Qualora si desideri che l’ampiezza del segnale modulato si mantenga strettamente costante si può adottare la tecnica di modulazione fsk (Frequency Shift Keying), che associa ad ogni simbolo a_k ottenuto raggruppando M bit, uno tra 2^M = L possibili valori (o livelli) di frequenza f_k, da sommare a quello della portante in accordo all’espressione in cui ogni elemento della sequenza f_k assume uno tra gli L valori {0, 1, 2, …, L − 1}. Si tratta in altri termini di una portante la cui frequenza nominale f₀ è alterata di una quantità Δ ⋅ f_k Hz per un intervallo temporale pari al periodo di simbolo T_s, in cui Δ rappresenta ora la spaziatura (uniforme) tra le frequenze associate agli L livelli. Pertanto l’espressione può essere riscritta come

Il risultato è senza dubbio ad ampiezza costante; se T_s ≫ 1f₀ si può adottare uno schema di mo-demodulazione basato su di un vco ed un pll (vedi § 12.2.2.2 e 12.3.2.1) riportato (per L = 2) in figura 16.29, in cui all’uscita del passa basso ritroviamo il segnale modulante.

Nel caso in cui si realizzi la condizione Δ = l⁄2Ts con l intero, le diverse frequenze f0 + Δfk sono ortogonali [846]   [846]  La discussione al riguardo è sviluppata al § 16.12.1, definendo anche le condizioni di demodulazione incoerente e coerente, ovvero se le portanti generate in ricezione cos[2π(f0 + Δfk)t + φk] presentino o meno una fase φk casuale rispetto a quella trasmessa. In particolare, la spaziatura Δ multipla di 12Ts garantisce ortogonalità solo nel caso di modulazione coerente, mentre nel caso incoerente occorre una spaziatura doppia, ossia Δ multiplo di 1Ts., e può essere adottato un demodulatore a correlazione (vedi § 7.6.2), realizzato mediante un banco di correlatori ed una decisione di massimo (fig. 16.30), in cui l’n − esimo correlatore esegue dove f0 + mΔ rappresenta la frequenza (incognita) in arrivo, mentre f0 + nΔ è una delle frequenze possibili, con n ∈ {0, 1, 2, …, L − 1}. Essendo tali frequenze tra loro ortogonali [847]   [847] La condizione di ortogonalità tra le forme d’onda associate ai diversi simboli corrisponde alla intercorrelazione nulla tra le forme d’onda in un periodo (§ 7.1.4), ed infatti scegliendo opportunamente Δ ed f0 (vedi § 16.12.1) l’integrale (21.53) vale Rnm = ⎧⎨⎩ .5 ⋅ Ts   se n = m     0    altrimenti . Ciò si dimostra (ricordando che cos2α = 12 + 12 cos2α), notando che per m = n l’uscita del correlatore vale 12 ∫Ts0(1 + cos(4π(f0 + mΔ)t))dt, e scegliendo opportunamente f0 e Δ (vedi § 16.12.1), il coseno che viene integrato descrive un numero intero di periodi all’interno dell’intervallo (0, Ts), fornendo quindi un contributo nullo. Se invece n ≠ m la funzione integranda non contiene il termine costante, ma di nuovo in virtù di § 16.12.1, contiene solo termini a media nulla. entro l’intervallo di integrazione, al termine del calcolo una sola delle uscite sarà diversa da zero. Come discusso al § 7.6 in presenza di rumore l’uscita di ogni correlatore diviene una v.a. con varianza N02 EG, corrompendo l’ortogonalità tra simboli, e dunque si rende necessaria l’operazione di confronto per realizzare una decisione di massima verosimiglianza (§ 6.6.2.1). Indicando infatti con rn,  n = 0, 1⋯, L − 1 la grandezza prodotta dal campionatore n − esimo, e con r = [r0, r1, ⋯rL − 1] il vettore aleatorio L − dimensionale corrispondente, la scelta del maggiore tra gli rn corrisponde a scegliere l’ipotesi fn̂ che rende massima la p(r ⁄ fn̂) [848]   [848] Infatti il vettore r ha una d.d.p. condizionata p(r ⁄ fn) gaussiana multidimensionale a componenti indipendenti, e dunque (vedi § 6.5.1) si fattorizza nel prodotto di L gaussiane monodimensionali con uguale varianza e media nulla, tranne per la componente n = m relativa all’ipotesi realmente occorsa, che presenta una media non nulla. Pertanto per ogni possibile ipotesi fn la p(r ⁄ fn) è concentrata sulla n − esima componente, e dunque decidere per n̂ = argmaxn{rn} equivale a scegliere n̂ = argmaxn{p(r ⁄ fn)}..

