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8.4 Disturbi additivi

Il termine di errore ε(t) = y(t) − ax(t − τ) tra l’effettivo segnale ricevuto e quello prodotto dalla componente perfetta (pag. 1) del canale [439]   [439] La valutazione della potenza Pu della componente perfetta in uscita dal canale trasmissivo viene affrontata nella seconda parte del testo, applicando alla potenza Px del segnale in ingresso al canale le relazioni di trasferimento energetico discusse al capitolo 18 e dipendenti dalla tipologia del mezzo trasmissivo, come descritto al capitolo 19. è dovuto, oltre alle cause di distorsione esposte fin qui, anche ad ulteriori fonti di disturbo additivo indicate per questo con il termine di rumore o disturbo, come ad esempio il rumore termico
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(§ 8.4.2), il disturbo di natura interferente (pag. 1), od il rumore di quantizzazione (§ 4.3.1.1) - anche se quest’ultimo è più propriamente un fenomeno di tipo non lineare. Le diverse fonti di disturbo vengono generalmente analizzate in forma separata e indipendente, e per ognuna di esse è definito un valore di SNRi = Pu⁄Pεi dovuto solamente a quella fonte. Vediamo ora come combinare assieme tali parametri di qualità.

8.4.1 Valutazione dell’SNR dovuto a diverse fonti di disturbo

Per giungere ad una espressione per l’SNRT complessivo consideriamo lo schema della figura a lato, in cui il segnale utile u(t) è affetto da diverse cause di disturbo
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εi(t) indipendenti tra loro ed a media nulla, per ognuna delle quali è noto il valore dell’SNRi associato.
L’ipotesi di indipendenza statistica permette di affermare che la potenza di errore complessiva è la somma [440]   [440] Infatti al § 7.5.2 si mostra come il risultato della somma di processi indipendenti ed a media nulla abbia potenza pari alla somma delle potenze. di quella dei singoli contributi, ossia
PεT = E{(∑iεi)2} = ∑i E{ε2i} = ∑i Pεi
e dunque l’effetto di tutti i disturbi contemporaneamente attivi determina un SNR complessivo pari a SNRT = Pu⁄∑Ni = 1 Pεi; considerando ora che la potenza dei singoli contributi di rumore può essere espressa come Pεi = Pu⁄SNRi, si ottiene
SNRT = Pu PuN⎲⎳i = 11SNRi = 1N⎲⎳i = 11SNRi
Questo risultato ricorda quello della impedenza equivalente a più impedenze poste in parallelo, il che porta a descrivere l’SNR complessivo come il parallelo degli SNR. Una applicazione di questo risultato viene esposta ai § 18.3.1 e § 18.3.2, che descrivono rispettivamente le prestazioni dei ripetitori trasparenti o rigenerativi nei confronti del rumore.

8.4.2 Rumore gaussiano

Molto spesso si assume che la somma dei contributi di rumore additivo possa essere assimilata ad un processo gaussiano (§ 6.5.3), e ciò consente di sviluppare i calcoli sfruttando le sue ben studiate proprietà. In alcuni casi si tratta solo di una approssimazione, ma se il disturbo additivo è il risultato di una somma elevata di cause indipendenti ed identicamente distribuite (i.i.d.), come in presenza di molti interferenti simili, il teorema centrale del limite (§ 6.7.2) assicura una buona aderenza alla realtà. Un caso particolare di disturbo additivo dovuto a molteplici cause i.i.d. prende il nome di rumore termico, che alla gaussianità aggiunge la proprietà di esibire una densità di potenza bianca, come ora andiamo ad approfondire.

8.4.2.1 Rumore termico nei bipoli passivi

Ai capi di un resistore R a temperatura T è presente una tensione a vuoto n(t), realizzazione di un processo gaussiano a media nulla, e che è l’effetto del moto caotico degli elettroni all’interno della resistenza [441]   [441] Possiamo pensare che gli elettroni, qualora si trovino in maggior misura in una metà della resistenza, producano una differenza di potenziale negativa in quella direzione. Allo zero assoluto (- 273 oC) il moto caotico degli elettroni cessa, e si annulla così la tensione di rumore. Di qui l’aggettivo termico per descrivere il fenomeno.. Lo spettro di densità di potenza della tensione a vuoto ha espressione [442]   [442] Si tratta di una forma della legge di Plank, vedi
https://en.wikipedia.org/wiki/Johnson-Nyquist_noise
Pn(f) = 2R ℏf eℏfkT − 1 ≃ 2kTR     [ Volt2]
in cui k = 1.38 ⋅ 10 − 23 Joule/K è la costante di Boltzmann ed ℏ = 6.62 ⋅ 10 − 34 Joule ⋅ sec è la costante di Plank: questi valori fanno sì che alla temperatura ambiente T = T0 =  290 °K (pari a 17 °C) l’approssimazione Pn(f) ≃ 2kTR sia valida ad ogni frequenza di interesse [443]   [443] Espandendo ex = 1 + x + x2 2 + x3 3! + ⋯ si ottiene che per x≪1 risulta ex ≃ 1 + x, e quindi eℏf kT ≃ 1 + ℏf kT. Inoltre per T = T0 = 290  °K si ottiene ℏf kT = 1.65 ⋅ 10 − 13 ⋅ f, e almeno finché f < 50 GHz si ottiene ℏf kT < 0.01 e dunque Pn(f) = 2Rℏf 1 + ℏf kT − 1 = 2Rℏf ⋅ kT ℏf = 2kTR., ossia fino a qualche decina di GHz. Da questo punto di vista quindi il processo di rumore termico è bianco, ovvero costante a tutte le frequenze di interesse.
In un bipolo passivo di impedenza (§ 18.1.1) Z(f) = R(f) + jX(f) solamente la parte reale R(f) (componente resistiva) concorre a generare il processo di rumore termico, che pertanto possiede una densità di potenza di segnale, o a vuoto, Pn(f) ≃ 2KTR(f).
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Nel caso in cui il bipolo contenga più resistori a temperature diverse, si può definire una temperatura equivalente Te; un bipolo passivo equivale pertanto allo stesso bipolo non rumoroso (a temperatura zero), con in serie un generatore di rumore con densità di potenza Pn(f) ≃ 2kTeR(f), come mostrato in figura. Notiamo ora che, in virtù dei conti che portano ad esprimere la parte reale dell’impedenza equivalente in funzione anche dei componenti reattivi presenti nel circuito, R(f) risulta dipendere dalla frequenza, e quindi la densità di potenza Pn(f) può descrivere non più uno spettro bianco, bensì colorato.

