Come anticipato fin dal § 1.2.2 un canale numerico è in realtà una astrazione che ingloba internamente un codificatore di linea o modem che, a partire da una sequenza numerica, produce un segnale trasmissibile su di un canale analogico, che a sua volta può essere caratterizzato da un valore di capacità, espresso nei termini dei parametri che descrivono la trasmissione analogica soggiacente.

Una situazione tipica è quella raffigurata a lato, in cui al segnale ricevuto è sommato un rumore n(t) gaussiano, bianco e a media nulla, mentre il filtro di ricezione H_R(f) impone una limitazione di banda 2B, in modo che la potenza di rumore in ingresso al decisore vale P_n = σ²_n = N₀B. Tale situazione viene indicata come canale awgn (additive white gaussian noise) limitato in banda.

Indicando con p(x), p(y), p(x ⁄ y), p(y ⁄ x) le d.d.p. marginali e condizionali che descrivono un campione dei processi di ingresso x(t) ed uscita y(t), entrambi limitati in banda ± B, l’applicazione formale della (21.88) al caso continuo porta a scrivere l’espressione dell’informazione mutua media come che è una misura assoluta [932]   [932] Per il fatto di avere una ddp di y sia a numeratore che a denominatore del logaritmo, la (21.96) non soffre dei problemi discussi alla nota 477 a pag. 1. del trasferimento di informazione per campione di uscita. Il massimo valore di (21.96) al variare di p_X(x) consente anche questa volta di definire la capacità di canale per campione C_s = max_p(x) I(X, Y); in virtù della limitazione di banda, i campioni prelevati ad una frequenza di campionamento f_c = 2B risultano indipendenti tra loro (vedi § 7.2.4), cosicché la capacità di canale risulta definita come Riscrivendo la (21.96) nella forma si ottiene una espressione analoga alla (21.89) ma i cui termini sono ora da intendersi come entropia differenziale, definita al § 9.3.1. Osserviamo ora che il termine di noise entropy dipende esclusivamente dal rumore additivo, in quanto y(t) = x(t) + n(t) e quindi p_Y(y ⁄ x) = p_N(x + n): infatti p_Y(y ⁄ x) altro non è che la gaussiana del rumore, a cui si somma un valor medio fornito dal campione di x; quindi h(Y ⁄ X) si riduce all’entropia differenziale di un processo gaussiano (10.235), che non dipende dal valor medio, ma solo dall’andamento di p_N(n); pertanto come risulta per l’entropia differenziale di sorgenti gaussiane (10.235). Quindi ora il termine della (21.98) che deve essere massimizzato rispetto a p(x) è solo il primo, ossia h(Y), che come sappiamo, è massimo se y(t) è gaussiano. Dato che il processo ricevuto y(t) è composto da due termini x(t) + n(t) di cui il secondo è già gaussiano, si ottiene y(t) gaussiano a condizione che anche x(t) sia gaussiano. Indicando con σ²_x la potenza di quest’ultimo, ed in virtù della indipendenza statistica tra x(t) e n(t), risulta σ²_y = σ²_x + σ²_n, e quindi cosicché mettendo assieme (21.98), (21.99) e (21.100), la (21.97) si riscrive come che è proprio il risultato tanto spesso citato, che prende il nome di legge di Shannon-Hartley [933]   [933] http://en.wikipedia.org/wiki/Shannon-Hartley_theorem e che esprime la capacità di canale per un canale additivo gaussiano. Tenendo conto che P_n = σ²_n = N₀B e che P_x è la potenza del segnale ricevuto P_s, riscriviamo l’espressione della capacità nella sua forma più nota: che, associata al teorema fondamentale della codifica espresso al § 17.2, stabilisce il massimo tasso informativo trasmissibile senza errori su di un canale awgn limitato in banda come R ≤ B ⋅ log₂(1 + ^P_s⁄_N0B). Discutiamo ora delle conseguenze di questo risultato.

Una volta noto il massimo tasso di informazione R < C che il canale può trasportare senza errori, come fare per evitare, appunto, questi ultimi? Il metodo suggerito da Shannon, anziché introdurre ridondanza come avviene per le tecniche di codifica di canale classiche, effettua invece la trasmissione semplicemente ripartendo l’informazione in blocchi codificati mediante simboli di durata elevata. In pratica, si tratta di realizzare una sorta di trasmissione multilivello (vedi § 15.1.2.4) come mostrato alla figura 17.6 dove l’informazione generata ad una velocità R bit/secondo viene trasmessa mediante simboli emessi con periodo T_s secondi, ognuno dei quali rappresenta un gruppo di M = RT_s bit, e dunque occorrono L = 2^M simboli diversi.

