Al § 16.5.1 si è introdotta la modulazione fsk ortogonale, e nelle note è iniziata la discussione relativa alla condizione di ortogonalità tra la forma d’onda sinusoidale di durata T_s ricevuta, e quella prodotta al ricevitore come ingresso ai correlatori di un banco. Prendiamo pertanto ora in considerazione segnali del tipo separati da un intervallo di frequenza Δ, in cui è inclusa una differenza (o errore) di fase aleatorio φ_k tra le forme d’onda, in modo da esaminare le differenze tra il caso di modulazione coerente ed incoerente, ovvero con φ_k = 0 ∀k, oppure φ_k v.a. incorrelate uniformi tra 0 e 2π.

Quando φ = 0 il termine sin(2πΔT_s)2πΔT_s =  sinc(2ΔT_s) della (21.76) si annulla per Δ = k2T_s, e quindi la minima spaziatura tra portanti risulta Δ = 12T_s = f_s2; pertanto, le frequenze utilizzate dovranno essere del tipo f₀ + kf_s2.

In questo caso si ha φ ≠ 0. In generale la (21.76) presenta entrambi i termini; mentre il primo (come già osservato) si annulla per Δ = k2T_s, il secondo invece è nullo solo se Δ = kT_s. Questa circostanza determina il risultato che quando φ ≠ 0 i segnali s_k(t) sono ortogonali purché la spaziatura tra portati sia doppia della precedente, e pari cioè a Δ = f_s.

In figura 16.67 è mostrato il risultato del prodotto di due frequenze distanti f_s2 e calcolate in assenza di errore di fase (a sinistra) e con un errore di fase pari a φ = π2. Si può notare come in questo secondo caso si perda l’ortogonalità tra i segnali, essendo il risultato prevalentemente negativo.

Il calcolo della P_e per bit accennato al § 16.8.5 si basa su quello relativo alle probabilità di errore P_en condizionato alle singole portanti. Dato che la portante n-esima trasporta M_n bit/simbolo, la probabilità che un bit generico provenga dalla portante n-esima risulta pari a Pr(n) = M_nM e quindi la probabilità che sia errato è pari a

Per determinare il valore di P_en per la portante n-esima si applica il risultato trovato al § 16.3.1 per la modulazione qam, che esprime P_en in funzione del numero di livelli L_n = 2^M_n e del rapporto ⎛⎝E_bN₀⎞⎠_n per tale frequenza. Ma l’eq. (21.47) è ricavata considerando la densità di potenza del rumore in ingresso al ricevitore limitata da un filtro con banda pari a quella del segnale qam, mentre ora tale filtro lascia passare l’intera banda NΔ occupata dal segnale ofdm, e quindi occorre valutare l’effetto prodotto da questo rumore sui valori a_n ottenuti mediante fft. Inoltre, vorremmo pervenire ad un risultato valido anche in presenza di rumore non bianco, e/o di una distribuzione di potenza sulle portanti non uniforme. Pertanto, al posto del rapporto ^E_b⁄_N0 che compare nella (21.47) utilizziamo ora il rapporto SNR_n tra la quota di potenza di segnale che raggiunge l’n-esimo decisore, e la varianza (dovuta al rumore) della v.a. a_n su cui si basa tale decisione, ottenendo così [917]   [917] La (21.78) può essere derivata dalle (21.46) e (21.47) considerando Eⁿ_bNⁿ₀ = SNR_nlog₂L_n, ovvero invertendo l’eq. (21.16) SNR = E_bN₀ 2log₂L(1 + γ) con γ = 0 e notando che a differenza del caso di banda base, per segnali am la banda (e la potenza di rumore) raddoppia. Ma se questa è una spiegazione troppo sintetica, ripercorriamo tutti i passaggi.

