In analogia a quanto osservato per la potenza dei segnali periodici (§ 2.3), l’energia totale E_x di un segnale x(t) si distribuisce nel dominio della frequenza come descritto dalla relativa densità di energia E_x(f), che si ottiene a partire da X(f). Arriviamoci per gradi, illustrando prima due relazioni che sono diretta conseguenza delle considerazioni geometriche svolte al § 2.4.

Data una coppia di segnali di energia x(t) e y(t), è definita come il valore e corrisponde al prodotto scalare (eq. (10.27)) tra x(t) e y(t) nello spazio a dimensionalità infinita dei segnali di energia. L’energia mutua E_xy rappresenta una misura di similarità tra i due segnali, e qualora sia nulla i segnali x(t) e y(t) sono detti ortogonali. Osserviamo che per la disuguaglianza di Schwartz risulta E_xy ≤ √E_x ⋅ E_y, vedi pag. 1.

Se entrambi x(t) e y(t) possiedono trasformata di Fourier la (10.35) può essere scritta come e l’equivalenza esprime il teorema di Parseval per segnali di energia, ed implica che le trasformate di segnali ortogonali, sono anch’esse ortogonali, e viceversa.

Ponendo y(t) = x(t) nella (10.35) otteniamo l’energia totale Ex di x(t), ovvero la sua norma quadratica in termini vettoriali. Combinando (10.35) con (10.36) si ottiene che mette in luce come la trasformata di Fourier sia un operatore unitario, ossia che non altera la norma dei vettori trasformati. Osservando l’ultimo membro della (10.37) possiamo interpretare come lo spettro di densità di energia di x(t). Infatti, l’integrale ∫f2f1 |X(f)|2df rappresenta il contributo all’energia totale Ex di x(t), limitatamente alla banda di frequenze comprese tra f1 ed f2.