8.4.2.2 Rumore termico di un generatore di segnale

Dal punto di vista di un ricevitore il segnale uscente dal canale appare provenire da una sorgente equivalente [444]   [444] Ovvero rappresentativa delle stadio di uscita del dispositivo o mezzo, a cui è connesso lo stadio di ingresso del ricevitore. L’argomento viene approfondito al cap. 18., in cui è presente un generatore di segnale (a vuoto) vg(t) ⇔ Vg(f)
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in serie ad una impedenza interna Zg(f) che si trova alla temperatura del generatore Tg. Come abbiamo visto, a sua volta Zg(f) presenta ai sui capi una tensione di rumore (a vuoto) ng(f), e dunque il generatore sovrappone al suo proprio segnale anche quello di rumore.
Potenza disponibile
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Al § 18.1.1.3 si mostra che se il generatore con densità di potenza di segnale Pg(f) è chiuso su di un carico adattato [445]   [445] Come sarà illustrato al § 18.1.1, si parla di carico adattato quando il suo valore determina un effetto desiderato, come il massimo trasferimento di potenza in questo caso, o l’assenza di distorsione lineare qualora Zc(f) = αZg(f). Zc(f) = Z * g(f) la potenza Wdg(f) assorbita [446]   [446] Mentre la potenza di segnale (o a vuoto) è il quadrato di una tensione, quella assorbita dal carico è misurata in Watt, e per questo viene d’ora in poi indicata con W. dal carico sarà la massima possibile e per questo denominata potenza disponibile del generatore, pari a
Wdg(f) = Pg(f) 4Rg(f) [ Watt]
Anche il generatore di rumore (che condivide con quello di segnale la medesima impedenza interna Zg(f)) cede al carico la propria potenza (di rumore) disponibile
Wdn(f) = Pn(f) 4Rg(f) = 2kTRg(f) 4Rg(f) = 12 kTg ⎡⎣ Watt Hz⎤⎦
Notiamo quindi che la densità di potenza disponibile del rumore è tornata ad avere uno spettro bianco!
SNR di un generatore
Nel caso in cui Tg = T0 = 290 Kelvin (pari a 17oCelsius) il termine 1 2 kT g è universalmente indicato con la notazione Wdn(f) = 12 kT0 = 12 N0, e poiché il ricevitore si considera sempre adattato, il segnale emesso dal generatore presenta un SNR intrinseco  [447]   [447] Notiamo che lo stesso valore di SNRg è esprimibile anche come rapporto tra le potenze di segnale anziché disponibili: infatti
SNRg(f) = Pg(f) 4Rg(f) ⋅ 1 1 2 kTg = Pg(f) 2kTgRg(f) = Pg(f) Pn(f)
pari a
(10.212) SNRg(f) = Wdg(f) 12 kT 0
Inoltre se Tg = T0 il valore assunto da kT0 può essere precalcolato, ed espresso in unità logaritmiche, fornendo 10log10(1.38 ⋅ 10 − 23 ⋅ 290) ≃ − 204 dBW Hz; in virtù delle regole di conversione introdotte a pag. 1 otteniamo per esso anche i valori seguenti, da utilizzare nelle formule di progetto del cap. 19:
kT0    =    - 204 [dBW/Hz]    =    - 174 [dBm/Hz]    =    - 114 [dBm/MHz]
Esempio  All’uscita di un filtro passa-banda ideale non rumoroso [448]   [448] Si intende dire che il filtro non introduce altro rumore oltre a quello di natura termica. Al § 18.2 sarà illustrato come mediante il fattore di rumore FdB si possa tenere conto dal rumore introdotto da una o più reti due porte in cascata, sia di tipo passivo come nei collegamenti radio o su rame, sia di tipo attivo come per amplificatori e mixer. di estensione B = 1
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MHz si riscontra una potenza disponibile di rumore Wdn = 4 ⋅ 10 − 3 picoWatt.   Infatti Wdn = Wdn(f) ⋅ 2B = kT0 ⋅ B ovvero WdBmdn =  -114 [dBm/MHz]  +  0 [dBMHz]  =  -114 dBm e dunque
Wdn = 10 − 114⁄10 = 10 − 11.4 = 3.98 ⋅ 10 − 12 ≃ 4 ⋅ 10 − 12 mW
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