In realtà uno schema di trasmissione numerica che approssima piuttosto bene quello ideale discusso al § precedente esiste veramente, ed è quello esposto al § 16.5.1 ed denominato fsk ortogonale, in cui le forme d’onda di fig. 17.6 sono sinusoidali: il grafico delle sue prestazioni a pag. 1 mostra infatti come, aumentando L, lo stesso valore di ^E_b⁄_N0 permetta di conseguire valori di P_e via via più piccoli. Lo stesso grafico mostra però l’esistenza di un valore limite sotto cui ^E_b⁄_N0 non può scendere, dovendo comunque risultare Ciò deriva dall’occupazione di banda via via crescente necessaria all’fsk qualora L aumenti: considerando che la capacità di canale per B → ∞ fornita dalla (21.103) vale C_∞ = P_sN₀ ln 2, e che deve risultare R ≤ C, risulta allora ln2 =  P_sN₀C_∞ ≤ P_sN₀R = E_bN₀, ovvero la (21.102).

Il valore limite (21.102) trae origine da una conseguenza della (21.101) già fatta notare al § 15.4.7, ovvero la possibilità di risparmiare potenza aumentando l’occupazione di banda (o viceversa), dato che in entrambi i casi a ciò corrisponde un aumento di C. Ma ciò non avviene all’infinto, ovvero non si può oltrepassare un valore massimo di capacità! Infatti se nella (21.101) si aumenta B il filtro di ricezione si allarga, e dunque aumenta la potenza di rumore, e l’effetto finale è che per un canale con banda infinita non si ottiene una capacità infinita, bensì il valore che individua anche il limite assoluto al massimo tasso informativo R trasmissibile. In figura è mostrato l’andamento effettivo della (21.101) in funzione di B, per alcuni valori di P_sN₀ di esempio, mentre la dimostrazione della (21.103) è riportata alla nota [935]   [935] La (21.103) si ottiene riscrivendo la (21.101) nella forma

C = P_sN₀ P_sN₀B ⋅ ln ⎛⎝1 +  P_sN₀B⎞⎠ln2 =  P_sN₀ln2 ⋅ ln (1 + λ)λ

in cui ln è il logaritmo naturale in base e, e si è posto P_sN₀B = λ. Ricordando ora lo sviluppo di Maclaurin f(x) = f(0) + ∑^∞_n = 1⎛⎝ ∂ⁿf(x)∂xⁿ||_x = 0 ⋅ xⁿn!⎞⎠ e che ddxln x = 1x, il termine ln (1 + λ) può essere espanso in serie di potenze come ln (1 + λ) = λ − 12λ² + 13λ³ + ⋯; notando infine che per B → ∞ si ha λ → 0, e che lim_λ → 0ln (1 + λ)λ = 1, si giunge in definitiva al risultato (21.103)..

Una volta assegnato il tasso informativo R ≤ C della sorgente e la banda B del canale, partendo dalla (21.101) si può ottenere [936]   [936] Riscrivendo la (21.101) come 2^CB − 1 =  P_sN₀B, moltiplicando ambo i membri per BR, e semplificando il risultato, si ottiene BR(2^CB − 1) =  P_sN₀R. L’uguaglianza individua la circostanza limite in cui R = C, mentre se nell’esponente di 2 a primo membro sostituiamo C con R, e R ≤ C, il primo membro diviene più piccolo, e pertanto BR(2^RB − 1) ≤  P_sN₀R. Infine, notiamo che P_sN₀R = E_bN₀, da cui il risultato mostrato (21.104). una relazione che esprime il valore di E_bN₀ necessario a conseguire una trasmissione senza errori (nel caso ideale): e che, espressa in dB, è graficata alla figura a lato, in cui l’area grigia indica i valori di E_bN₀ vietati, ossia per i quali è impossibile ottenere una trasmissione senza errori.

E’ possibile svolgere una verifica sperimentale della relazione (21.104) prendendo in considerazione le tecniche di modulazione numerica discusse ai capitoli precedenti, e che consentono di variare l’occupazione di banda B per trasmettere ad una data velocità R = f_b, ad esempio riducendone il rapporto ^B⁄_R come nelle trasmissione multilivello [937]   [937] Vedi ad es. il caso di banda base al § 15.4.9 o quello del qam al § 16.3.1., oppure aumentandolo, come nel caso dell’fsk. In questi casi il valore di E_bN₀ necessario a conseguire una determinata prestazione (P_e) varia in funzione del rapporto ^B⁄_R, e dunque può essere messo a confronto con i valori minimi di E_bN₀ previsti dalla (21.104), come avviene nella figura 17.9 che mostra i valori di ^E_b⁄_N0 in funzione di ^B⁄_R per le tecniche di modulazione numerica qam (§ 16.3.1) e fsk ortogonale (pag. 1). Per tracciare la figura si sono ricavati i valori di ^E_b⁄_N0 necessari a ciascun metodo per ottenere una P_e pari a 10^− 5 per diversi valori di L, e messi in relazione con l’occupazione spettrale associata B(L) rapportata alla velocità f_b, ossia in relazione all’efficienza spettrale ρ (pag. 1) dei metodi.