In questa tecnica di modulazione la stessa banda di frequenze è utilizzata contemporaneamente da più trasmissioni differenti, che non interferiscono tra loro grazie all’uso di forme d’onda mutuamente ortogonali; ciò avviene adottando una opportuna trasformazione del messaggio da trasmettere, in modo che questo occupi una banda molto maggiore di quella originaria, e sulla manipolazione inversa in ricezione. Il peculiare aumento della banda occupata è indicato con il termine di spread spectrum [873]   [873] To spread = spalmare, vedi ad es. lo spread butter., e la tecnica di trasmissione risultante prende anche il nome di multiplazione a divisione di codice o cdm (code division multiplex).

La trasformazione che produce l’espansione spettrale si basa sull’utilizzo di una sequenza cosiddetta pseudo-noise o pn (§ 16.9.3), ovvero le cui caratteristiche statistiche si avvicinano a quelle di un rumore stazionario bianco e cioè a valori incorrelati, tranne che questi non sono casuali ma deterministici, in modo che la loro ripetizione ciclica rende la sequenza pn riproducibile dal lato ricevente. La fig. 16.46-a) mostra una parte di un possibile segnale dati p(t) pseudo casuale, bipolare, di durata L ⋅ T_p, la cui espressione può essere posta nella forma con θ v.a. uniforme tra ± ^T_p⁄₂, basata sulla ripetizione di impulsi nrz bipolari g(t) = rect_Tp(t) di durata T_p con polarità stabilita dagli L valori a_k, scelti pari a ±1 in modo da avvicinarsi alle condizioni [874]   [874] Data la sequenza deterministica a_k = {a₀, a₁, ⋯a_L − 1} di lunghezza L, media e varianza sono definiti come

                 m_A = 1L ∑^L− 1_k = 0 a_k,                     σ²_A = 1L ∑^L− 1_k = 0 (a_k − m_A)²

mentre l’autocorrelazione tra coppie di elementi a distanza n è definita da

                 R_a(n) = 1L − n ∑^{L − n− 1}_k = 0 a_ka_k + n

Considerando invece la sequenza periodica ottenuta ripetendo gli a_k, possiamo definire la stessa grandezza come

                 R_a(n) = 1L ∑^L− 1_k = 0 a_ka_{(k + n)  mod  L}

detta anche autocorrelazione ciclica.

Al § 7.7.4 abbiamo mostrato che un segnale simile a p(t) ed espresso dalla (21.70), nel caso in cui gli a_k siano v.a. indipendenti a media nulla, presenta uno spettro di densità di potenza [875]   [875] Avendo scelto g(t) =  rect_Tp(t), risulta G(f) = T_p sinc(fT_p) e quindi

                                                         E_G = |G(f)|² = T²_p sinc²(fT_p)

che diventa la (21.71) dato che σ²_A = 1.

rappresentato in fig. 16.46-b), e per il quale la frequenza W_p = 1T_p ne approssima l’occupazione di banda: prendiamo dunque questo risultato come una accettabile approssimazione per p(t). Dalla (21.71) consegue che l’autocorrelazione di p(t) si esprime come [876]   [876] Applicando il teorema di Wiener si ottiene (vedi tabella a pag. 1)

                                 R_p(τ) = F ⁻¹{ P_p(f)} = F ⁻¹{T_p sinc²(fT_p)} = tri_2Tp(τ)

mostrata in fig. 16.46-c), e che appunto si azzera per τ ≥ T_p. Sebbene le sequenze pseudo-noise utilizzate realmente (§ 16.9.3) non aderiscano esattamente a queste caratteristiche, vi si avvicinano in modo soddisfacente per gli scopi delle telecomunicazioni.

L’estensione temporale T_p di un simbolo di p(t) è indicata come periodo di chip [877]   [877] Oltre che indicare un circuito integrato, la parola chip è la stessa usata per le patine fritte olandesi, e prima ancora per scheggia, frammento o truciolo., e ci si riferisce ai suoi simboli come chip, per distinguerli dai bit; pertanto, la frequenza f_p = W_p = ¹⁄_Tp è detta chip rate.