In generale, se ogni diversa f_k è equiprobabile l’fsk ha una densità spettrale del tipo [849]   [849] Difatti la (21.52) può essere riscritta come la somma di L segnali x_k(t), uno per ogni possibile valore di f_k, costituiti da un codice di linea rz che modula la corrispondente f₀ + Δf_k, a cui corrisponde dunque un tono intermittente. Essendo i simboli indipendenti e (in virtù della portante) a media nulla, la (10.195) di pag. 1 si riduce alla nota forma P_Xk(f) = σ²_AT_s|G_k(f)|² in cui G_k(f) = F {g_k(t)} e g_k(t) = cos[2π(f₀ + Δf_k)t]rect_Ts(t); applicando ora il risultato di fig. 3.14 a pag. 1 si ottiene la densità di potenza mostrata in fig. 16.31. mostrato alla figura 16.31. Se L≫1, l’occupazione di banda complessiva risulta quindi (circa) uguale a L ⋅ Δ. Nel caso di modulazione coerente (vedi nota 846) la minima spaziatura è di Δ = 12T_s = f_s2, e dunque nel caso di L elevato la minima banda occupata può essere approssimata come mentre per quanto riguarda l’efficienza spettrale si ottiene ossia L2 volte peggiore dell’l-ask (pag. 1). Ma: se l’efficienza spettrale è così bassa, che vantaggi ci sono ad usare l’fsk? ... a sua difesa, portiamo i seguenti argomenti:

può essere demodulato con lo schema a pll rappresentato in fig. 16.29, di facile realizzazione ed economico: ad esempio, veniva usato per salvare su compact cassette audio i dati degli home computer degli anni ’70 [850]   [850] tipo: Sinclair Spectrum, Commodore Vic20 e 64 ... Come noto, le cassette audio soffrono di variazioni di velocità di trascinamento del nastro (wow & flutter), ma il pll non ne risente.

l’efficienza spettrale è quasi ρ_BFSK =  2L log₂L||_L = 2 = 1, come per il caso del bpsk [851]   [851] Tranne che, essendo ora presenti solo 2 frequenze, l’approssimazione (21.54) non è più corretta. In particolare, con riferimento alla fig. 16.31, è tanto meno corretta quanto più f_s è elevata, che corrisponde ad oscillazioni del sinc² più estese in frequenza.. Al contrario, al crescere di L l’efficienza spettrale diviene sempre peggiore.

Si può dimostrare che l’uso dello schema di fig. 16.30 e di portanti di demodulazione ortogonali e coerenti [852]   [852] Ovvero qualora siano soddisfatte le condizioni per f₀ e Δ valutate al § 16.12.1 per il caso di demodulazione coerente, e si verifichi la sincronizzazione tra le forme d’onda in ingresso ai correlatori del banco. permette di ottenere una che deve essere valutata per via numerica, e che può essere resa piccola a piacere, nei limiti previsti dalla teoria dell’informazione [853]   [853] Ovvero tenendo conto che (vedi § 17.2) f_b non può superare la capacità di canale (eq. (21.101)), che a sua volta non può superare il limite C_∞ espresso dalla (21.103)., semplicemente aumentando L [854]   [854] Vedi la discussione seguente per una motivazione informale di questo comportamento. (e dunque T_s). La figura a lato mostra i valori della (21.55) in funzione di E_b ⁄ N₀ per diversi valori di L, e illustra come all’aumentare di quest’ultimo sia necessaria sempre minor potenza per ottenere la stessa P_e, a patto che risulti che rappresenta il valore noto come limite di Shannon-Hartley, ricavato a pag. 1.

Osserviamo innanzitutto che il ricevitore a correlazione commette errore quando il rumore sovrapposto al segnale di ingresso è casualmente “simile” ad una delle cosinusoidi utilizzate per la trasmissione. In tal caso, l’uscita dell’integratore relativo alla frequenza “simile” può superare quella relativa alla frequenza trasmessa, e corrotta dal medesimo rumore. All’aumentare di L (per f_b fisso) aumenta il periodo di simbolo T_s = log₂ Lf_b e quindi diventa sempre più “difficile” per il rumore emulare “bene” una della frequenze di segnalazione, e quindi si riduce la probabilità di errore. La nota 934 a pag. 1 propone una interpretazione analitica di questo fenomeno.