Riprendiamo il calcolo della P_y(f) per un segnale y(t) = G[x(t) + αx²(t) + βx³(t)] qualora x(t) sia membro di un processo stazionario gaussiano a media nulla e potenza P_x. A tale scopo occorre prima determinare R_y(τ) = E{y(t)y(t + τ)}, e quindi eseguirne la trasformata di Fourier. Sulla base di un risultato di teoria [449]   [449] Noto come teorema di Isserlis, vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Isserlis'_theorem. che asserisce che per una coppia di v.a. (x₁, x₂) estratte da un processo gaussiano a media nulla risulta che E{xⁱ₁x^j₂} = 0 se i + j è dispari, possiamo scrivere in cui si è indicato per brevità x₁ = x(t) e x₂ = x(t + τ), a media nulla e covarianza Σ_x =  ⎡⎢⎣ P_x R_x(τ) R_x(τ) P_x ⎤⎥⎦ . A riguardo della (10.213), riconosciamo subito E{x₁x₂} come la R_x(τ) in ingresso, mentre per gli altri momenti misti ci si avvale di un corollario al precedente risultato [450]   [450] Vedi https://math.stackexchange.com/questions/957351/proving-isserlis-theorem-for-n-4 per la dimostrazione del caso di quarto ordine., valido per una gaussiana multivariata, che asserisce: in cui la somma è estesa a tutte le possibili permutazioni non equivalenti di (1, 2..., n)  [451]   [451] Le permutazioni si definiscono equivalenti se accoppiano con ordine diverso o in posizione diversa le stesse v.a.. Ad esempio, per quattro v.a. si ha

E{x₁ ⋅ x₂ ⋅ x₃ ⋅ x₄} = E{x₁ ⋅ x₂} ⋅ E{x₃ ⋅ x₄} + E{x₁ ⋅ x₃} ⋅ E{x₂ ⋅ x₄} + E{x₁ ⋅ x₄} ⋅ E{x₂ ⋅ x₃}

mentre per un momento di ordine 6 si ottengono 15 termini. Se il momento misto coinvolge un numero di v.a. inferiore al suo ordine, come per le (10.215), le permutazioni intendono indicare la posizione di ogni v.a., e non il suo pedice.

. In base a ciò, sviluppiamo i termini che compaiono nella (10.213), e dopo semplici ma laboriosi passaggi otteniamo in cui si è sostituito (per la stazionarietà) E{x²₁} = E{x²₂} con P_x, e E{x₁x₂} = E{x₂x₁} con R_x(τ). Sostituendo le (10.215) nella (10.213) possiamo ora scrivere da cui finalmente otteniamo la P_y(f) = F {R_y(τ)} come somma di quattro termini P₀(f) + P_I(f) + P_II(f) + P_III(f), in cui Il termine P₀(f) rappresenta un contributo in continua presente in y(t) (ma non in x(t)) e di ampiezza GαP_x, mentre P_I(f) individua una amplificazione di x(t) di un fattore pari a G√1 + 6βP_x + 9β² P²_x, e costituisce il segnale utile. Viceversa, i termini P_II(f) e P_III(f) esprimono i termini di distorsione causati dall’elemento non lineare, e sono discussi ai §§ 8.3 e 13.3.