Ottiene l’espansione spettrale eseguendo il prodotto x̃(t) = x(t) pn(t) tra un segnale di banda base x(t) e la ripetizione ciclica del segnale pn  pn(t) = ∑^∞_{i = −∞} p(t − iLT_p), con il risultato di effettuare una modulazione am-bld-ps; l’operazione nel suo insieme prende il nome di Direct Sequence Spread Spectrum (o dsss).

E’ il termine adottato per indicare il rapporto tra la banda del segnale allargato e quella del segnale di partenza. Il processing gain varia tipicamente tra 10 e 10000 volte, ossia tra 10 e 40 dB, e come vedremo rappresenta una misura del miglioramento dell’snr nel caso di presenza di segnali interferenti.

Proseguiamo l’analisi considerando lo schema di ricevitore schematizzato in fig. 16.49, nella cui parte sinistra è mostrato il segnale modulato ricevuto x_m(t) = x̃(t) cosω₀t con potenza [881]   [881] x̃(t) cos(ω₀t + φ) con φ v.a. a d.d.p. uniforme può essere considerato come il prodotto di due processi statisticamente indipendenti, la cui potenza è il prodotto delle potenze, vedi § 7.5.3 P_R = 12 P_x, a cui si sovrappone un disturbo gaussiano n(t) (od un interferente a banda stretta z(t)). Entrambi (segnale e disturbo) attraversano quindi il filtro passabanda di ricezione, caratterizzato da una banda di rumore B_R ≫ W_p ≫ W_x in quanto deve lasciar passare l’intero spettro allargato, compresi i suoi lobi laterali.

La componente in fase (dopo demodulazione omodina) del rumore bianco n(t) con densità di potenza P_n(f) = ^N₀⁄₂ ha densità P_nc(f) = N₀rect_BR(f) (vedi § 14.1.3) e dunque autocorrelazione Allo scopo di valutare la densità di potenza P_ñc(f) del rumore ñ_c(t) dopo despreading, con l’aiuto della figura a lato osserviamo che l’autocorrelazione di ñ_c(t) è pari a R_ñc(τ) = R_nc(τ) R_p(τ), e che R_nc(τ) ≃ 0 con |τ| ≫ 1B_R ≪ 1W_p, mentre R_p(τ) ≃ 1 con |τ| ≪ T_p = 1W_p: pertanto possiamo scrivere R_ñc(τ) ≃ R_nc(τ) e quindi La componente di rumore n_d(t) in uscita dall’ultimo passa basso con banda ≃ W_x ha pertanto una potenza N_d ≃ 2N₀W_x, permettendo di valutare il rapporto segnale-rumore dopo demodulazione come ossia proprio pari all’SNR di sistema (pag. 1), mostrando come la concatenazione delle operazioni di spreading e despreading non alteri le prestazioni del processo di modulazione nei confronti del rumore bianco.

Mostriamo che se il termine di disturbo additivo z(t) occupa una banda relativamente stretta in rapporto a B_R,  allora la sua potenza dopo demodulazione risulterà ridotta di un fattore pari al guadagno di processo ^W_p⁄_Wx. Come caso limite consideriamo un tono interferente sinusoidale z(t) (o jammer) centrato a frequenza f₀ + f_z ossia con potenza P_z = P_j. Dopo demodulazione si ottiene z_c(t) = √2 P_j cosω_zt e Moltiplicando quindi il tono interferente demodulato z_c(t) per pn(t) come necessario per il despreading, si ottiene un disturbo z̃_c(t) con densità di potenza P_z̃c(f) = P_zc(f) * P_p(f), mostrata alla riga centrale di fig. 16.51 [882]   [882] Il risultato si ottiene tenendo conto delle eq. (21.71) e (21.74), effettuando la convoluzione, e ricordando che T_p = ¹⁄_Wp., permettendo di apprezzare l’effetto di allargamento subito dal tono interferente. Notiamo ora che la massima interferenza si ottiene quando |f_z| ≪ W_p, al limite pari a zero, come mostrato all’ultima riga della figura in scala espansa per il caso limite di f_z = 0. Pertanto il limite superiore della potenza interferente uscente dal passa basso con banda W_x è e dunque il rapporto segnale-interferente diviene

che rappresenta un miglioramento esattamente pari al guadagno di processo G_p, eq. (21.73).