Partiamo dalla probabilità di errore condizionata (21.10) P_δ =  erfc⎧⎩Δ2√2σ_N(L − 1)⎫⎭ del caso di multilivello di banda base, ed osserviamo che per un impulso rettangolare g(t) = rect_T0(t) la (21.12) si modifica in P_R = Δ²12 L + 1L − 1 in quanto P_R = ∫P_R(f)df = ∫σ²_A|G(f)|²T₀df dove σ²_A = Δ²12 L + 1L − 1 come ottenuto al § 15.8.1, mentre ∫|G(f)|²df = ∫T²₀sinc²(fT₀)df = T₀ (vedi nota 858).

In tal modo, eseguendo i passaggi di cui alla nota 758 a pag. 15.4 otteniamo P_δ =  erfc{√12 P_R^{(L − 1)}⁄_(L + 1)2√2σ_n(L − 1)} =  erfc{√32 1L² − 1SNR} che conduce alla (21.78) ricordando che per il qam ogni ramo ha √L livelli, e che eseguendo il valore atteso rispetto alle probabilità dei simboli si ottiene P_e(bit) = ⎛⎝1 − 1√L⎞⎠P_δ (vedi eq. (21.11)).

ed in cui P_αn esprime la probabilità di errore su di uno dei rami (in fase od in quadratura) della n-esima costellazione qam con L_n punti, che rappresentano gruppi di bit secondo la codifica di Gray. Per il calcolo di

SNR_n = P^c_RnP^c_Nn = P^s_RnP^s_Nn = 12 P_Rn12 P_Nn = P_RnP_Nn

osserviamo che la potenza P_Rn dell’inviluppo complesso del segnale ricevuto sulla portante n-esima è pari a

P_Rn = 2 P_Rn = 2 T₀T α_n P

in cui P è la potenza totale ricevuta, e α_n = P_nP è la frazione di potenza assegnata alla n-esima portante. Resta quindi da determinare P_Nn.

Per quanto riguarda P_Nn, si tratta di applicare la (21.65) alla sequenza {( − 1)^hn(hT_c)} dei campioni dell’inviluppo complesso del rumore, e determinare il valore tenendo conto del fatto che i valori n(hT_c) sono a media nulla, che (con n fissato) la fft ne effettua una combinazione lineare con coefficienti e^−j2πhNn, e che essendo n(t) ergodico è possibile scambiare medie temporali e di insieme. Sviluppando e tenendo conto che otteniamo [918]   [918] La riduzione da due ad una sommatoria si ottiene scrivendo esplicitamente tutti i termini della doppia sommatoria, e notando che si ottiene per N volte lo stesso termine R_N(0), N − 1 volte i termini

                          R_N(T_c)e ^jπe^−j2π1Nn        e         R_N( − T_c)e^−jπe ^j2π1Nn

N − 2 volte quelli R_N(2T_c)e ^j2πe^−j2π2Nn    e      R_N( − 2T_c)e^−j2πe ^j2π2Nn, e così via.

in cui l’ultima riga semplifica l’espressione introducendo la sequenza {z(m)} di lunghezza N, che si ottiene campionando agli istanti t = mT_c con T_c = 1NΔ. Mostriamo ora come, per N sufficientemente elevato, la (21.79) possa essere calcolata in funzione dei campioni di Z(f) = F {z(t)}, ed in particolare di come risulti Analizzando i termini che compaiono in (21.80), osserviamo che il prodotto R_N(t)e ^j2πt2T_c ha trasformata pari a P_N(f), traslata in frequenza di − 12T_c = − NΔ2, ovvero mentre il termine ⎛⎝1 − |t|NT_c⎞⎠ =  tri_2NTc(t) =  tri_2Δ(t) possiede come noto trasformata F { tri_2Δ(t)} = 1Δ sinc²⎛⎝fΔ⎞⎠; pertanto per N elevato il prodotto z(t) = R_N(t)e ^j2πt2T_c ⋅ tri_2Δ(t) ha trasformata avendo approssimato 1Δ sinc²⎛⎝fΔ⎞⎠ come un impulso di area unitaria, per NΔ grande rispetto a Δ.

