La ripetizione periodica di un impulso di Dirac δ(t) dà luogo ad un segnale del tutto particolare, il cui ruolo si rivelerà fondamentale in diversi aspetti trattati nel testo, come il campionamento (cap. 4) e la trasmissione numerica (cap. 15); nel seguito ne mostriamo una prima applicazione orientata ad ottenere la descrizione della trasformata per un segnale periodico, senza necessità di calcolare i relativi coefficienti di Fourier.

Un treno di impulsi (o segnale a pettine) di periodo T viene rappresentato dal simbolo π_T(t) ed è realizzato come una serie infinita di impulsi di Dirac

Il segnale π_T(t) è periodico, e dunque può essere rappresentato mediante la relativa serie come π_T(t) = ∑^∞_{n = −∞}Π_ne ^j2πnFt con F = 1T ed i cui coefficienti Π_n sono pari a in quanto tra tutti gli impulsi della sommatoria ne resta solo uno, quello centrato in zero, dato che tutti gli altri cadono al di fuori dei limiti di integrazione, mentre la penultima eguaglianza tiene conto della (10.43). Tutti i coefficienti risultano pertanto avere lo stesso valore, pari ad 1T, ottenendo lo sviluppo Notiamo inoltre che, essendo π_T(t) un segnale reale pari, l’eq. (10.60) può essere riscritta [131]   [131] Sembra strano che π_T(t) si ottenga come somma di infiniti coseni a frequenza armonica e tutti della stessa ampiezza 2T ? Per verificare il risultato, visitare
https://dspillustrations.com/pages/posts/misc/the-dirac-comb-and-its-fourier-transform.html come una serie di coseni (vedi il § 2.2.1.3) π_T(t) = 1T + 2T ∑^∞_n = 1cos2πnFt.

Si può ottenere applicando la (10.42) alla (10.60) , ovvero ottenendo così il risultato che la trasformata di un treno di impulsi è a sua volta un treno di impulsi, di ampiezza ¹⁄_T, e con periodo (in frequenza) che è l’inverso di quello originario, cioè F {π_T(t)} = 1T Π_1T(f).

Utilizziamo ora il risultato (10.61) per ottenere una formula alternativa alla (10.42) per un generico segnale x(t) periodico con periodo T, che innanzitutto scriviamo come una serie infinita di ripetizioni di un suo periodo g(t) Sfruttando la proprietà (10.49) di convoluzione con l’impulso traslato, la (10.62) può essere scritta nei termini della (10.59) come dove nel secondo passaggio si è sfruttata la linearità della convoluzione. Ricordando ora la proprietà della moltiplicazione in frequenza (10.52) otteniamo che lo spettro di x(t) si esprime come e quindi, sostituendo l’espressione di F {π_T(t)} ottenuta con la (10.61) nella (10.63) otteniamo ovvero la trasformata di un segnale periodico x(t) è pari al prodotto tra la trasformata G(f) = F {g(t)} di un suo periodo, ed un treno di impulsi in frequenza di periodo 1T ed ampiezza 1T.

Il risultato ottenuto è un aspetto dell’uguaglianza nota come somma di Poisson [132]   [132] Per un approfondimento si veda ad es.
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_sommazione_di_Poisson. e che permette di esprimere un somma infinita basata su di una funzione nel tempo, nei termini di una somma infinita basata su di una funzione della frequenza, che è la trasformata di quella nel tempo. Nel caso in esame, antitrasformando entrambi i membri della (10.64) si ottiene

x(t) =^∞⎲⎳_{m = −∞}g(t − mT) =^∞⎲⎳_{n = −∞}1T G⎛⎝nT⎞⎠e ^j2πnTt

che riconosciamo corrispondere all’espansione in serie di Fourier del segnale periodico x(t), non appena constatato come i termini 1T G ⎛⎝nT⎞⎠ altro non sono che i suoi coefficienti Fourier, come d’altra parte risulta anche dalla (10.34).