Una frequente applicazione della tecnica spread spectrum è quella di permettere la comunicazione contemporanea di una pluralità di soggetti, possibile qualora ognuno di essi adotti una diversa sequenza pn: tale approccio prende il nome di cdma (Code Division Multiple Access). Mostriamo ora che con questo approccio ogni comunicazione subisce (a causa delle altre) solo un modesto innalzamento del rumore di fondo, tanto più piccolo quanto minore è il valore della intercorrelazione tra i codici pn utilizzati. Indichiamo con z(t) il termine interferente (dopo demodulazione) dovuto alla presenza di N diversi utenti, ognuno con un diverso codice pn_i(t) e segnale dati x_i(t), che può essere scritto come in cui A_i, τ_i e cosθ_i sono rispettivamente ampiezza, ritardo di simbolo e fase della portante relativi all’i-esimo utente. Assumendo ora eguali tra loro le ampiezze del segnale utile x(t) e degli interferenti, dopo il despreading otteniamo Se realizziamo ora il filtro passa basso di fig. 16.49 come un integratore esteso ad un periodo di bit, ovvero un filtro adattato al segnale nrz [883]   [883] Eventualmente realizzato come descritto a pag. 1, supponendo inoltre che sia verificata la condizione di sincronizzazione temporale., il valore della sua uscita campionata al termine della durata del k-esimo periodo di bit risulta in cui z_d(kT_b) rappresenta il termine di interferenza complessiva da parte di tutti gli altri N utenti, indicata come interferenza multiutente o mui (multi-user interference). Dato che i valori di x_i possono essere ±1, l’integrale calcola in effetti l’intercorrelazione R_p0pi(τ_i) (§ 7.1.4) tra la sequenza pn usata per la propria trasmissione e le sequenze pn usate dagli altri, calcolata per un ritardo τ_i. Pertanto, scegliendo la famiglia di sequenze pseudo-noise in modo che esibiscano una intercorrelazione molto ridotta (in teoria nulla, se le pn fossero esattamente ortogonali), l’effetto degli interferenti si riduce in egual misura.

Qualora un utente di un sistema cdma sia sensibilmente più lontano dal ricevitore rispetto agli altri, se tutti trasmettono con la stessa potenza l’attenuazione subìta dal segnale dell’utente lontano fa si che il termine mui aumenti di importanza, anche in presenza di intercorrelazione bassa, causando un importante degrado della qualità della trasmissione. Questo fenomeno è indicato come effetto near-far. Per ovviare al problema un sistema cdma viene usualmente corredato di un meccanismo di controllo di potenza, espletato dalla stazione radio base [884]   [884] Ossia l’antenna con cui tutti telefonini nella medesima cella sono in comunicazione., che misurando la potenza ricevuta da ciascun utente, ne richiede la diminuzione ai vicini e/o l’aumento ai lontani, in modo da ricevere la medesima potenza da ciascuno di essi.

Consideriamo il caso in cui le trasmissioni cdma di K diversi utenti siano tutte ricevute con la medesima potenza P_x, e le sequenze pn utilizzate da ciascuno di essi abbiano una intercorrelazione nulla. Allora, per una generica trasmissione la potenza interferente P_nd risulta ridotta rispetto a quella effettivamente ricevuta di una quantità pari al guadagno di processo, e quindi il rapporto segnale-interferenza (indicato come sir) risulta circa pari a [885]   [885] In tal caso infatti i K − 1 interferenti sono assimilabili ad un rumore gaussiano (in virtù del teorema centrale del limite) con potenza complessiva (K − 1) P_x e limitato in banda alla stessa banda W_p del segnale utile. Dopo il despreading la densità spettrale interferente ^N_0I⁄₂ si allarga su di una banda G_pW_p, e si riduce di ampiezza dello stesso fattore G_p. Pertanto il filtro passa basso a valle del despreading lascia passare una potenza interferente pari a (K − 1)^P_x⁄_Gp. Dato che le pn effettivamente utilizzate non presentano intercorrelazione nulla, il risultato mostrato costituisce una approssimazione limite rispetto alla quale valutare la qualità delle prestazioni effettivamente ottenute. Nel caso di trasmissione a due livelli la prob. di errore (21.40) minima (a causa degli interferenti) diviene quindi Infine, per tener conto allo stesso tempo sia dell’effetto degli interferenti che del rumore gaussiano comunque presente, può essere usato il rapporto segnale-rumore più interferente (o sinr) definito come ossia pari al parallelo degli snr, come discusso a pag. 1.