(passaggi alla nota [919]   [919] Se campioniamo z(t) con periodo T_c = 1NΔ, il segnale Z^•(f) = ∑^∞_{m = −∞}Z(f − m ⋅ NΔ) non presenta aliasing (vedi figura),

ed il passaggio di z^•(t) = ∑^∞_{m = −∞}z(mT_c)δ(t − mT_c) attraverso un filtro di ricostruzione   H(f) = 1NΔ rect_NΔ⎛⎝f − NΔ2⎞⎠ restituisce il segnale originario. Scriviamo pertanto

z(t) = z^•(t) * h(t) = ^∞⎲⎳_{m = −∞}z(mT_c)δ(t − mT_c)* sinc(NΔt)e ^jπNΔt

ed effettuiamone la trasformata:

Z(f)  =  F {^∞⎲⎳_{m = −∞}z(mT_c)δ(t − mT_c)} ⋅ 1NΔ rect_NΔ⎛⎝f − NΔ2⎞⎠        =  [^∞⎲⎳_{m = −∞}z(mT_c)e^−j2πmNΔf] ⋅ 1NΔ rect_NΔ⎛⎝f − NΔ2⎞⎠

che, calcolata alle frequenze f = nΔ con n = 0, 1, ..., N − 1 fornisce

Z(f)|_f = nΔ = 1NΔ ^∞⎲⎳_{m = −∞}z(mT_c)e^−j2πmNn

Se ora non disponiamo di tutti i campioni z(mT_c), ma solo dei 2N − 1 valori con m = − (N − 1), ..., 0, 1, ..., N − 1, la relazione precedente si applica ad un nuovo segnale z’(t) = z(t) ⋅ rect_2NTc(t), fornendo

Z^’(f)|_f = nΔ = 1NΔ ^N− 1⎲⎳_{m = − (N − 1)}z(mT_c)e^−j2πmNn

   In virtù delle proprietà delle trasformate, risulta

Z^’(f) = Z(f) * F { rect_2NTc(t)} ≃ Z(f) * δ(f) = Z(f)

in cui l’approssimazione è lecita per N elevato.

) in cui si è tenuto conto che P_N(f) = 4 P⁺_N(f + f₀) e si è indicata la densità di potenza in ingresso come P_N(f) = N₀(f)2.

Siamo finalmente in grado di scrivere avendo posto T₀ P = E_s = E_bM pari all’energia di un simbolo di durata T₀ = 1Δ, ed avendo riscritto α_n = P_nP come α_n = E_bnE_b in modo da porre in evidenza la E_bn della portante n-esima. La P_e per portante risulta quindi

Se P_N(f) non dipende da f, possiamo scrivere e semplificare la (21.81) sostituendo ad N₀(f_n) la costante N₀. In questo caso il risultato P_Nn = 2Δ ⋅  N₀ può essere ottenuto direttamente dalla (21.79): risulta infatti e dunque R_N(t) = 0 con t = mT_c = mNΔ per m ≠ 0. Ciò in definitiva permette di scrivere

Proviamo a verificare se la modulazione ofdm è vantaggiosa in termini di prestazioni rispetto ad una qam monoportante che trasporti il medesimo flusso binario f_b, occupi la stessa banda, ed a parità di potenza impiegata.

Affrontiamo la derivazione della (21.69) fornita a pag, 1 come soluzione al problema di trovare la P_R(f) che rende massima la quantità con I_f = {f:  P_R(f) > 0}, nel rispetto dei vincoli che esprimono rispettivamente la limitazione sulla potenza totale P_R a disposizione e la necessità che la densità di potenza P_R(f) del segnale ofdm non sia negativa. Un problema di massimo vincolato siffatto viene tipicamente affrontato con la tecnica dei moltiplicatori di Lagrange (vedi 9.6.1) tranne che ora la presenza del vincolo di tipo disuguaglianza P_R(f) ≥ 0 comporta alcune considerazioni aggiuntive, note come condizioni di Karush–Kuhn–Tucker [920]   [920] Vedi ad es. https://it.wikipedia.org/wiki/Condizioni_di_Karush-Kuhn-Tucker, i cui aspetti però non approfondiamo.