15.4 Probabilità di errore per trasmissioni di banda base

Fin qui abbiamo trascurato di prendere in considerazione gli effetti del rumore additivo, a cui si è accennato al § 15.1.1, e che provoca la ricezione di un segnale x(t) = r(t) + n(t). Al segnale utile r(t) risulta dunque sovrapposto un diverso segnale n(t) indicato come disturbo o rumore (noise  [747]   [747] Vedi il § 8.4.2.1 per una descrizione della sua natura fisica.), membro di un processo ergodico (vedi § 6.3), con densità di probabilità del primo ordine gaussiana (vedi § 6.2.4) a media nulla, e spettro di densità di potenza bianco, ossia costante in frequenza.

15.4.1 Banda di ricezione e dinamica del rumore

Allo scopo di limitare la potenza del rumore alla minima possibile il ricevitore vero e proprio è preceduto da un filtro passa-basso ideale [750]   [750] Al § 15.5 si descrive un diverso modo di progettare H_R(f), in modo da minimizzare la probabilità di errore anziché la potenza di rumore, e che di fatto realizza un filtro adattato, descritto al § 7.6. Come vedremo al § 15.5, nel caso di un impulso a banda minima i due approcci portano al medesimo risultato. con risposta in frequenza H_R(f) limitata in una banda ± B_N (detta banda di rumore, vedi § 14.1.2), in modo da lasciar passare per intero le componenti frequenziali del segnale r(t) e limitare la banda del rumore ν(t) in uscita da H_R(f) al minimo. Il rumore filtrato ν(t) è anch’esso un processo gaussiano ergodico (vedi nota 383 a pag. 1) a media nulla, la cui potenza vale [751]   [751] Per i dettagli relativi al filtraggio di processi, ci si può riferire al § 7.4.

P_ν = ^∞⌠⌡_−∞P_N(f)|H_R(f)|²df = ^B_N⌠⌡_− BNN₀2 df = N₀B_N

In virtù della ergodicità di ν(t) il valore di P_ν

eguaglia quello del momento di secondo ordine m⁽²⁾_ν = E{(ν)²} di una v.a. ν ottenuta campionando una sua qualsiasi realizzazione; dato inoltre che n(t) e dunque ν sono a media nulla, si ha [752]   [752] vedi eq. (10.119) a pag. 1 m⁽²⁾_ν = σ²_ν e quindi P_ν individua anche la dinamica dei valori della v.a. di rumore sovrapposta ai valori di segnale, come esemplificato in figura.

15.4.2 Dinamica del segnale e decisione a massima verosimiglianza

Agli istanti t = kT_s = k ⁄ f_s multipli del periodo di simbolo T_s il decisore acquisisce il valore di segnale più rumore x(kT_s) =  (r(t) + ν(t))|_t = kTs ed anziché ritrovare il valore a[k] = a_i(k) del simbolo trasmesso, osserva la realizzazione di una v.a. gaussiana x̆ = x(kT_s) con valor medio a_i(k) e varianza σ²_ν = N₀B_N, essendo ν(t) a media nulla. Per stabilire quale valore a_i sia stato (più probabilmente) associato al simbolo k − esimo il ricevitore effettua quindi una decisione di massima verosimiglianza (o ml, vedi § 6.6.2.1) confrontando tra loro le densità di probabilità condizionate alle diverse ipotesi che sia stato trasmesso uno tra i simboli a_i:

(21.8) P_X ⁄ ai(x̆) = 1√2πσ_ν e^{− (x̆ − a_i)22σ2_ν}

e scegliendo per l’^a_i tale che P_{X ⁄ ^ai}(x̆) è la più grande, ossia

^a_i = argmax_ai{P_X ⁄ ai(x̆)}

Il criterio di massima verosimiglianza equivale pertanto (vedi figura) a definire L − 1 soglie di decisione λ_i, i = 1, 2, .., L − 1 poste a metà tra i valori a_i ed a_i + 1 [753]   [753] La proprietà di equidistanza delle soglie dal valore di simboli deriva dalla simmetria pari della d.d.p. gaussiana rispetto al suo valor medio: in generale, le soglie sono poste in modo da rendere eguali le probabilità di falso allarme e di perdita, vedi § 6.6.1., e decidere per il valore a_i se il segnale ricevuto x̆ cade all’interno dell’intervallo compreso tra λ_i − 1 e λ_i ( [754]   [754] Chiaramente, tutti i valori x minori di λ₁ provocano la decisione a favore di a₁, e quelli maggiori di λ_L − 1 indicano la probabile trasmissione di a_L.), dato che (con riferimento alla notazione in figura) ciò corrisponde ad imporre

α = P_X ⁄ ai(x̆) > β = P_{X ⁄ ai + 1}(x̆) > γ = P_{X ⁄ ai − 1}(x̆)