Accenniamo brevemente ad alcune tipologie di sequenze pseudo noise.

Una prima possibilità è quella delle sequenze-m, o di massima lunghezza, ottenute mediante dei registri a scorrimento controreazionati [886]   [886] Vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Linear-feedback_shift_register con m ritardi, simili a quelli discussi a proposito del crc (pag. 1) ma con la struttura mostrata in figura, in cui non è presente nessun ingresso esterno ed il bit che rientra è calcolato in base all’or esclusivo di una combinazione di bit di stato. Dato che con m bit si ottengono 2^m configurazioni dello stato, ma che quella tutti zeri arresterebbe il processo di generazione, le sequenze di massima lunghezza [887]   [887] In quanto in linea di principio il periodo della sequenza può essere inferiore al massimo. sono composte da L = 2^m − 1 bit (ognuno dei quali corrisponde ad una diversa configurazione dello stato) che si ripetono ciclicamente, e sono ottenute per particolari scelte [888]   [888] Anche in questo caso come al § 15.6.3.3 la posizione degli xor può essere associata ad un polinomio generatore, e per produrre una sequenza di massima lunghezza occorre scegliere un polinomio primitivo, vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_polynomial_(field_theory). A parità di m, cambiando polinomio si ottengono sequenze differenti ma di uguale lunghezza, ed il loro numero massimo N aumenta all’aumentare di m con legge N = ^{(2m − 2)}⁄_m. di quali bit far partecipare alla controreazione.

Le sequenze di Gold si ottengono eseguendo l’or esclusivo bit a bit di due diverse [891]   [891] La coppia di sequenze-m non è qualsiasi, ma scelta tra quelle con una intercorrelazione massima ridotta, chiamate sequenze preferite. sequenze-m a e b di uguale lunghezza L; ripetendo il procedimento per tutti i 2^m − 1 possibili scorrimenti temporali di b rispetto ad a, ed includendo a, si ottengono 2^m diverse sequenze, con una intercorrelazione massima pari a √²⁄_L. Una soluzione lievemente diversa è quella di Kasami, in cui una delle due sequenze-m di partenza viene decimata ciclicamente, e che produce 2^m⁄₂ sequenze, con intercorrelazione massima pari a 1 √L.

Si tratta di sequenze ortogonali, ovvero per le quali risulta ∑^L− 1_k = 0 a_kb_k = 0, ossia a e b sono sequenze incorrelate qualora allineate, e che sono generate mediante l’algoritmo iterativo schematizzato alla figura che segue, che individua un numero di L = 2^m sequenze, di lunghezza L.

Presentano valori di autocorrelazione (non ciclica)   R_a(n) = 1L ∑^{L − 1 − |n|}_m = 0 a_mb_m + |n|

con valori R_a(0) = 1 e |R_a(n)| ≤ ¹⁄_L per 1 ≤ n < L, e come le sequenze-m esibiscono buone proprietà rispetto al bilanciamento ed alle corse. L’aspetto negativo è che la massima lunghezza di sequenza conosciuta è L = 13, e con questa lunghezza, ne esiste solo una! Nonostante ciò, sono utilizzate ad esempio nei sistemi di accesso WiFi.

Si tratta di una diversa tecnica spread spectrum, in cui la sequenza pn è di tipo multilivello, ed è utilizzata in uno schema l-fsk incoerente (§ 16.5) per cambiare in continuazione la frequenza portante a cui avviene la trasmissione, tipicamente fsk anch’essa (vedi figura 16.56), da cui il nome di saltando di frequenza (traduzione letterale di Frequency Hopping). Per una corretta ricezione, è necessaria una accurata sincronizzazione temporale tra la pn usata in trasmissione e quella in ricezione.