In termini generali, un sistema è un dispositivo che opera su uno o più segnali di ingresso, od eccitazione, e produce uno o più segnali di uscita, o risposta. Il sistema può essere di natura elettrica, circuitale od elettronica, ma nulla impedisce che sia costituito da componenti meccaniche, pneumatiche, termiche, o di altra natura fisica, ed in generale i segnali di ingresso ed uscita saranno della stessa natura, anche se più spesso sono convertiti in segnali elettrici mediante appositi trasduttori e/o sensori. La relazione tra le grandezze di ingresso e quelle di uscita possono essere di tipo algebrico, o descritte da equazioni differenziali, ed è spesso rappresentata mediante un dominio trasformato (approfondiremo nel testo cosa ciò significa). I sistemi per telecomunicazioni rientrano in generale nella categoria dei filtri, ovvero sono lineari, permanenti, causali e stabili, terminologia che ora approfondiamo. La figura a lato mostra la rappresentazione di un sistema mediante uno schema simbolico che semplicemente individua i segnali di ingresso e di uscita, senza porre attenzione alla reale natura del sistema stesso.

Un sistema è detto lineare se, in presenza di una combinazione lineare di ingressi, l’uscita è la combinazione lineare delle uscite, detta anche legge di sovrapposizione degli effetti, ovvero: ed al § 2.4.4.3 vedremo come in questo caso l’insieme {T [.]} di tutte le possibili trasformazioni possa essere descritto come uno spazio vettoriale, ed il suo funzionamento equiparato a quello del calcolo di un prodotto scalare.

Al § 3.4.2 scopriremo che per un sistema lineare e permanente il legame T [x(t)] = y(t) tra le coppie di segnali di ingresso e di uscita è espresso dall’integrale di convoluzione in cui la risposta impulsiva h(t) caratterizza completamente il sistema nei termini dell’uscita che corrisponde ad un ingresso impulsivo x(t) = δ(t). Alla convoluzione si associa il concetto di filtraggio del segnale, che verifichiamo essere un operatore lineare in virtù della distributività dell’integrale, e permanente in quanto h(t) dipende solo dal tempo trascorso dalla applicazione del segnale [45]   [45] In realtà nulla vieta ad un filtro di modificare la propria risposta impulsiva nel tempo, ma in tal caso in uscita compaiono componenti frequenziali non presenti in ingresso, e viene dunque persa la linearità..

Notiamo che un sistema descritto da una risposta impulsiva h(t) con estensione temporale non nulla è detto con memoria, in quanto i singoli valori di uscita dipendono da tutti i valori di ingresso pescati [46]   [46] Qualcuno, non a torto, mi ha scritto chiedendo se non intendessi dire pesati. No, ho scritto così immaginando come se la risposta impulsiva fosse una sorta di rete a strascico che pesca i valori di ingresso passati. Effettivamente questo concetto diviene chiaro solo a seguito della costruzione grafica riportata alla sezione citata e che illustra l’operazione di convoluzione, di cui si raccomanda la comprensione. dalla risposta impulsiva, vedi § 3.4.3.

Un sistema è detto idealmente realizzabile se h(t) è reale, nel senso che può essere realizzato un vero dispositivo con quella h(t).

Questa proprietà viene anche indicata come causalità, poiché descrive l’impossibilità di osservare una uscita prima di aver applicato un qualunque ingresso. Una definizione alternativa asserisce che i valori di uscita y(t) ad un istante t = t₀ non possono dipendere da valori di ingresso x(t) per istanti futuri t > t₀. Ciò è automaticamente verificato se h(t) = 0 con t < 0, ovvero se la risposta impulsiva è causale. Osserveremo (nota 738 a pag. 1) come sistemi realizzabili idealmente ma non fisicamente possano essere approssimati da sistemi realizzabili, accettando un ritardo dell’uscita.

E’ definita come la proprietà di fornire uscite di ampiezza limitata per segnali di ingresso limitati, ed equivale alla condizione ∫|h(t)|dt < ∞, ovvero che h(t) sia un segnale impulsivo. Una tale circostanza garantisce l’esistenza della trasformata di Fourier di h(t), detta risposta in frequenza H(f), e definita per  −∞ < f < ∞.

Se un sistema, oltre che stabile, è anche idealmente realizzabile (cioè h(t) è reale), allora per la risposta in frequenza sussiste la condizione di simmetria coniugata H(f) = H^*(−f), e dunque è sufficiente conoscere la parte a frequenze positive indicata con H⁺(f), dato che quella a frequenze negative è ottenibile mediante una operazione di coniugazione. Questo fatto permette di misurare modulo e fase di H(f) = M(f)e ^jφ(f), che prende il nome di risposta in frequenza, utilizzando come ingresso una funzione sinusoidale x(t) = Acos(2πf₀t + θ) con ampiezza A e fase θ note, come illustrato a pag. 1.

Alcune discipline come ad es. i controlli automatici devono tener conto di fenomeni di instabilità, e del fatto che i sistemi su cui operano possono trovarsi in particolari condizioni iniziali; a tal fine ricorrono ad una rappresentazione nota come spazio di stato in cui si tiene esplicitamente conto della evoluzione dello stato interno del sistema. Dato che i sistemi di interesse per le telecomunicazioni si assumono privi di un particolare stato interno precedente l’applicazione di un segnale al loro ingresso, non approfondiremo un tale approccio.

Corrisponde ad un legame ingresso-uscita senza memoria [47]   [47] Un operatore si dice senza memoria quando ogni valore dell’uscita dipende da un unico valore di ingresso. del tipo y(t) = g(x(t)), in cui g(.) è una generica funzione non lineare [48]   [48] Una funzione y(x) è lineare quando il suo sviluppo in serie di potenze si arresta al primo ordine, ed è quindi esprimibile in forma y = ax + b, che è l’equazione di una retta.. Ad esempio, un operatore basato sulla elevazione a potenza del segnale di ingresso è non lineare. Come approfondiremo al § 8.3, una delle più evidenti conseguenze della non linearità è l’insorgenza in uscita di contenuti frequenziali assenti in ingresso.