15.4.3 Probabilità dell’errore gaussiano

A seguito dell’applicazione del criterio di massima verosimiglianza il decisore commette errore quando, a fronte della trasmissione di un simbolo a_i, il campione di rumore filtrato ν(kT_s) assume un valore abbastanza elevato da far oltrepassare a x̆ una soglia di decisione, ovvero qualora |ν(kT_s)| > δ in cui δ è la metà dell’intervallo tra due soglie e cioè δ = |λ_i − a_i| = Δ2(L − 1). La probabilità di questo errore si dice condizionata alla trasmissione di a_i e vale  

(21.9) P_e ⁄ ai = 2 ^∞⌠⌡_λi 1√2πσ_ν e^{− (x − a_i)22σ2_ν}dx = P_δ

che chiameremo P_δ,

e che rappresenta (vedi figura) la somma delle aree tratteggiate.

15.4.4 Parametri di sistema e di trasmissione

• si adotti un impulso di Nyquist a coseno rialzato con roll-off γ;
• i valori dei simboli a[k] siano statisticamente indipendenti, equiprobabili, a media nulla e distribuiti uniformemente su L livelli con dinamica a_L − a₁ = Δ;

15.4.5 Probabilità di errore per simbolo

Non resta ora che inserire la (21.13) nella espressione di P_δ (eq. 21.10), ricordare che σ²_ν = P_ν, e tenere conto della (21.16), in modo da ottenere la probabilità di decidere per un simbolo a_j diverso da quello trasmesso [758]   [758]  Per completezza sviluppiamo i passaggi, piuttosto banali anche se non ovvi:

    P_e = ⎛⎝1 − 1L⎞⎠ P_δ = ⎛⎝1 − 1L⎞⎠erfc⎧⎩Δ2√2σ_ν(L − 1)⎫⎭ = ⎛⎝1 − 1L⎞⎠erfc⎧⎩√12 L − 1L + 1  P_R(1 − ^γ⁄₄)12√2 P_ν(L − 1)⎫⎭ = 

          = ⎛⎝1 − 1L⎞⎠erfc⎧⎩2√3 L − 1L + 1 1(1 − ^γ⁄₄)12√2√ P_RP_ν 1(L − 1)⎫⎭ = ⎛⎝1 − 1L⎞⎠erfc{√32 L − 1L + 1 1(L − 1)² 1(1 − ^γ⁄₄) SNR} = 

          = ⎛⎝1 − 1L⎞⎠erfc{√32 1L² − 11(1 − ^γ⁄₄)E_bN₀ 2log₂L1 + γ} = ⎛⎝1 − 1L⎞⎠erfc{√E_bN₀ 3log₂L(L² − 1)(1 + γ)⎛⎝1 − γ4⎞⎠}

:

(21.17)
P^simb_e = ⎛⎝1 − 1L⎞⎠ erfc⎧⎨⎩√E_bN₀ 3log₂L(L² − 1)(1 + γ)⎛⎝1 − γ4⎞⎠⎫⎬⎭

Figure 15.31 Andamento di P_e vs. ^E_b⁄_N0

la cui dipendenza da E_bN₀ (espresso in dB, vedi § 8.1) è graficata alla Fig 15.31 per tre condizioni operative.

• perché P_e peggiora se aumento i livelli? Risposta ( [760]   [760] Perché a parità di P_R gli intervalli di decisione sono più ravvicinati, le “code” della gaussiana sottendono un’area maggiore, e questo peggioramento prevale sul miglioramento legato alla diminuzione di σ_ν conseguente alla riduzione della banda di rumore.).
• perché P_e peggiora se aumento γ? Risposta ( [761]   [761] Perché occorre aumentare la banda del filtro di ricezione e dunque far entrare più rumore. D’altra parte questo peggioramento è compensato dalla riduzione dell’ISI.).

15.4.6 Relazione con il filtro adattato

15.4.7 Compromesso banda - potenza

15.4.8 Diagramma ad occhio in presenza di rumore

Si tratta dello stesso tipo di grafico già descritto a pag. 1, e che ora ci aiuta a valutare in modo visivo la qualità di una trasmissione numerica. In fig. 15.32 sono riportati i grafici per un segnale dati a 4 livelli, in presenza di due diversi valori per la potenza di rumore: notiamo che al peggiorare del rapporto E_bN₀ da 20 a 10 dB la zona priva di traiettorie (l’occhio) riduce la sua estensione verticale (tende a chiudersi). Con un tale approccio la qualità di un segnale numerico può essere valutata in modo approssimato, qualora si disponga di un oscilloscopio, esaminando il grado di apertura dell’occhio.

