvero il canale può essere ritenuto stazionario per la durata di un simbolo.

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