Il simbolo δ(t), chiamato impulso (o delta) di Dirac, descrive un segnale ideale che vale zero ovunque, tranne per t = 0 dove vale infinito; per contro, l’area di δ(t) è unitaria: Da un punto di vista analitico δ(t) non è una funzione bensì una distribuzione [117]   [117] Detta anche funzione generalizzata, vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Delta_di_Dirac e http://it.wikipedia.org/wiki/Distribuzione_(matematica), definita come il limite a cui tende una successione di funzioni, come discusso appresso. E’ prassi comune rappresentare graficamente A ⋅ δ(t) come una freccia (vedi figura) con scritto accanto il valore dell’area A.

Anche se per un segnale costante x(t) = A l’integrale (10.31) non converge, grazie al δ() otteniamo che

Tale proprietà è valida per entrambi i domini (f e t) di partenza, fornendo Osserviamo infatti che la costante A può essere vista come il limite, per τ → ∞, di un segnale rettangolare: la cui trasformata per τ → ∞ risulta Ci troviamo pertanto nelle esatte circostanze che definiscono un impulso di Dirac, e resta da verificare che ∫^∞_−∞τ sinc(fτ)df = 1: a pag. 1 (eq. (10.39)) si è effettivamente mostrato che tale integrale vale uno per qualunque τ, e dunque possiamo scrivere F {A} = A ⋅ δ(f).

Consideriamo ora un segnale periodico x(t), del quale conosciamo lo sviluppo in serie Applicando la proprietà di linearità, il risultato per la trasformata di una costante, e ricordando la proprietà della traslazione in frequenza, troviamo [118]   [118] Infatti X(f) = F {∑^∞_{n = −∞}X_n e ^j2πnFt} = ∑^∞_{n = −∞}X_n F {1 ⋅ e ^j2πnFt} = ∑^∞_{n = −∞}X_n ⋅ δ(f − nF) che la F -trasformata di x(t) vale: Lo spettro di ampiezza di un segnale periodico è quindi costituito da impulsi matematici, situati in corrispondenza delle frequenze armoniche, e di area pari ai rispettivi coefficienti della serie di Fourier, significando che la densità di ampiezza è concentrata solo su tali frequenze. Un modo alternativo di calcolare la trasformata di segnali periodici è illustrato alla sezione 3.7.

Esprime il prodotto di un segnale per un impulso unitario, che produce come risultato [119]   [119] La (10.43) si dimostra esprimendo δ(t) come lim_T → 0 1T rect_T(t) in modo da scrivere il primo membro come x(t)lim_T → 0 1T rect_T(t − τ). Al tendere di T a zero il rettangolo di ampiezza 1T converge ad un impulso, la cui area resta moltiplicata per il valore che x(t) assume per t = τ, dove è centrato il rettangolo. lo stesso impulso, con area pari al valore del segnale nell’istante in cui è centrato l’impulso, ovvero

Integrando ambo i membri della (10.43) otteniamo x(τ) = ∫^∞_−∞x(t)δ(t − τ)dt che, dopo un (s)cambio di variabile, consente di scrivere il segnale x(t) nella forma

Consideriamo un sistema fisico (elettrico, meccanico, pneumatico...) che venga sollecitato, in un punto considerato come ingresso, da un segnale impulsivo δ(t) centrato in t = 0, ed osserviamo l’andamento temporale di una grandezza (meccanica, pneumatica, elettrica...) che possiamo considerare una uscita. Questo segnale di uscita prende il nome di risposta impulsiva (ossia all’impulso) ed è indicato con h(t). L’evoluzione di h(t) rappresenta quella della grandezza di uscita, dopo che è passato un tempo pari a t da quando si è applicato in ingresso l’impulso δ(t), e se il sistema è causale (vedi § 1.6) risulta h(t) = 0 con t < 0, come raffigurato a lato.

Consideriamo ancora lo stesso sistema fisico, lineare e permanente, al cui ingresso sia ora posto un generico segnale x(t) che, grazie alla proprietà di setacciamento (10.44) ed al fatto che δ(t) è pari, rappresentiamo scomposto in infiniti termini, ossia in una somma integrale di impulsi centrati in τ (variabile) ed area x(τ)dτ (infinitesima) L’andamento della grandezza di uscita si ottiene in base allo stesso ragionamento che ha portato dalla (10.45) alla (10.46), essendo infatti pari alla sovrapposizione di infinite risposte impulsive, ognuna relativa ad un diverso impulso x(τ)dτ δ(t − τ) in cui la (10.47) scompone l’ingresso, ovvero in cui h(t − τ) è l’uscita all’istante t causata dall’impulso in ingresso centrato all’istante τ. Il risultato ottenuto prende il nome di integrale di convoluzione, e viene indicato in forma simbolica da un asterisco ( * ), in modo che ci si possa riferire ad esso anche come prodotto di convoluzione, ossia g(t) = x(t) * h(t). Come anticipato h(t) caratterizza completamente il sistema fisico, dato che permette di calcolarne l’uscita per un qualsiasi ingresso.

Se un segnale h(t) è posto in ingresso ad un sistema con risposta impulsiva x(t), si ottiene ancora la stessa uscita, in quanto l’integrale di convoluzione è commutativo [121]   [121] Adottando il cambio di variabile t − τ = θ, si ottiene

∫^∞_−∞x(τ)h(t − τ)dτ = − ∫^−∞_∞x(t − θ)h(θ)dθ =   = ∫^∞_−∞x(t − θ)h(θ)dθ

Infatti il cambio di variabile determina quello degli estremi di integrazione, che vengono poi scambiati ripristinando il segno, vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Convoluzione

: Questa proprietà, assieme a quella di linearità, consente di stabilire le equivalenze a lato, dove si mostra come l’attraversamento in serie ed in parallelo di più sistemi lineari è equivalente a quello di un unico sistema con risposta impulsiva rispettivamente pari alla convoluzione ed alla somma delle singole risposte impulsive.

Diamo ora un’importante valutazione grafica del modo in cui funziona l’operatore di convoluzione, con l’aiuto della fig. 3.10: poniamo che h(t) (prima riga) sia un esponenziale decrescente e x(t) (terza riga) un segnale triangolare. Si vuole arrivare a disegnare la funzione integranda x(τ) h(t − τ) (quarta riga) che compare nel calcolo della convoluzione, per uno specifico istante di uscita t = t.

In base alla costruzione grafica discussa è facile verificare che se x(t) ed h(t) presentano entrambi una durata limitata, ovvero x(t) ≠ 0 con t ϵ [0, T_x] e h(t) ≠ 0 con t ϵ [0, T_h], allora il risultato y(t) = x(t) * h(t) ha estensione compresa tra t = 0 e t = T_x + T_h, ossia presenta una durata pari alla somma delle durate di x(t) ed h(t).

Consideriamo ora un sistema fisico che operi un semplice ritardo θ sui segnali in ingresso: in tal caso scriveremo h(t) = δ(t − θ), ossia la risposta impulsiva corrisponde all’impulso ritardato. Per calcolare l’uscita, che sappiamo essere pari a y(t) = x(t − θ), possiamo ricorrere all’integrale di convoluzione, ottenendo