Figure 15.32 Diagramma ad occhio con E_b ⁄ N₀ pari a 20 e 10 dB, γ = .7, L = 4

15.4.9 Valutazione della probabilità di errore per bit

La probabilità di errore P^simb_e (21.17) si riferisce all’evento di decidere per la ricezione del simbolo a_i quando invece ne è stato trasmesso un altro, mentre ora intendiamo valutare la probabilità che sia errato un qualunque bit presente nel flusso a velocità f_b,

ricostruito dopo la serializzazione (vedi figura a lato) della codifica binaria associata al simbolo a_i emesso dal decisore.

15.4.9.1 Codice di Gray

Per illustrare il problema di cui questo codice è soluzione, riprendiamo in esame la fig. 15.9-a) dove si mostra un segnale dati multilivello con L = 4 per il quale i valori a_i sono associati a coppie di bit b₁b₀ che sono la semplice codifica binaria dell’indice i corrispondente, ovvero i = b₁2¹ + b₀2⁰: ciò significa che i valori a_i possono essere prodotti da un semplice convertitore D/A (pag. 1)

alimentato da una parola di M bit b_M − 1…b₁b₀ per una trasmissione ad L = 2^M livelli, come mostrato a lato per M = 3.

Prendiamo quindi in esame la situazione (per M = 3) mostrata a lato, e consideriamo ad esempio di trasmettere il livello a₄ a cui è associata la codifica 100, e che il decisore a causa del rumore commetta l’errore di ritenere di aver ricevuto il livello a₃, associato alla sequenza 011: in tal caso avremmo sbagliato tutti e tre i bit!

Per evitare di osservare un numero di bit errati che dipende dal simbolo trasmesso e dal segno del rumore, la conversione D/A viene fatta precedere

da una riscrittura della parola di M bit attuata consultando una tabella dove è memorizzato il codice di Gray.

Figure 15.38 Co-decodifica di linea per un segnale dati multilivello a coseno riazato e codifica di Gray

15.4.9.2 Probabilità di errore per bit

Alla luce dell’evidente vantaggio di ottenere un solo bit errato per ogni simbolo errato il codice di Gray discusso al § precedente viene adottato in modo sistematico, e la (21.20) può essere letta “l’evento di errore sul bit si verifica quando il simbolo a cui appartiene è errato, e il bit è quello errato, ovvero Pr{bit errato} = Pr{simbolo errato} ⋅ Pr{bit errato/simbolo errato} = P^simb_e ⋅ 1log₂L” . L’espressione (21.17) della P_e per bit nel caso si adotti una codifica di Gray diviene quindi

(21.21)
P^bit_e = 1log₂L ⎛⎝1 − 1L⎞⎠ erfc⎧⎨⎩√E_bN₀ 3log₂L(L² − 1)(1 + γ)⎛⎝1 − γ4⎞⎠⎫⎬⎭

Le curve in fig. 15.39 mostrano il valore di P^bit_e così determinato, per γ = 0, in funzione di E_bN₀ espresso in dB, per diversi valori di L.

Figure 15.39 Probabilità di errore sul bit per trasmissione multilivello a banda minima e con codifica di Gray

Valori di γ ≠ 0 equivalgono ad un peggioramento [763]   [763] Infatti con γ > 0 l’argomento di erfc{.} si riduce. Ma non di molto: per γ = 1 il peggioramento risulta di 1.76 dB. per E_bN₀|_dB pari a 10 log₁₀ (1 + γ)⎛⎝1 − γ4⎞⎠, o detto in altri termini, conseguono la stessa P^bit_e del caso γ = 0, a patto di incrementare E_bN₀|_dB della stessa quantità [764]   [764] Una volta scelto un valore per L è individuta la curva da usare in fig. 15.39, ed una volta imposta una P_e sulle ordinate l’E_bN₀|_dB necessario a conseguire tale P_e con γ = 0 si ottiene sulle ascisse seguendo la curva. Aumentando γ l’argomento di erfc{.} nella 21.21 si riduce, e ciò equivale a spostarsi verso sinistra sull’asse delle ascisse della stessa quantità di dB, a cui corrisponde (seguendo la curva) un aumento della P_e. Per ristabilire la P_e desiderata non resta quindi altro da fare che aumentare E_bN₀|_dB dello stesso numero di dB..

• in base a B e f_b si può determinare il valore di L mediante la (21.5), nell’ipotesi di adottare γ = 0;
• in base alle curve di fig. 15.39 ed al valore di L individuato, si determinano i valori di ^E_b⁄_N0 (in dB) necessari per ottenere la P^bit_e;
• noto il livello di rumore N₀, si determina E_b;
• note le esigenze di precisione nella temporizzazione, si impone un valore del roll-off γ, e conseguentemente si aumenta il valore di E_b;
• si determina la minima potenza che è necessario ricevere, come W_Rmin = E_b ⋅ f_b.

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